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1 圆的方程圆的方程 题型一题型一、圆的方程求法、圆的方程求法 1 （1）方程 222 2210xyaxayaa+ =表示圆，则a的取值范围是（D） A2a） ，求P点的轨迹. 8 11点()0,2A是圆 22 16xy+=内的定点，点,B C是这个圆上的两个动点，若BACA, 求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线。 12已知圆C方程为：4 22 =+yx.( )1直线l过点()1,2P，且与圆C交于A、B两点， 若 2 3AB=，求直线l的方程；( )2过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m， 设m与y轴 的交点为N，若向量OQOMON=+ ，求动点Q的轨迹方程，并说明此方程表示的曲线。 13已知动点A与两个定点)0 , 0(O，)0 , 3(M的距离的比为 2 1 （1）求动点A的轨迹方程； （2）若点 B，C 的坐标分别为)4, 2(，) 3, 4( ，求ABC的重心 G 的轨迹方程。 解： （1）设),(yxA，则由 2 1 | | = AM AO ，得 2 1 ) 3( 22 22 = + + yx yx 化简得：032 22 =+xyx，即动点A的轨迹方程为4) 1( 22 =+yx （2）设),(yxG，),( 00 yxA，则有4) 1( 2 0 2 0 =+yx 因为是ABC的重心，则 3 2 3 42 00 + = + = xx x， 3 7 3 34 00 = = yy y 即73, 23 00 +=yyxx，故有4)73() 13( 22 =+yx 所以ABC的重心 G 的轨迹方程为 9 4 ) 3 7 () 3 1 ( 22 =+yx 9 题型三题型三、与圆相关的值、最值、取值范围问题、与圆相关的值、最值、取值范围问题 1(1)直线l截圆02 22 =+yyx所得弦AB的中点是) 2 3 , 2 1 (C，则|AB=_ （2） 过点()1,3P引圆 22 44100xyxy+=的弦， 则所作的弦中最短的弦长为 （） A2 2B4C8D4 2 （3） 已知P(3， 0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是x+y-3=0， 过点 P 的最长弦所在直线方程是x-y-3=0 （4） 若圆 22 4xy+=与圆 22 260xyay+=（a0） 的公共弦的长为2 3， 则a=_ . 2(1)直线3x+y23=0 截圆x2y24 得的劣弧所对的圆心角为_ 3 【解析】 ：由 =+ =+ 4 0323 22 yx yx 消y得：x23x+2=0 x1=2，x2=1 A（2，0） ，B（1，3） |AB|= 22 )30() 12(+=2 又|OB|OA|=2 AOB是等边三角形，AOB= 3 ，故选 C. 评述： 本题考查直线与圆相交的基本知识， 及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合 思想， 同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB的倾斜角为 120.则等腰 OAB的底角为 60.因此AOB=60.更加体现出平面几何的意义. （2）过点(1,2)的直线l将圆 22 (2)4xy+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小 时，直线l的斜率k= 2 2 3 （1）自点)4 , 1(A作圆1)3()2( 22 =+yx的切线，则切线长为_ （2）由直线1yx=+上的一点向圆 22 (3)1xy+=引切线，则切线长的最小值为() A1B2 2C7D3 （3）已知两点)2 , 0(),0 , 1(B B B BA A A A，点P P P P是圆1) 1( 22 =+y y y yx x x x上任意一点，则PABPABPABPAB面积 10 的最大值与最小值分别是_ 2 54 , 2 54+ （4）点),(y y y yx x x xP P P P在直线0102=+y y y yx x x x上，PBPBPBPBPAPAPAPA,与圆4 22 =+y y y yx x x x相切于B B B BA A A A,两点， 求四边形PAOBPAOBPAOBPAOB面积的最小值 （ 5 ） 已 知 点),(y y y yx x x xP P P P是 直 线)0(04=+k k k ky y y ykxkxkxkx上 一 动 点 ，PBPBPBPBPAPAPAPA,是 圆C C C C： 02 22 =+y y y yy y y yx x x x的两条切线，B B B BA A A A,是切点，若四边形PACBPACBPACBPACB的最小面积为 2，则k k k k的值 为（D） A2B 2 21 C22D2 4（1） 设 M 是圆 22 (5)(3)9xy+=上的点， 则 M 点到直线342 0xy+ =的最短距离是_ （2） 圆0122 22 =+yxyx上的动点Q到直线0843=+yx距离的最小值为_ （3）圆01044 22 =+yxyx上的点到直线014 =+yx的最大距离与最小距离的差是() A36B18C6 2D5 2 （4）若圆042 22 =+yxyx的圆心到直线0=+ayx的距离为 2 2 ,则a的值为() A2或2B 2 3 2 1 或C2或0D2或0 5（1） 圆 22 2430xyxy+=上到直线10xy+ =的距离为2的点共有_个 （2）圆9) 3()3( 22 =+y y y yx x x x上到直线01143=+y y y yx x x x的距离等于 1 的点有个数为 _3 （3）与圆1)2( 22 =+y y y yx x x x相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有_条4 （4）若圆01044 22 =+yxyx上至少有三个不同的点到直线0:=+byaxl的距 离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是(B) A 412 ，B 12 5 12 ，C 36 ，D 2 0 ， （5）若圆 222 )5()3(r r r ry y y yx x x x=+上有且只有两个点到直线0234=y y y yx x x x的距离等于 1，则半径r r r r的取值范围为_64=+aayx内异于圆心的一点，则直线 2 00 ayyxx=+与 该圆的位置关系为_相离（填相切、相交、相离） （5）设集合 A=（x,y)|x2y24,B=(x,y)|(x1)2(y1)2r2(r0),当 AB=B 时，r 的取 值范围是（） 12 A （0， 2 1）B （0，1C （0，2 2 D （0， 2 （6）设集合() 22 ,|25=+Mx yxy,() () 2 2 ,|9=+Nx yxay,若 MN=M，则 实数a的取值范围是-2a2 9 （1）已知直线l过点），（02，当直线l与圆xyx2 22 =+有两个交点时，其斜率k的取 值范围是(C) A( ) 2 2 2 2，B( ) 22，C 22 44 ，D 1 1 8 8 ， （2）若直线 x 3 y=m 与圆x2y2=1 的两个交点都在第一象限，则 m 的取值范围是（） A （1，2）B （2，2）C （1，3 ）D （ 3 ，2） （3） 直线yx m= +与圆 22 1xy+=在第一象限内有两个不同交点， 则m的取值范围是 （） A02mb b b ba a a a）始终平分圆0824 22 =+y y y yx x x xy y y yx x x x的周 长，则 b b b ba a a a 21 +的最小值是（D） A1B5C24D223+ （3）若直线220(0,0)axbyab+=经过圆 22 2410xyxy+ =的圆心， 则 ba 11 +的最小值是（） A 2 1 B 4 1 C4D2 （4）若直线1=+bybybybyaxaxaxax与圆1 22 =+y y y yx x x x相切，则实数abababab的取值范围是_ 2 1 , 2 1 15.（1）已知点) 1 , 1(A和圆4)7()5( : 22 =+yxC，求一束光线从点 A 经 x 轴反射到 圆周 C 的最短路程为_8_ （2）已知圆C：4) 1()3( 22 =+yx和直线l l l l：05 =y y y yx x x x，在C上求两点，使它 们与l的距离分别是最近和最远. （3）平面上两点()1,0A、()1,0B，在圆C：()() 22 344xy+=上取一点P，求使 22 APBP+取得最小值时点P的坐标. 15 16已知圆 22 60xyxym+=与直线230xy+=相交于,P Q两点，O为原点， 若 OPOQ，求实数m的值. 17已知曲线 22 :2(410)10200C xykxkyk+=，其中1k ； （1）求证：曲线C都是圆，并且圆心在同一条直线上； （2）证明：曲线C过定点； （3）若曲线C与x轴相切，求k的值； 18设方程x2y22（m3)x2(14m2)y16m49=0 (1)m 为何值时，方程表示圆？ （2）m 为何值时，方程表示的圆的半径最小？ （3）方程表示圆时，求圆心的轨迹方程 19已知直线l：2830mxym=和圆 22 :612200C xyxy+=； （1）mR时，证明l与C总相交； （2）m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长. 16 21已知圆C C C C方程为：01264 22 =+y y y yx x x xy y y yx x x x，点)5 , 3(A A A A （1）求过点A A A A的圆的切线方程； （2）O O O O是坐标原点，连接OCOCOCOCOAOAOAOA,，求AOCAOCAOCAOC的面积S S S S。 22已知以点)0,)( 2 ,(t t t tR R R Rt t t t t t t t t t t tC C C C为圆心的圆与x x x x轴交于点A A A AO O O O,，与y y y y轴交于点B B B BO O O O,， 其中O O O O为坐标原点， （1）求证：OABOABOABOAB的面积为定值； （2）设直线42+=x x x xy y y y与圆C C C C交于点N N N NMMMM,，若ONONONONOMOMOMOM=，求圆C C C C的方程。 23已知圆 C 方程为： 22 24200xyxy+=，直线l的方程为： （2m1)x(m1)y 7m4=0 （1）证明：无论m取何值，直线l与圆 C 恒有两个公共点。 （2）求直线l被圆 C 截得的线段的最短长度，并求出此时的 m 值 【分析】 ：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0. 由 270 40 xy xy += += 得 3 1 x y = = 即l恒过定点A（3，1）. 17 圆心C（1，2） ， AC55（半径） ， 点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点. （2）解：弦长最小时，lAC，由kAC 2 1 ， l的方程为 2xy5=0. 点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性 质. 24已知圆 1 C： 22 2280xyxy+=与 2 C： 22 210240xyxy+= 相交于,A B两点， （1）求公共弦AB所在的直线方程； （2）求圆心在直线yx= 上，且经过,A B两点的圆的方程； （3）求经过,A B两点且面积最小的圆的方程. 25过点( 2, 3)P作圆 22 :(4)(2)9Cxy+=的两条切线，切点分别为,A B；求： （1）经过圆心C，切点,A B这三点圆的方程； （2）直线AB的方程； （3）线段AB的长。 26在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线34xy=相切 （1）求圆O的方程； （2）圆O与x轴相交于AB，两点，圆内的动点P使PAPOPB，成等比数列，求 PA PB i的取值范围 解： （1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线34xy=的距离， 即 4 2 1 3 r= + 得圆O的方程为 22 4xy+= 18 （2）不妨设 1212 (0)(0)A xB xxx与圆 C 相切， 求证：64 2.mn 分析:本题要充分利用圆的几何性质以得到简单的解法. 解： （1）设圆 C 半径为r，由已知得： 2 2 ab ra ab = = + = 1 1 ab r = = ，或 1 1 ab r = = 圆 C 方程为 2222 (1)(1)1,(1)(1)1xyxy+=+=或 . （2）直线0lnxmymn+=方程为， 22 :(1)(1)1lCxy+=直线 与圆相切， 22 1, nmmn nm + = + 222 (),nmmnnm+=+ 左边展开，整理得，222.mnmn=+ 2 . 2 mn mn + += 0,0,2mnmnmn+， 2 2 2 mn mn + ， 2 ()420,mnmn+ 22,22.mnmn+或 2,2mn 22mn+， 64 2.mm+ 点拨:有关直线和圆的位置关系,一般可以考虑圆心到直线的距离,当然也以联立方程组用代 数手段解决. 20 29.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点 A(3 3，2)的入射光线l1被直线l： y= 3 3 x反射反射光线l2交y轴于 B 点，圆 C 过点 A 且与l1,l2都相切. (1)求l2所在直线的方程和圆 C 的方程； (2)设 P，Q 分别是直线l和圆 C 上的动点，求 PB+PQ 的 最小值及此时点 P 的坐标 解解： （1）直线 1: 2,ly=设 1 2 3 2llDD交 于点 ，则（， ）. l的倾斜角为30， 2 60l 的倾斜角为， 2 3.k=反射光线 2 l所在的直线方程为 23(2 3)yx=.即340xy=. 已知圆 C 与 1 lA切于点 ，设C（a,b), 圆心 C 在过点 D 且与l垂直的直线上，38ba = +,又圆心 C 在过点 A 且与 1 l垂直 的直线上，3 3a=,381ba = += ，圆 C 的半径 r=3， 故所求圆 C 的方程为 22 (3 3)(1)9xy+=. （2）设点()0, 4B关于l的对称点 00 (,)B xy，则 00 0