（北京专用）2020届高考数学一轮复习第八章立体几何8.2空间点、线、面的位置关系课件.pptx

8.2 空间点、线、面的位置关系,高考数学 (北京专用),考点一 匀变速直线运动,A组 自主命题北京卷题组,五年高考,(2011北京,17,14分)如图,在四面体PABC中,PCAB,PABC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC, PB的中点. (1)求证:DE平面BCP; (2)求证:四边形DEFG为矩形; (3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.,解析 (1)证明:因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DEPC.又因为DE平面BCP,PC平面 BCP, 所以DE平面BCP. (2)证明:因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点, 所以DEPCFG,DGABEF. 所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PCAB, 所以DEDG.所以四边形DEFG为矩形. (3)存在点Q满足条件.理由如下: 连接DF,EG,设Q为EG的中点. 由(2)知,DFEG=Q,且QD=QE=QF=QG= EG. 分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN. 与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN= EG,所以Q为 满足条件的点.,评析 本题考查线面平行、点到直线的距离等知识,考查空间想象力.第(3)问难度较大,利用 (2)的结论作出恰当的辅助线是解题关键.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 空间点、线、面的位置关系,1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则 ( ) A.ml B.mn C.nl D.mn,答案 C =l,l,n,nl.故选C.,2.(2015浙江,4,5分)设,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l,m. ( ) A.若l,则 B.若,则lm C.若l,则 D.若,则lm,答案 A 对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若,l,m, 则l与m可能平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当l平行于与的交线时,l ,但此时与相交,所以选项C错误;对于选项D,若,则l与m可能平行,也可能异面,所以选 项D错误.故选A.,3.(2015四川,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论; (3)证明:直线DF平面BEG.,解析 (1)点F,G,H的位置如图所示. (2)平面BEG平面ACH.证明如下: 因为ABCD-EFGH为正方体,所以BCFG,BC=FG, 又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH, 于是BCHE为平行四边形. 所以BECH. 又CH平面ACH,BE平面ACH, 所以BE平面ACH. 同理,BG平面ACH. 又BEBG=B, 所以平面BEG平面ACH. (3)连接FH.,因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH平面EFGH, 因为EG平面EFGH,所以DHEG. 又EGFH,DHFH=H,所以EG平面BFHD. 又DF平面BFHD,所以DFEG. 同理,DFBG. 又EGBG=G, 所以DF平面BEG.,评析 本题主要考查空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能力、推 理论证能力.,考点二 异面直线所成的角,1.(2018课标全国,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD 所成角的正切值为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题主要考查异面直线所成的角. 因为CDAB,所以BAE(或其补角)为异面直线AE与CD所成的角. 设正方体的棱长为2,则BE= . 因为AB平面BB1C1C, 所以ABBE. 在RtABE中,tanBAE= = . 故选C.,解题关键 找到异面直线所成的角或其补角是求解关键.,2.(2016课标,11,5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD= m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.将正方体ABCD-A1B1C1D1补成棱长为2a的正方 体,如图所示.正六边形EFGPQR所在的平面即为平面.点A为这个大正方体的中心,直线GR为 m,直线EP为n.显然m与n所成的角为60.所以m,n所成角的正弦值为 .故选A.,疑难突破 通过补体,根据正方体的性质以及线面平行的判定和性质画出平面,进而找到直 线m和n是解题的突破口.,评析 本题考查了直线与平面的平行和平面与平面的平行的判定和性质,考查了空间想象能 力.通过补体,利用正方体的性质找到直线m和n是求解的关键.,3.(2018天津,17,13分)如图,在四面体ABCD中,ABC是等边三角形,平面ABC平面ABD,点M 为棱AB的中点,AB=2,AD=2 ,BAD=90. (1)求证:ADBC; (2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值; (3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.,解析 本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础 知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. (1)证明:由平面ABC平面ABD,平面ABC平面ABD=AB,ADAB,可得AD平面ABC,故AD BC. (2)取棱AC的中点N,连接MN,ND. 又因为M为棱AB的中点,故MNBC.所以DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角. 在RtDAM中,AM=1,故DM= = . 因为AD平面ABC,故ADAC. 在RtDAN中,AN=1,故DN= = . 在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cosDMN= = . 所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为 . (3)连接CM.因为ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CMAB,CM= . 又因为平面ABC平面ABD,而CM平面ABC, 故CM平面ABD. 所以,CDM为直线CD与平面ABD所成的角. 在RtCAD中,CD= =4. 在RtCMD中,sinCDM= = . 所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 .,C组 教师专用题组,1.(2014广东文,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论 一定正确的是 ( ) A.l1l4 B.l1l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定,答案 D l1l4或l1与l4相交或l1与l4异面.故l1与l4的位置关系不确定.故选D.,评析 本题考查空间两条直线的位置关系,考查空间想象能力及推理能力.,2.(2013广东,6,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是 ( ) A.若,m,n,则mn B.若,m,n,则mn C.若mn,m,n,则 D.若m,mn,n,则,答案 D 若,m,n,则m与n可能平行,故A错;若,m,n,则m与n可能平行,也 可能异面,故B错;若mn,m,n,则与可能相交,也可能平行,故C错;对于D项,由m,m n,得n,又知n,故,所以D项正确.,3.(2014陕西,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体 的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H. (1)求四面体ABCD的体积; (2)证明:四边形EFGH是矩形.,解析 (1)由该四面体的三视图可知, BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1, AD平面BDC, 四面体ABCD的体积V= 221= . (2)证明:BC平面EFGH, 平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH, BCFG,BCEH, FGEH. 同理,EFAD,HGAD, EFHG, 四边形EFGH是平行四边形. 又AD平面BDC,BC平面BDC, ADBC, EFFG, 四边形EFGH是矩形.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 空间点、线、面的位置关系,1.(2019北京丰台一模文,5)已知两条直线l,m与两个平面,下列命题正确的是 ( ) A.若l,lm,则m B.若l,l,则 C.若l,m,则lm D.若,m,则m,答案 B 选项A中,直线m与平面的位置关系都有可能,故A错; 选项C中,直线l与平面m的位置关系也是都有可能,故C错; 选项D,判断直线与平面平行,要注意直线是不是在平面外,本题中有可能m,故D错. 根据面面垂直的判定定理,可知正确答案为B.,2.(2019北京丰台一模,6)已知和是两个不同的平面,=l,l1,l2是与l不同的两条直线,且l1, l2,l1l2,那么下列命题正确的是 ( ) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l恰与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交,答案 A 由l1,l2是与l不同的两条直线,且l1,知l1,又l2,l1l2,l1,再由l1,=l 得到l1l,l1ll2,故选A.,3.(2017北京东城二模,18)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩 形,BCAD,ABD是边长为2的正三角形,E,F分别为AD,A1D1的中点. (1)求证:DD1平面ABCD; (2)求证:平面A1BE平面ADD1A1; (3)若CF平面A1BE,求棱BC的长度.,解析 (1)证明:因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形,所以DD1AD,且DD1CD. 因为ADCD=D,所以DD1平面ABCD. (2)证明:因为ABD是正三角形,且E为AD的中点, 所以BEAD. 因为DD1平面ABCD,BE平面ABCD, 所以BEDD1. 因为ADDD1=D, 所以BE平面ADD1A1. 因为BE平面A1BE, 所以平面A1BE平面ADD1A1. (3)因为BCAD,ADA1D1, 所以BCA1F. 所以B,C,F,A1四点共面. 因为CF平面A1BE,平面BCFA1平面A1BE=A1B, 所以CFA1B. 所以四边形BCFA1是平行四边形. 所以BC=FA1= AD=1.,思路分析 (1)应用线面垂直判定定理证明. (2)由线面垂直到线线垂直,再证面面垂直. (3)证四边形BCFA1是平行四边形,即可得BC=FA1= AD=1.,易错警示 推理不严谨,书写不规范是失分的主要原因.,考点二 异面直线所成的角 (2019清华中学生标准学术能力试卷文,10)已知正四面体ABCD,点E为棱AD的中点,O为BCD 的中心,则异面直线EO与CD所成的角等于 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90,答案 C 在BC上取点F使CF= BC,在BD上取点G使DG= BD,连接FG、AF、FE.因为CD FO,所以直线FO与EO所成的角等于异面直线EO与CD所成的角,设正四面体ABCD的棱长为2 a,所以EO=a,FO= a,FE= a,EFO中,由余弦定理得cosEOF= =- ,因 而EOF=120,所以异面直线EO与CD所成角为60.,解后总结 解决异面直线所成角的问题,常常是作其中一条直线的平行线,即求两条相交线所 成的角,再转化为求解三角形的内角的问题.当然本题也可以建立空间直角坐标系,用空间向量 来做.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:15分钟 分值:25分 一、选择题(每小题5分,共35分),1.(2018北京海淀期末,8)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M,N分别是棱BC,C1D1的中 点,点P在平面A1B1C1D1内,点Q在线段A1N上,若PM= ,则PQ长度的最小值为 ( ) A. -1 B. C. -1 D.,答案 C 过点M向上底面作垂线,垂足为H点,连接HP,因为PM= ,三角形PHM是直角三角 形,故PH=1,故P点的轨迹是以H为圆心,1为半径的圆.过H点作A1N的垂线,垂足为G,则PQmin= HG-1.易知HG= ,则PQmin= -1.故选C.,2.(2019北京朝阳二模,7)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为线段CD和A1B1上的 动点,且满足CE=A1F,则四边形D1FBE(如图所示阴影部分)在该正方体有公共顶点的三个面上 的正投影的面积之和 ( ) A.有最小值 B.有最大值 C.为定值3 D.为定值2,答案 D 四边形D1FBE在该正方体以点B为公共顶点的三个面上的正投影分别为如图所示 的阴影部分,由于CE=A1F,因此图中B1F=EA=BF=DE.显然面积之和为2.,二、解答题(共15分) 3.(2017北京西城一模,16)如图,在正四棱锥P-ABCD中,PB=AB,E,F分别为PB,PD的中点. (1)求证:AC平面PBD; (2)求异面直线PC与AE所成角的余弦值; (3)若平面AEF与棱PC交于点M,求 的值.,解析 (1)证明:设ACBD=O,则O为底面ABCD的中心.连接PO. 因为P-ABCD为正四棱锥,所以PO平面ABCD.所以POAC. 又BDAC,且POBD=O, 所以AC平面PBD. (2)OA,OB,OP两两互相垂直,如图,建立空间直角坐标系O-xyz. 因为PB=AB,OB=OB,所以RtPOBRtAOB(HL). 所以OA=OP. 设OA=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),F(0,-1,1). 所以 =(-2,1,1), =(-2,0,-2). 所以|cos|= = . 即异面直线PC与AE所成角的余弦值为 .,(3)连接AM. 设 =,其中0,1,则 = =(-2,0,-2), 又 =(-2,0,2), 所以 = + =(-2-2,0,2-2). 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z), 则 又 =(-2,1,1), =(-2,-1,1), 所以 所以y=0.令x=1,则z=2,所以n=(1,0,2).,因为AM平面AEF,所以n =0, 即-2-2+2(2-2)=0, 解得= ,所以 = .,思路分析 (1)把线面垂直转化为线线垂直来证明;(2)建立空间直角坐标系,用向量法求异面 直线所成角的余弦值;(3)设 =,0,1,平面AEF的法向量为n,求n,由AM在平面