（江苏专用）2020版高考数学复习第八章立体几何8.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件.pptx

8.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,第八章 立体几何,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断，题型主要以填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.四个公理、三个推论 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线. 公理3：经过 的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .,ZHISHISHULI,两点,不在同一条直线上,平行,2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类,任何,定理：过平面内的一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.,平行,相交,(2)异面直线所成的角 定义：设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线aa，bb，把直线a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).,定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 3.直线与平面的位置关系有 、 、_ _三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况.,锐角(或直角),直线在平面内,直线与平面相交,直线与平,面平行,平行,相交,范围：_.,1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？ 提示 不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线也可能平行或相交. 2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？ 提示 不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.,【概念方法微思考】,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.( ) (2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线. ( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( ),基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,1,2,3,4,5,6,(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线.( ) (6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线. ( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,2.P27习题T8如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为_.,解析 连结B1D1，D1C(图略)， 则B1D1EF，故D1B1C即为所求的角. 又B1D1B1CD1C， B1D1C为等边三角形， D1B1C60.,60,3.P28T12如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；,ACBD,1,2,3,4,5,6,解析 四边形EFGH为菱形， EFEH，,ACBD.,(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形.,ACBD且ACBD,1,2,3,4,5,6,解析 四边形EFGH为正方形，EFEH且EFEH，,ACBD且ACBD.,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,4.用集合符号表示“点P在直线l外，直线l在平面内”为_.,Pl，l,5.已知l，m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列判断正确的是_.(填序号) 若m，n，则mn； 若m，n，则mn； 若l，m，m，则ml； 若m，n，lm，ln，则l.,1,2,3,4,5,6,解析 中，m，n可能的位置关系为平行、相交、异面，故错误； 中，m与n也有可能平行，错误； 中，根据线面平行的性质可知正确； 中，若mn，根据线面垂直的判定可知错误.,6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_.,1,2,3,4,5,6,3,解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化， 则AB，CD，EF和GH在原正方体中， 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线， 而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行. 故互为异面的直线有且只有3对.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 平面基本性质的应用,师生共研,例1 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证： (1)E，C，D1，F四点共面；,证明 如图，连结EF，CD1，A1B. E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1. 又A1BD1C，EFCD1， E，C，D1，F四点共面.,(2)CE，D1F，DA三线共点.,证明 EFCD1，EFCD1， CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示. 则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直线DA，CE，D1F，DA三线共点.,共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法： 先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； 证两平面重合. (2)证明共线的方法： 先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； 直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.,跟踪训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12. (1)求证：E，F，G，H四点共面；,证明 E，F分别为AB，AD的中点， EFBD.,GHBD，EFGH. E，F，G，H四点共面.,(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 证明 EGFHP，PEG，EG平面ABC， P平面ABC.同理P平面ADC. P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC平面ADCAC， PAC，P，A，C三点共线.,例2 已知空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD的中点. (1)求证：BC与AD是异面直线；,题型二 判断空间两直线的位置关系,师生共研,证明 假设BC与AD不是异面直线，则BC与AD共面. 不妨设它们所共平面为，则B，C，A，D， 所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾. 所以BC与AD是异面直线.,(2)求证：EG与FH相交.,证明 如图，连结AC，BD， 则EFAC，HGAC， 因此EFHG； 同理EHFG， 则EFGH为平行四边形. 又EG，FH是平行四边形EFGH的对角线， 所以EG与FH相交.,空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.,跟踪训练2 (1)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”),充分不必要,解析 若直线a和直线b相交，则平面和平面相交； 若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交.,(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： 直线AM与CC1是相交直线； 直线AM与BN是平行直线； 直线BN与MB1是异面直线； 直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为_.(注：把你认为正确的结论序号都填上),解析 因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故错； 取DD1中点E，连结AE，则BNAE，但AE与AM相交，故错； 因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1， 所以BN与MB1是异面直线，故正确； 同理正确，故填.,题型三 求两条异面直线所成的角(选讲),师生共研,例3 在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为_.,解析 如图，连结BC1，易证BC1AD1， 则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角. 连结A1C1，由AB1，AA12，,AB1，AA1t.,用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角.,跟踪训练3 (1)(2018全国改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为_.,解析 如图，因为ABCD， 所以AE与CD所成角为EAB. 在RtABE中，设AB2，,(2)(2018全国改编)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 ，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为_.,解析 方法一 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体ABBAA1B1B1A1. 连结B1B，由长方体性质可知，B1BAD1， 所以DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.,在DBB1中，由余弦定理，得,方法二 如图，以点D为坐标原点， 分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.,直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题.,核心素养之直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,立体几何中的线面位置关系,(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；,证明 由已知FGGA，FHHD，,GHBC且GHBC， 四边形BCHG为平行四边形.,(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？,BEFG且BEFG， 四边形BEFG为平行四边形， EFBG. 由(1)知BGCH. EFCH，EF与CH共面. 又DFH，C，D，F，E四点共面.,素养提升 平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,1.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为_.,解析 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，下列表示正确的是_.(填序号) Al，l；Al，l；Al，l；Al，l.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.给出下列命题： 四边形是平面图形； 有三个公共点的两个平面重合； 两两相交的三条直线必在同一平面内； 三角形必是平面图形. 其中正确命题的序号为_.,解析 由公理3知三角形必是平面图形.,4.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,解析 EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018江苏昆山中学质检)已知平面平面，l，点A，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是_. ABm；ACm；AB；AC.,解析 如图所示，ABlm； ACl，mlACm； ABlAB，只有不一定成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6,6.正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有_条.,解析 如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2017全国改编)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.,解析 方法一 将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1， 如图所示，连结AD1，B1D1，BD. 由题意知ABC120，AB2，BCCC11，,图,在ABD中，由余弦定理知 BD2AB2AD22ABADcosDAB 2212221cos 603，,又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示.,图,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,平行,8.在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是_.,解析 如图所示，连结SG1并延长交AB于M，连结SG2并延长交AC于N，连结MN.,G1G2MN， 易知MN是ABC的中位线，MNBC， G1G2BC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD， 因为C是圆柱下底面弧AB的中点， 所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角， 因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD. 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合. 易知GH与EF异面，BD与MN异面. 连结GM，GMH为等边三角形， GH与MN成60角， 易证DEAF，又MNAF，MNDE. 因此正确命题的序号是.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点. (1)求证：直线EF与BD是异面直线；,证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面， 从而DF与BE共面，即AD与BC共面， 所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾. 故直线EF与BD是异面直线.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 取CD的中点G，连结EG，FG，则ACFG，EGBD， 所以相交直线EF与EG所成的角， 即为异面直线EF与BD所成的角. 又因为ACBD，则FGEG.,在RtEGF中，由EGFG AC，求得FEG45，,即异面直线EF与BD所成的角为45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)三棱锥PABC的体积；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 如图，取PB的中点E，连结DE，AE，则EDBC， 所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为_.,解析 如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1， 平面CB1D1，则m1m， 又平面ABCD平面A1B1C1D1， 平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1， B1D1m，同理可得CD1n. 故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小. 又B1CB1D1CD1(均为面对角线)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD. 其中正确结论的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图，ABEF，正确； 显然ABCM，所以不正确； EF与MN是异面直线，所以正确； MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC