那么称为矩阵的最高阶非零子式

第四章 矩阵的进一步讨论,线性代数,4.3 矩阵的秩,一、子式,定义,在 矩阵 中，任取 行与 列 ， 位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在 中所处的位置次序而得到的 阶行列式，称为矩阵 的 阶子式.,例如,是 的一个2阶 子式， 的2阶子 式共有 个.,一般地， 矩阵 的 阶子式共有 个.,二、矩阵的秩,定义,设在矩阵 中有一个不等于零的 阶子式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 称为矩阵的秩，记作 或 .,规定：零矩阵的秩等于0.,例1 求矩阵 和 的秩.,在 中，容易看出一个2阶 子式,的3阶子式只有一个,因此,因此,这里的两个行列式分别是 和 的最高阶非零子式,说明,根据行列式的展开法则知，在 中当所有 阶 子式全为零时，所有高于 阶的子式也全为0， 因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；,矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶 数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；,当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则,当矩阵 中所有 阶子式都为0，则,矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征.,对于 阶矩阵 ，当 时， 称为满秩 矩阵；否则称为降秩矩阵.,由于 阶矩阵 的 阶子式只有一个 ，当 时， 所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.,三、矩阵的秩的计算,定理,若 ，则,即两个等价矩阵的秩相等.,说明,根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用 初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩.,证明,所以,大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换,解,析：根据定理，为求 的秩，只需将 化为 行阶梯形矩阵.,再求 的一个最高阶非零子式.,因此,在 中,找一个3阶非零子式是比较 容易的，另外注意到， 的子式都是 的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式,说明,最高阶非零子式一般是不唯一的.,上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.,解,析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数 的值的题目.一般有两个途径，一是利用行列 式，二是用初等变换.当 时， 的3阶 子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面 用初等变换解答此题.,因为 ，故,即,说明,此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简 单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.,解,析：此题中矩阵 的前4列与 的列相同，如 果用初等行变换将 化为行阶梯形 ， 则 就是 的行阶梯形，故从 中可同时看出 及,由此可见，,注：,把此题中的 看作方程组的系数矩阵， 看作 常数项列，则 就是增广矩阵，由 的行阶梯 形矩阵知，这个方程组 无解，因为行 阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程,四、矩阵的秩的性质,若 为 矩阵，则,特别地，当b为列矩阵时，有,即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不 超过所有子块的秩之和.,证明,例5 设 为 阶矩阵，证明,证,因为,由性质，