（江苏专用）2020版高考数学复习第八章立体几何8.3直线、平面垂直的判定与性质课件.pptx

8.3 直线、平面垂直的判定与性质,第八章 立体几何,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.直线与平面垂直,ZHISHISHULI,(1)定义 如果直线a与平面内的 直线都垂直，则直线a与平面互相垂直，记作a，直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面.垂线和平面的交点即为垂足.,任意一条,(2)判定定理与性质定理,相交,a，b,abO,la,lb,平行,a,b,2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 的角.,它在平面上的射影,直角,0,3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角：一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角； 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作 的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是 ，那么就说这两个平面互相垂直.,两个半平面,垂直于棱,直二面角,(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理,垂线,交线,1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？ 提示 垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面. 2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？ 提示 垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面.,【概念方法微思考】,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( ) (2)直线a，b，则ab.( ) (3)若，a，则a.( ) (4)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.( ) (5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( ),基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,2.P43练习T2下列命题中正确的是_.(填序号) 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面； 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面； 如果平面平面，平面平面，l，那么l平面； 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面.,解析 对于，若平面平面， 则平面内的直线可能不垂直于平面， 即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内， 其他命题均是正确的.,3.P45T11在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；,外,1,2,3,4,5,6,解析 如图1，连结OA，OB，OC，OP， 在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB， 所以OAOBOC，即O为ABC的外心.,(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.,垂,1,2,3,4,5,6,解析 如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB， PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB， ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC， AB平面PGC，又CG平面PGC， ABCG，即CG为ABC边AB上的高. 同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高， 即O为ABC的垂心.,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,4.若l，m为两条不同的直线，为平面，且l，则“m”是“ml”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”),充分不必要,解析 由l且m能推出ml，充分性成立； 若l且ml，则m或者m，必要性不成立， 因此“m”是“ml”的充分不必要条件.,垂直,1,2,3,4,5,6,5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是_.,解析 因为DD1平面ABCD，所以ACDD1， 又因为ACBD，DD1BDD， 所以AC平面BDD1B1， 因为OM平面BDD1B1，所以OMAC. 设正方体的棱长为2，,所以OM2MN2ON2，所以OMMN.,6.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A，B的任一点，则图中直角三角形的个数为_.,1,2,3,4,5,6,4,解析 因为AB是圆O的直径，所以ACBC，ACB是直角三角形； 由PA平面ABC可得，PAAB，PAAC， 所以PAB与PAC是直角三角形； 因为PA平面ABC，且BC平面ABC， 所以PABC. 又BCAC，PAACA， 所以BC平面PAC.而PC平面PAC， 所以BCPC，PCB是直角三角形.故直角三角形的个数为4.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 直线与平面垂直的判定与性质,师生共研,例1 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中点，F是CC1上一点.当CF2时，证明：B1F平面ADF.,证明 因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC. 在直三棱柱ABCA1B1C1中， 因为BB1底面ABC，AD底面ABC， 所以ADB1B. 因为BCB1BB，BC，B1B平面B1BCC1， 所以AD平面B1BCC1. 因为B1F平面B1BCC1， 所以ADB1F.,方法一 在矩形B1BCC1中， 因为C1FCD1，B1C1CF2， 所以RtDCFRtFC1B1， 所以CFDC1B1F， 所以B1FD90， 所以B1FFD. 因为ADFDD，AD，FD平面ADF， 所以B1F平面ADF.,方法二 在RtB1BD中，BDCD1，BB13，,在RtB1C1F中，B1C12，C1F1，,在RtDCF中，CF2，CD1，,显然DF2B1F2B1D2， 所以B1FD90.所以B1FFD. 因为ADFDD，AD，FD平面ADF， 所以B1F平面ADF.,证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.,跟踪训练1 如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD. 求证：(1)EF平面ABC；,证明 在平面ABD内，因为ABAD，EFAD， 则ABEF. 又因为EF平面ABC，AB平面ABC， 所以EF平面ABC.,(2)ADAC.,证明 因为平面ABD平面BCD， 平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD， 所以BC平面ABD. 因为AD平面ABD，所以BCAD. 又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC， 所以AD平面ABC. 又因为AC平面ABC，所以ADAC.,例2 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点. (1)求证：平面PAD平面ABCD；,题型二 平面与平面垂直的判定与性质,师生共研,证明 因为AP平面PCD，CD平面PCD，所以APCD. 又四边形ABCD为矩形，所以ADCD， 又因为APADA，AP平面PAD，AD平面PAD， 所以CD平面PAD. 又因为CD平面ABCD， 所以平面PAD平面ABCD.,(2)求证：EF平面PAD.,证明 连结AC，BD交于点O，连结OE，OF. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为AC的中点. 因为E为PC的中点，所以OEPA. 因为OE平面PAD，PA平面PAD， 所以OE平面PAD. 同理可证OF平面PAD. 因为OEOFO，OB，OF平面OEF， 所以平面OEF平面PAD. 因为EF平面OEF，所以EF平面PAD.,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,跟踪训练2 (2018南京、盐城模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点. (1)求证：B1C1平面A1DE；,证明 因为D，E分别是AB，AC的中点， 所以DEBC. 又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC， 所以B1C1DE. 又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE， 所以B1C1平面A1DE.,(2)求证：平面A1DE平面ACC1A1.,证明 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC， 又DE底面ABC，所以CC1DE. 又BCAC，DEBC，所以DEAC. 又CC1，AC平面ACC1A1， 且CC1ACC， 所以DE平面ACC1A1， 又因为DE平面A1DE， 所以平面A1DE平面ACC1A1.,题型三 垂直关系中的探索性问题,师生共研,例3 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2. (1)求证：C1E平面ADF；,证明 连结CE交AD于O，连结OF. 因为CE，AD为ABC的中线，,因为OF平面ADF，C1E平面ADF， 所以C1E平面ADF.,(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM平面ADF.,解 当BM1时，平面CAM平面ADF. 证明如下：因为ABAC，AD平面ABC，故ADBC. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1， 故平面B1BCC1平面ABC. 又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC， 所以AD平面B1BCC1， 又CM平面B1BCC1，故ADCM. 又BM1，BC2，CD1，FC2，故RtCBMRtFCD. 易证CMDF，又DFADD，DF，AD平面ADF， 故CM平面ADF. 又CM平面CAM，故平面CAM平面ADF.,对命题条件的探索的三种途径 途径一：先猜后证. 途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性. 途径三：将几何问题转化为代数问题.,跟踪训练3 如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1. (1)求证：平面CFG平面ACE；,证明 连结BD交AC于点O，则BDAC. 设AB，AD的中点分别为M，N，连结MN，则MNBD， 连结FM，GN，则FMGN，且FMGN， 所以四边形FMNG为平行四边形， 所以MNFG，所以BDFG，所以FGAC. 由于AE平面ABCD，所以AEBD. 所以FGAE， 又因为ACAEA，AC，AE平面ACE， 所以FG平面ACE. 又FG平面CFG，所以平面CFG平面ACE.,(2)在AC上是否存在一点H，使得EH平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由.,解 存在.设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点， 连结EQ，CQ，取CO的中点H，连结EH， 由已知易知，平面EFG平面ABCD， 又平面ACE平面EFGEQ， 平面ACE平面ABCDAC，,所以四边形EQCH为平行四边形，所以EHCQ， 又CQ平面CFG，EH平面CFG， 所以EH平面CFG，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.已知两条异面直线平行于一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是_.(填序号) 平行；垂直；斜交；不能确定.,解析 设a，b为异面直线，a平面，b平面，直线la，lb. 过a作平面a，则aa，la. 同理过b作平面b，则lb. a，b异面，a与b相交，l.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,必要不充分,2.设l，m表示直线，m是平面内的一条直线，则“lm”是“l”成立的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”),解析 由线面垂直的定义知，直线垂直于平面内至少两条相交直线， 则直线与平面垂直，只平行于平面内一条直线说明充分性不成立， 反之，直线垂直于平面， 则直线垂直于平面内任意一条直线，说明是必要条件， 则“lm”是“l”成立的必要不充分条件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.已知平面，直线m，n.给出下列命题： 若，n，mn，则m； 若n，n，m，则m； 若m，n，mn，则； 若，m，n，则mn. 其中，真命题是_.(填序号),解析 对于，当m时，才能保证m，不对； 对于，由m，n，得mn，又n，所以m，对； 都对.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.设m，n是两条不同的直线，是三个不重合的平面，给出下列四个命题： 若，m，则m； 若，m，则m； 若m，m，则； 若mn，n，则m. 其中正确的命题是_.(填序号),解析 易知正确； 可能有m，m，m与相交等情况，故不正确； 正确； 可以有m或m，故不正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(或),5.设，是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线.从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.(用序号表示),解析 逐一判断. 若成立，则m与的位置关系不确定，故错误； 同理也错误； 与均正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,6.如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_.,解析 PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC， PAAB，PAAC，PABC， 则PAB，PAC为直角三角形. 由BCAC，且ACPAA，得BC平面PAC， 从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,AB,7.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线_上.,解析 ACAB，ACBC1，ABBC1B， AC平面ABC1. 又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC. C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,DMPC(或BMPC等),8.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可),解析 PA底面ABCD，BDPA， 连结AC，则BDAC， 且PAACA，BD平面PAC，BDPC. 当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD， 而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如图所示的五个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l平面MNP的是_.(填序号),解析 图中，只有MPl； 图中，l与MN，PN，MP均不垂直； 图中l与NP，MP不垂直.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上.点P到直线CC1的距离的最小值为_.,解析 点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离， 设点P在平面ABCD上的射影为P， 显然点P到直线CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018江苏南京师大附中考前模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：ABEF；,证明 因为四边形ABCD是矩形， 所以ABCD. 又AB平面PDC，CD平面PDC， 所以AB平面PDC， 又因为AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF， 所以ABEF.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD.,证明 因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD. 因为AFEF，(1)中已证ABEF，所以ABAF. 又ABAD， 由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D， 所以AFADA，AF，AD平面PAD， 所以AB平面PAD， 又AB平面ABCD， 所以平面PAD平面ABCD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)证明：MN平面PDC；,证明 因为ABBC，ADCD， 所以BD垂直平分线段AC. 又ADC120，,所以MNPD. 又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值.,解 因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA， 又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC， 所以BD平面PAC. 由(1)知MNPD， 所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角， 故DPM即为所求的角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，给出下面三个结论： BC平面PDF； DF平面PAE； 平面PDF平面ABC. 其中不成立的结论是_.(填序号),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图，由题意知BCDF， 又BC平面PDF，DF平面PDF， BC平面PDF. PABC为正四面体，BCPE，AEBC， 又AEPEE， BC平面PAE， DF平面PAE， 平面PAE平面ABC， 成立. 易知PMA为二面角PDFA的平面角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,PA2AM2PM2， 即PMA不为90，平面PDF与平面ABC不垂直， 故不成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论： AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC. 其中正确结论的序号是_.,解析 由题意知PA平面ABC，PABC. 又ACBC，且PAACA，PA，AC平面PAC， BC平面PAC，BCAF. AFPC，且BCPCC