单位圆与三角函数线.ppt

,单位圆与三角函数线,初中锐角三角函数是如何定义的？,O,M,P,sin=,cos=,tan =,当OP=1时，sin=MP,cos =OM,复习引入,设P（x,y)是终边上任一点,线段0P的长度为 r,复习：任意角三角函数的定义,比值 叫做 的正弦， 记作 ，即 ,比值 叫做 的余弦， 记作 ，即 ,比值 叫做 的正切， 记作 ，即 ,x,角的终边,1.设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角的三角函数是怎样定义的？,2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？,一全正，二正弦，三正切，四余弦.,3.公式 ， ， ( ).其数学意义如何？,终边相同的角的同名三角函数值相等.,4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.可以用何种几何元素表示任意角三角函数值？,由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法,新课讲授,一、单位圆：,1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。,2、单位圆与x轴的交点： 单位圆与y轴的交点：,（1，0）和（-1，0）,（0，1）和（0，-1）,3、正射影：过P作PM垂直X轴于点M， PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别 是点P在X轴、Y轴上的正射影,A,T,正弦线和余弦线,问题1：如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ， 都是正数，你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？,问题2：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ， 都是负数，此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？,正弦线和余弦线,正切线,问题1：如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,问题2：若角为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,正切线,思考：若角为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,思考：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？,过点A（1，0）作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tan.,我们称有向线段OM为角的余弦线.,根据实际需要，我们规定： OM与X轴同向时，方向为正向，且有正值X； OM与X轴反向时，方向为负向，且有负值X.,有向线段：带有方向的线段. 如:有向线段OM,始点为O点，终点为M点，方向为：由O点指向M点,这样，对任意角,都有：,我们把向量 分别叫做的余弦线、正弦线和正切线.,的终边,T,P,M,P,M,A,T,A,(),(),(),(),例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线,（1） ；（2） ,例2.作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线： （1） （2） （3）,例题,例2.比较三角函数值的大小：,例3.比较三角函数值的大小：,例4.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3.,解：由三角函数线得,sin1sin1.5,cos1cos1.5,探究：当0/2时，总有 sintan.,SPOAS扇形AOPSAOT,MPOA/2,OA OA /2,OA AT /2,MPAT,sintan,例5：设 为锐角，试证: 1.,证明：,如图示：,=, =, 为锐角,例6. 利用单位圆中的三角函数线,若 ，试确定sin的取值范围.,cos呢