（江苏专用）2020版高考数学一轮复习第十四章圆锥曲线与方程14.1椭圆及其性质课件.pptx

第十四章 圆锥曲线与方程 14.1 椭圆及其性质,高考数学 (江苏省专用),五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,1.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 + =1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 .,答案,解析 由已知条件易得B ,C , F(c,0), = , = , 由BFC=90,可得 =0, 所以 + =0, 得c2- a2+ b2=0, 即4c2-3a2+(a2-c2)=0, 亦即3c2=2a2, 所以 = ,则e= = .,2.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(ab0)的焦点为F1(-1,0), F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接 AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1= . (1)求椭圆C的标准方程; (2)求点E的坐标.,解析 本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆 的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. (1)设椭圆C的焦距为2c. 因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1. 又因为DF1= ,AF2x轴,所以DF2= = = . 因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2. 由b2=a2-c2,得b2=3. 因此,椭圆C的标准方程为 + =1. (2)解法一:由(1)知,椭圆C: + =1,a=2. 因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1. 将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4. 因为点A在x轴上方,所以A(1,4). 又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.,由 得5x2+6x-11=0, 解得x=1或x=- . 将x=- 代入y=2x+2,得y=- . 因此B . 又F2(1,0),所以直线BF2:y= (x-1). 由 得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x= . 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1. 将x=-1代入y= (x-1),得y=- . 因此E . 解法二:由(1)知,椭圆C: + =1.,如图,连接EF1. 因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB, 从而BF1E=B. 因为F2A=F2B,所以A=B. 所以A=BF1E,从而EF1F2A. 因为AF2x轴,所以EF1x轴. 因为F1(-1,0),由 解得y= . 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=- . 因此E .,3.(2018江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点 ,焦点F1(- ,0),F2( , 0),圆O的直径为F1F2. (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. 若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; 直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为 ,求直线l的方程.,解析 本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、 直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力. (1)解法一:因为椭圆C的焦点为F1(- ,0),F2( ,0), 所以可设椭圆C的方程为 + =1(ab0). 又点 在椭圆C上, 所以 解得 因此,椭圆C的方程为 +y2=1. 因为圆O的直径为F1F2, 所以其方程为x2+y2=3. 解法二:设椭圆C的方程为 + =1(ab0). 因为椭圆C的焦点为F1(- ,0),F2( ,0),又点 在椭圆C上,所以2a= + = + =4,所以a=2, 又因为c= ,所以b2=1, 因此,椭圆C的方程为 +y2=1. 因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3. (2)解法一:设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则 + =3. 所以直线l的方程为y=- (x-x0)+y0, 即y=- x+ . 由 消去y,得 (4 + )x2-24x0x+36-4 =0.(*) 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以=(-24x0)2-4(4 + )(36-4 )=48 ( -2)=0. 因为x0,y00,所以x0= ,y0=1.,因此,点P的坐标为( ,1). 因为三角形OAB的面积为 , 所以 ABOP= ,从而AB= . 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由(*)得x1,2= , 所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 = .,因为 + =3, 所以AB2= = ,即2 -45 +100=0. 解得 = ( =20舍去),则 = ,因此P的坐标为 . 则直线l的方程为y=- x+3 . 解法二:由题意知,直线l斜率存在, 设直线l的方程为y=kx+m. 因为直线l与圆O相切于点P,所以 = , 即m2=3(1+k2),由 消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0(*). 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点, 所以=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(k2-2)=0, 解得k= .,因为点P在第一象限,所以k=- ,从而m=3, 则直线l的方程为y=- x+3. 由 解得 因此,点P的坐标为( ,1). 因为三角形OAB的面积为 , 所以 ABOP= ,从而AB= . 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由(*)得x1,2= , 所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =(1+k2) , 所以(1+k2) = ,即17k4-65k2-100=0,解得k2=5 . 因为P在第一象限,所以k=- ,从而m=3 , 此时=16(k2-2)0, 综上,直线l的方程为y=- x+3 .,典型错解 错解1:对于直线与圆相切,直线与椭圆有且只有一个公共点的处理方法不清楚. 错解2:没有将三角形OAB的面积问题转化为AB长度问题. 错解3:字母和数值的运算出错. 错解4:没有交代条件就直接取舍数值.如没有交代P在第一象限,直接取k=- ,k=- 等.,名师点睛 本题从椭圆的基本问题出发,结合直线与圆的方程及几何性质,对两者进行综合,考 查综合处理问题的能力.第一问是基础问题,第二问判断直线及曲线的位置关系涉及解析几何 的基本思想方法.因此在复习中要注意以下几点: (1)重视圆锥曲线定义的理解和应用.一方面既要理解圆锥曲线的定义,还要了解圆锥曲线的其 他表现形式;另一方面要充分创造条件应用定义,从而简化问题. (2)总结基本问题的常见算法.如直线与圆锥曲线的交点个数问题、求交点问题、弦长问题、 中点问题等. (3)合理选择解题思路.不同的解题思路可能导致不同的运算量,所以要先分析题目中未知点的 坐标关系,权衡所设变量,合理选择方法,从而确定最优的解题思路. (4)优化解题运算过程.解析几何不可避免地会涉及较多计算,而且涉及较多的字母运算,需要 从算理上进行权衡,避免死算蛮算,从整体角度观察,优化运算过程. (5)适时利用平面几何性质.解析几何本质上是几何问题,要挖掘题目中的平面几何性质,从而 优化解题路径,减少运算量.,4.(2017江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E: + =1(ab0)的左、右焦点分 别为F1,F2,离心率为 ,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线 PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2. (1)求椭圆E的标准方程; (2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.,解析 本题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基 础知识,考查分析问题能力和运算求解能力. (1)设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为 ,两准线之间的距离为8,所以 = , =8,解得a=2,c=1,于是b= = , 因此椭圆E的标准方程是 + =1. (2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0). 设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x00,y00. 当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符. 当x01时,直线PF1的斜率为 ,直线PF2的斜率为 . 因为l1PF1,l2PF2,所以直线l1的斜率为- ,直线l2的斜率为- , 从而直线l1的方程:y=- (x+1), ,直线l2的方程:y=- (x-1). 由,解得x=-x0,y= , 所以Q . 因为点Q在椭圆上,由对称性,得 =y0,即 - =1或 + =1. 又P在椭圆E上,故 + =1. 由 解得x0= ,y0= ; 无解. 因此点P的坐标为 .,5.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 + =1(ab0)的离心率为 ,且右焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2 AB,求直线AB的方程.,解析 (1)由题意,得 = 且c+ =3, 解得a= ,c=1,则b=1, 所以椭圆的标准方程为 +y2=1. (2)当ABx轴时,AB= ,又CP=3,不合题意. 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2= ,C的坐标为 ,且AB= = = . 若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意. 从而k0,故直线PC的方程为y+ =- , 则P点的坐标为 , 从而PC= .,因为PC=2AB, 所以 = , 解得k=1. 此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 椭圆的定义和标准方程,1.(2019课标全国理改编,10,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B 两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 .,答案 + =1,解析 本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用,考查学生的运算求解能力,考 查了方程的思想方法,体现的核心素养是数学运算,具有很好的创新性. 设|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x, |BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x, 由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x. 在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|F1F2|cosBF2F1,即9x2=x2+22-4xcosBF2 F1, 在AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22+8xcos,BF2F1, 由得x= ,所以2a=4x=2 ,a= ,所以b2=a2-c2=2. 所以椭圆的方程为 + =1.,2.(2019课标全国理,15,5分)设F1,F2为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且在第一象 限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为 .,答案 (3, ),解析 本题考查椭圆的定义与几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合的思想方法; 考查了数学运算的核心素养. 不妨设F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,由M点在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2 |,又由椭圆方程 + =1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=26=12, 所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4. 设M(x0,y0)(x00,y00), 则 解得x0=3,y0= , 即M(3, ).,一题多解 依题意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cosMF1F2= = ,则tanMF1F2= . 所以直线MF1的方程为y-0= (x+4). 设M(6cos ,2 sin ),因为M点在直线MF1上, 所以2 sin = (6cos +4), 结合sin2+cos2=1且sin 0,cos 0得cos = ,sin = , 即M点的坐标为(3, ).,3.(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆 +y2=m(m1)上两点A,B满足 =2 ,则当m= 时,点B横坐标的绝对值最大.,答案 5,解析 本题考查椭圆的标准方程,向量的坐标运算,二次函数的最值. 设B(t,u),由 =2 ,易得A(-2t,3-2u). 点A,B都在椭圆上, 从而有 +3u2-12u+9=0,即 +u2=4u-3. 即有4u-3=mu= , + =m,t2=- m2+ m- =- (m-5)2+4. 当m=5时,(t2)max=4,即|t|max=2, 即当m=5时,点B横坐标的绝对值最大.,思路分析 (1)设出点B的坐标,利用向量的坐标运算得点A的坐标. (2)利用点A,B都在椭圆上得方程组,求得点B的横、纵坐标满足的关系式. (3)利用(2)中的关系式及点B在椭圆上,把点B的横坐标的平方表示为关于m的函数. (4)利用二次函数的最值得结论.,4.(2018天津理,19,14分)设椭圆 + =1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率 为 ,点A的坐标为(b,0),且|FB|AB|=6 . (1)求椭圆的方程; (2)设直线l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若 = sin AOQ(O为原点),求k的值.,解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研 究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有 = , 又由a2=b2+c2,可得2a=3b. 由已知可得,|FB|=a,|AB|= b, 由|FB|AB|=6 ,可得ab=6,从而a=3,b=2. 所以,椭圆的方程为 + =1. (2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2). 由已知有y1y20,故|PQ|sinAOQ=y1-y2. 又因为|AQ|= ,而OAB= ,故|AQ|= y2. 由 = sinAOQ,可得5y1=9y2. 由方程组 消去x,可得y1= .,易知直线AB的方程为x+y-2=0, 由方程组 消去x,可得y2= . 由5y1=9y2,可得5(k+1)=3 ,两边平方, 整理得56k2-50k+11=0,解得k= ,或k= . 所以,k的值为 或 .,5.(2017天津文,20,14分)已知椭圆 + =1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为 (0,c),EFA的面积为 . (1)求椭圆的离心率; (2)设点Q在线段AE上,|FQ|= c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线 PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c. (i)求直线FP的斜率; (ii)求椭圆的方程.,解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研 究圆锥曲线的性质和方程思想.考查运算求解能力,以及综合分析问题和解决问题的能力. (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c= . 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 又因为00),则直线FP的斜率为 . 由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为 + =1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x= ,y= ,即点Q的坐标为 .由已知|FQ|= c,有 + = ,整理得3m2-4m=0,所以m= ,即直线FP的斜率为 . (ii)由a=2c,可得b= c,故椭圆方程可以表示为 + =1. 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0, 解得x=- (舍去),或x=c.因此可得点P ,进而可得|FP|= = ,所以|PQ|=|FP| -|FQ|= - =c. 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线 FP. 因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN= = ,所以FQN的面积为 |FQ|QN|= ,同理 FPM的面积等于 ,由四边形PQNM的面积为3c,得 - =3c,整理得c2=2c,又由c0,得 c=2. 所以,椭圆的方程为 + =1.,6.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为 + =1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0), 点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 . (1)求E的离心率e; (2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ,求E的方 程.,解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为 , 因为kOM= ,所以 = . 所以a= b,c= =2b.故e= = . (2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为 + =1,点N的坐标为 . 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为 ,则线段NS的中点T的坐标为 . 因为点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,所以有 解得b=3. 所以a=3 ,故椭圆E的方程为 + =1.,评析 本题考查椭圆的方程、几何性质以及对称问题,利用方程思想解决点关于直线的对称 问题,考查利用待定系数法求椭圆的方程,考查学生的运算求解能力和化归思想的应用.,考点二 椭圆的几何性质,1.(2019北京理改编,4,5分)已知椭圆 + =1(ab0)的离心率为 ,则 . a2=2b2;3a2=4b2;a=2b;3a=4b.,答案 ,解析 本题考查椭圆的标准方程及离心率;通过椭圆的几何性质考查学生的理解与运算能力; 考查的核心素养是数学运算. 由题意知 =e2= ,整理得3a2=4b2.,易错警示 椭圆与双曲线中a、b、c关系的区别: (1)椭圆:b2+c2=a2;(2)双曲线:c2=a2+b2.,2.(2018课标全国文改编,4,5分)已知椭圆C: + =1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 .,答案,解析 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质. 由题意可知c=2,b2=4,a2=b2+c2=4+22=8,则a=2 , e= = = .,方法总结 求椭圆离心率的常用方法: (1)求得a,c的值,直接代入e= 求解. (2)列出关于a,b,c的齐次方程,结合b2=a2-c2消去b,从而转化为关于e的方程求解.,3.(2018课标全国理改编,12,5分)已知F1,F2是椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点,A是C的 左顶点,点P在过A且斜率为 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为 .,答案,解析 本题考查直线方程和椭圆的几何性质. 由题意易知直线AP的方程为y= (x+a), 直线PF2的方程为y= (x-c). 联立得y= (a+c), 如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH= (a+c). 因为PF2H=60,PF2=F1F2=2c,PH= (a+c),所以sin 60= = = , 即a+c=5c,即a=4c, 所以e= = .,解题关键 通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键.,4.(2018课标全国文改编,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2, 且PF2F1=60,则C的离心率为 .,答案 -1,解析 本题主要考查椭圆的定义和几何性质. 不妨设椭圆方程为 + =1(ab0). 在RtF1PF2中,因为PF2F1=60,|F1F2|=2c, 所以|PF2|=c,|PF1|= c. 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a, 即 c+c=2a, 所以椭圆的离心率e= = = -1.,疑难突破 利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,结合题意得到a与c的等量关系是求解的关键,也是 难点的突破口.,5.(2018北京理,14,5分)已知椭圆M: + =1(ab0),双曲线N: - =1.若双曲线N的两条渐 近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N的离心率为 .,答案 -1;2,解析 本题考查椭圆与双曲线的几何性质. 解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭 圆M的两个焦点. 直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y= x, = .设m=k,则n= k,则双曲线N的离心率e2= =2. 连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得F1CF2=90,CF1F2=30. 设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=c,|CF1|= c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即( +1)c=2a,椭 圆M的离心率e1= = = = -1.,解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为 ,代入椭圆M的方程,并结 合a,b,c的关系,联立得方程组 解得 = -1 .,方法总结 求椭圆和双曲线的离心率的关键是通过其几何性质找到a,c所满足的关系,从而求 出c与a的比值,即得离心率.,6.(2017浙江改编,2,5分)椭圆 + =1的离心率是 .,答案,解析 本题考查椭圆的标准方程和几何性质. 由题意得a=3,c= ,离心率e= = .,7.(2017课标全国文改编,12,5分)设A,B是椭圆C: + =1长轴的两个端点.若C上存在点M满 足AMB=120,则m的取值范围是 .,答案 (0,19,+),解析 本题考查圆锥曲线的几何性质. 当03时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0, ),B(0,- ),M( ,0),图(2),当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|OA|3,即 3,即m9. 综上,m(0,19,+).,易错警示 在求解本题时,要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴的两 个端点,并未说明椭圆长轴所在的坐标轴,因此,要根据m与3的大小关系,讨论椭圆长轴所在的 坐标轴.,8.(2019课标全国文,20,12分)已知F1,F2是椭圆C: + =1(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O 为坐标原点. (1)若POF2为等边三角形,求C的离心率; (2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.,解析 本题主要考查椭圆的定义、简单的几何性质;考查数形结合的数学思想和逻辑思维能 力与运算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养. (1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中,F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|= c,于是2a=| PF1|+|PF2|=( +1)c,故C的离心率e= = -1. (2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当 |y|2c=16, =-1, + =1, 即c|y|=16, x2+y2=c2, + =1. 由及a2=b2+c2得y2= , 又由知y2= ,故b=4. 由得x2= (c2-b2), 所以c2b2,从而a2=b2+c22b2=32,故a4 . 当b=4,a4 时,存在满足条件的点P. 所以b=4,a的取值范围为4 ,+).,思路分析 第(1)问中由平面几何知识可知PF1F2是F1PF2=90的直角三角形,且|PF2|=c,|PF 1|= c,再利用椭圆的定义找出a与c的等量关系,进而求离心率. 第(2)问中设出P点坐标,利用 =16,PF1PF2以及 + =1得到方程,消元化简可求 b的值和a的取值范围.,一题多解 (2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 由椭圆的定义可得r1+r2=2a, = r1r2=16,r1r2=32. 又PF1PF2, + =4c2, (r1+r2)2= + +2r1r2=4c2+64=4a2, 4a2-4c2=64,b=4, 又 + 2r1r2,4c2232,c4, a2=b2+c2=16+c232, b的值为4,a的取值范围为4 ,+).,9.(2016浙江理,19,15分)如图,设椭圆 +y2=1(a1). (1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示); (2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.,解析 (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP, 由 得(1+a2k2)x2+2a2kx=0, 故x1=0,x2=- . 因此|AP|= |x1-x2|= . (2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP |=|AQ|. 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2. 由(1)知,|AP|= ,|AQ|= , 故 = , 所以( - )1+ + +a2(2-a2) =0. 由于k1k2,k1,k20得1+ + +a2(2-a2) =0,因此 =1+a2(a2-2), 因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1,所以a . 因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a , 由e= = 得,所求离心率的取值范围为0e .,评析 本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几 何的基本思想方法和综合解题能力.,考点三 直线与椭圆的位置关系,1.(2019浙江,15,4分)已知椭圆 + =1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是 .,答案,解析 本题主要考查椭圆的定义和标准方程、直线斜率与倾斜角的关系,以及解三角形,旨在 考查学生的综合应用能力及运算求解能力,重点应用数形结合思想,突出考查了直观想象与数 学运算的核心素养. 如图,记椭圆的右焦点为F,取PF中点为M, 由题知a=3,b= ,c=2,连接OM,PF, 则|OM|=|OF|=2,又M为PF的中点, |PF|=2|OM|,PFOM,|PF|=4, 又P在椭圆上,|PF|+|PF|=6,|PF|=2,在PFF中,|PF|=|FF|=4,|PF|=2,连接FM, 则FMPF,|FM|= = = ,kPF=tanPFF= = . 即直线PF的斜率为 .,一题多解 易知F(-2,0),设P(3cos , sin ),设PF的中点为M,则M ,|OM|=| OF|=2, + =4,9cos2-12cos +4+5sin2=16,又sin2=1-cos2, 4cos2-12cos -7=0,解得cos =- ,sin2= , 又P在x轴上方,sin = , P ,kPF= ,故答案为 . 疑难突破 试题中只出现了椭圆的一个焦点,需要作出另一个焦点,并将椭圆定义作为隐含条 件直接应用是求解本题的突破口.再由条件中的中点M联想到利用三角形中位线的性质求出 PF的长度是解决本题的关键.,2.(2019天津文,19,14分)设椭圆 + =1(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知 | OA|=2|OB|(O为原点). (1)求椭圆的离心率; (2)设经过点F且斜率为 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心 C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方程.,解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方 法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力. (1)设椭圆的半焦距为c,由已知有 a=2b. 又由a2=b2+c2,消去b得a2= +c2,解得 = . 所以,椭圆的离心率为 . (2)由(1)知,a=2c,b= c,故椭圆方程为 + =1. 由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y= (x+c). 点P的坐标满足 消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=- . 代入到l的方程,解得y1= c,y2=- c. 因为点P在x轴上方,所以P .,由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t). 因为OCAP,且由(1)知A(-2c,0),故 = ,解得t=2.则C(4,2). 因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得 =2,可得c=2. 所以,椭圆的方程为 + =1.,思路分析 (1)由已知条件,得a与b的比例关系,代入a2=b2+c2,得a与c的齐次关系,进而求得离心 率.(2)设出直线方程(含参数c),联立直线与椭圆方程(含参数c),得交点P的坐标(含参数c),由kAP= kOC,求得C点坐标以及圆的半径r,最后由圆心到直线距离等于半径列出关于c的方程,求得c的 值,最终确定椭圆方程.,3.(2019北京文,19,14分)已知椭圆C: + =1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1). (1)求椭圆C的方程; (2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线 AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|=2,求证:直线l经过定点.,解析 本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识点,考查学生用方程思想、 数形结合思想、分类讨论解决综合问题的能力,体现了逻辑推理、直观想象和数学运算的核 心素养. (1)由题意得,b2=1,c=1. 所以a2=b2+c2=2. 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则直线AP的方程为y= x+1. 令y=0,得点M的横坐标xM=- . 又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|= . 同理,|ON|= .,由 得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0. 则x1+x2=- ,x1x2= . 所以|OM|ON|= = = =2 . 又|OM|ON|=2,所以2 =2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).,4.(2018课标全国理,19,12分)设椭圆C: +y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点 M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.,解析 (1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1, 由已知可得,点A的坐标为 或 . 所以AM的方程为y=- x+ 或y= x- . (2)证明:当l与x轴重合时,OMA=OMB=0, 当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线, 所以OMA=OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时, 设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1 ,x2 ,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB= + , 由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB= . 将y=k(x-1)代入 +y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, 所以,x1+x2= ,x1x2= .,则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k= =0, 从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补, 所以OMA=OMB. 综上,OMA=OMB.,5.(2016课标全国,21,12分)已知A是椭圆E: + =1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M 两点,点N在E上,MANA. (1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,证明: k2.,解析 (1)设M(x1,y1),则由题意知y10. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为 . 又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2. (2分) 将x=y-2代入 + =1得7y2-12y=0. 解得y=0或y= ,所以y1= . 因此AMN的面积SAMN=2 = . (4分) (2)将直线AM的方程y=k(x+2)(k0)代入 + =1得 (3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0. 由x1(-2)= 得x1= , 故|AM|=|x1+2| = . 由题设,直线AN的方程为y=- (x+2),故同理可得|AN|= . (7分) 由2|AM|=|AN|得 = ,即4k3-6k2+3k-8=0. (9分) 设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f (t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)单调递增. 又f( )=15 -260,因此f(t)在(0,+)有唯一的零点,且零点k在( ,2)内,所以 k 2. (12分),评析 本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了设而不求,整体运算的技巧,考查了函数的思 想方法,属难题.,6.(2015北京,19,14分)已知椭圆C: + =1(ab0)的离心率为 ,点P(0,1)和点A(m,n)(m0) 都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M. (1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示); (2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得OQM =ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.,解析 (1)由题意得 解得a2=2. 故椭圆C的方程为 +y2=1. 设M(xM,0). 因为m0, 所以-1n1. 直线PA的方程为y-1= x, 所以xM= , 即M . (2)存在.因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n). 设N(xN,0),则xN= .,“存在点Q(0,yQ)使得OQM=ONQ”等价于“存在点Q(0,yQ)使得 = ”,即yQ满足 =|xM|xN|. 因为xM= ,xN= , +n2=1, 所以 =|xM|xN|= =2. 所以yQ= 或yQ=- . 故在y轴上存在点Q,使得OQM=ONQ. 点Q的坐标为(0, )或(0,- ).,评析 本题考查椭圆的标准方程、点与椭圆的位置关系以及对称问题,正确翻译“OQM= ONQ”是解决本题第(2)问的关键,考查学生的运算求解能力和知识的转化与化归能力.,C组 教师专用题组,考点一 椭圆的定义和标准方程,1.(2014大纲全国改编,6,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为 ,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4 ,则C的方程为 .,答案 + =1,解析 由题意及椭圆的定义知4a=4 ,则a= ,又 = = ,c=1,b2=2,C的方程为 + =1.,2.(2013重庆理,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e= ,过左焦点F1作x 轴的垂线交椭圆于A,A两点,|AA|=4. (1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P,过P,P作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余 点均在圆Q外.若PQPQ,求圆Q的标准方程.,解析 (1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则 + =1,从而e2+ =1. 由e= 得b2= =8,从而a2= =16. 故该椭圆的标准方程为 + =1. (2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+ +8 = (x-2x0)2- +8(x-4,4). 设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点, 因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8 - . 因为PQPQ,且P(x1,-y1),所以 =(x1-x0,y1)(x1-x0,-y1)=0, 即(x1-x0)2- =0.由椭圆方程及x1=2x0得 -8 =0, 解得x1= ,x0= = .,从而|QP|2=8- = . 故这样的圆有两个,其标准方程分别为 +y2= , +y2= .,评析 本题考查了椭圆的标准方程、几何性质、函数的最值等知识,考查了运算能力,分析问 题和解决问题的能力,综合性较强.,考点二 椭圆的几何性质,1.(2013江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为 + =1(ab0),右焦点为 F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若d2= d1,则 椭圆C的离心率为 .,答案,解析 由题意得d1= ,d2= -c= ,已知d2= d1,即 = ,解得e= .,2.(2013福建理,14,4分)椭圆: + =1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y= (x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于 .,答案 -1,解析 由已知得直线y= (x+c)过M、F1两点,所以直线MF1的斜率为 ,所以MF1F2=60,则 MF2F1=30,F1MF2=90,如图,故MF1=c,MF2= c,由点M在椭圆上知:MF1+MF2=c+ c=2a, 故e= = -1.,3.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆 + =1(ab0)的 左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另 一点C,连接F1C. (1)若点C的坐标为 ,且BF2= ,求椭圆的方程; (2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.,解析 设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为B(0,b),所以BF2= =a. 又BF2= ,故a= . 因为点C 在椭圆上,所以 + =1,解得b2=1. 故所求椭圆的方程为 +y2=1. (2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上, 所以直线AB的方程为 + =1. 解方程组 得 所以点A的坐标为 . 又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为 .,因为直线F1C的斜率为 = ,直线AB的斜率为- ,且F1CAB,所以 =-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2= .因此e= .,考点三 直线与椭圆的位置关系,1.(2018课标全国理,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C: + =1交于A,B两点,线段AB的 中点为M(1,m)(m0). (1)证明:k- ; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且 + + =0.证明:| |,| |,| |成等差数列,并求该数 列的公差.,解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算. (1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 + =1, + =1. 两式相减,并由 =k得 + k=0. 由题设知 =1, =m, 于是k=- . 由题设得0m ,故k- . (2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0). 由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0. 又点P在C上, 所以m= , 从而P ,| |= .,于是| |= = =2- . 同理,| |=2- . 所以| |+| |=4- (x1+x2)=3. 故2| |=| |+| |, 即| |,| |,| |成等差数列. 设该数列的公差为d,则 2|d|=| |-| |= |x1-x2|= . 将m= 代入得k=-1. 所以l的方程为y=-x+ ,代入C的方程,并整理得7x2-14x+ =0. 故x1+x2=2,x1x2= ,代入解得|d|= . 所以该数列的公差为 或- .,思路分析 (1)利用“点差法”建立k与m的关系式,由m的范围得到k的范围. (2)根据题设 + + =0及点P在C上,确定m的值.进一步得出| |、| |、| |的关系,再求 公差.,解后反思 (1)解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消 元、化简,然后利用根与系数的关系建立方程(组),解决相关问题. (2)题中涉及弦的中点坐标时,可以采用“点差法”求解,设出弦端点A、B的坐标,分别代入圆 锥曲线方程并作差,变形后可出现弦AB的中点坐标和直线AB的斜率.,2.(2017山东理,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E: + =1(ab0)的离心率为 ,焦距 为2. (1)求椭圆E的方程; (2)如图,动直线l:y=k1x- 交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2= . M是线段OC延长线上一点,且|MC|AB|=23,M的半径为|MC|,OS,OT是M的两条切线,切 点分别为S,T.求SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.,解析 本题考查椭圆的方程,直线与椭圆、圆的位置关系,考查最值的求解方法和运算求解能 力. (1)由题意知e= = ,2c=2,所以a= ,b=1, 因此椭圆E的方程为 +y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 消y整理得(4 +2)x2-4 k1x-1=0, 由题意知0,且x1+x2= ,x1x2=- , 所以|AB|= |x1-x2|= . 由题意可知圆M的半径 r= |AB|= .,由题设知k1k2= , 所以k2= , 因此直线OC的方程为y= x. 联立 得x2= ,y2= , 因此|OC|= = . 由题意可知sin = = , 而 = = ,令t=1+2 ,则t1, (0,1), 因此 = = = 1, 当且仅当 = ,即t=2时等号成立,此时k1= , 所以sin , 因此 ,所以SOT的最大值为 . 综上所述:SOT的最大值为 ,取得最大值时直线l的斜率k1= .,思路分析 (1)由离心率和焦距,利用基本量运算求解;(2)联立直线l与椭圆方程,利用距离公式 求出|AB|,联立直线OC与椭圆方程求|OC|,进而建立sin 与k1之间的函数关系,利用二次函 数的性质求解.,疑难突破 把角的问题转化为三角函数问题,即由sin = =f(k1)求解是解题的突破 口.,解后反思 最值问题一般利用函数的思想方法求解,利用距离公式建立sin 与k1之间的 函数关系是解题关键.牢固掌握基础知识和方法