（福建专用）2020版高考数学第七章不等式、推理与证明7.5数学归纳法课件新人教A版.pptx

7.5 数学归纳法,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,1.数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n= 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.,-3-,知识梳理,双基自测,2,1,2.数学归纳法的框图表示,2,-4-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,答案,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.( ) (4)用数学归纳法证明问题时,必须要用归纳假设.( ) (5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+ ”,验证当n=1时,等号左边的式子应为1+2+22+23.( ),-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立 C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立,答案,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.在用数学归纳法证明“平面内有n条(n2)直线,任何两条不平行,任何三条不过同一个点的交点个数为 时,第一步验证n0等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.用数学归纳法证明1+2+3+n2= ,当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添的代数式是 .,答案,解析,-9-,考点1,考点2,考点3,思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些?,证明：当n=1时,-10-,考点1,考点2,考点3,假设当n=k时等式成立,这就是说,当n=k+1时等式也成立. 由和可知,对任何nN*等式都成立.,-11-,考点1,考点2,考点3,解题心得用数学归纳法证明等式的注意点: (1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少. (2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程. (3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,-14-,考点1,考点2,考点3,例2若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标,试运用数学归纳法证明:2xnxn+13. 思考具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明?证明的关键是什么?,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. 2.证明的关键是由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.,-18-,考点1,考点2,考点3,证明 (1)当n=1时, a1a2. (2)假设当n=k(kN+)时,ak+1ak, 又ak+2+ak+1+1-1+(-1)+1=-1, ak+2-ak+10, ak+2ak+1, 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)(2)可知,当nN+时,an+1an.,-19-,考点1,考点2,考点3,例题3已知数列an的前n项和为Sn,且 ,且an0,nN* (1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.,思考解决“归纳猜想证明”问题的一般思路是什么?哪些问题常用该模式解决?,-20-,考点1,考点2,考点3,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,考点3,解题心得解决“归纳猜想证明”问题的一般思路:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.,-23-,考点1,考点2,考点3,对点训练3把一个圆分成n(n3)个扇形,设用4种颜色给这些扇形染色,每个扇形恰染一种颜色,并且要求相邻扇形的颜色互不相同,设共有f(n)种方法. (1)写出f(3),f(4)的值; (2)猜想f(n)(n3),并用数学归纳法证明.,解：(1)f(3)=24,f(4)=84. (2)当n4时,第1个扇形a1有4种不同的染法,因为第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同,所以a2有3种不同的染法,类似地,扇形a3,an-1均有3种染法. 对于扇形an,用与扇形an-1不同的3种颜色染色,但是,这样包括了它与扇形a1颜色相同的情况,而扇形a1与扇形an颜色相同的不同染色方法数就是f(n-1),于是可得f(n)=43n-1-f(n-1).,-24-,考点1,考点2,考点3,猜想f(n)=3n+(-1)n3.证明如下: 当n=3时,左边f(3)=24,右边等于33+(-1)33=24,所以等式成立.