矩阵论9.ppt

矩阵理论第9讲-1,矩阵理论-第九讲,兰州大学信息科学与工程学院 2004年,矩阵理论第9讲-2,上节内容回顾,矩阵的条件数 定义矩阵条件数的工程背景 矩阵的奇异值 矩阵序列 矩阵序列收敛的充分必要条件 收敛矩阵 矩阵级数 矩阵级数的绝对收敛的充要条件 绝对收敛 收敛,矩阵理论第9讲-3,矩阵的幂级数,矩阵幂级数 设 ， ，称矩阵级数 为矩阵A的幂级数 方阵幂级数收敛的判别定理 若复变数幂级数 的收敛半径为r，而矩阵 的谱半径为 ，则 当 时，方阵幂级数 绝对收敛 当 时，方阵幂级数 发散 证明： 1. ，取 ，使得,矩阵理论第9讲-4,矩阵的幂级数,由于幂级数 收敛，根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数 绝对收敛 2. 由于 ，设 ，则 当 时， 由Jordan定理， ，使得,矩阵理论第9讲-5,矩阵的幂级数,矩阵幂级数 的对角线元素为 由于 发散，从而矩阵幂级数 发散 由于矩阵幂级数 与 具有相同的敛散性，可知 也发散。 推论 设幂级数 的收敛半径为r， 。若 使得 ，则矩阵幂级数 绝对收敛,矩阵理论第9讲-6,矩阵的幂级数,举例 判断矩阵幂级数 的敛散性 解：令 eig(A) ans = 0.8333 -0.5000 由于幂级数 的收敛半径为r = 1 绝对收敛,矩阵理论第9讲-7,矩阵的幂级数,Neumann级数收敛充要条件 设 ，称矩阵幂级数 为Neumann级数 收敛 并且在此级数收敛时，其和为 证明： 充分性： 幂级数 的收敛半径为1 必要性：若矩阵幂级数 收敛，记 ， ，则,收敛,矩阵理论第9讲-8,矩阵的幂级数,当 收敛时， 取 可逆 由于,矩阵理论第9讲-9,矩阵的幂级数,举例 设 判断矩阵幂级数 的敛散性，若收敛，求其和 解：norm(A,1) ans = 0.9000 即 ，所以 绝对收敛 inv(eye(size(A)-A) ans = 2.0000 1.0000 1.0000 3.1429 4.4286 3.0000 1.4286 1.7857 2.5000,矩阵理论第9讲-10,矩阵函数,定义： 矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数 。 收敛于一个唯一的矩阵，即此矩阵幂级数的和S。这样，矩阵幂级数在矩阵 与 之间建立了一个映射： 称此映射为矩阵函数，它是以矩阵为变量（更为确切地，以方阵为变量）且取值为矩阵（方阵）的一类函数。 称S为A在映射f下的象，记作：,矩阵理论第9讲-11,矩阵函数,相应地，根据矩阵幂级数的收敛准则，将矩阵幂级数 的和分别记为下列矩阵函数,矩阵理论第9讲-12,矩阵函数在矩阵分析中的应用,许多工程问题，常常化为求解一阶常系数微分方程组的问题 由线性元件构成的网络状态方程组及输出方程组 其它动态系统或受控系统,L,C,R2,R1,u(t),iL,iC,m,y(t),F(t),矩阵理论第9讲-13,矩阵函数在矩阵分析中的应用,离散时间系统 假设上述方程组的初始条件为 或 先考察u(t) = 0时， 的解，这时状态方程组简化为 这相当于求系统的零输入响应 当矩阵A为数a时，其解为 可以设想，当 而 时， 的解含有 ，可以证明 都是收敛的，因而其和是有意义的,离散时间系统,x(n),y(n),矩阵理论第9讲-14,矩阵函数在矩阵分析中的应用,矩阵函数 、 及 满足代数三角函数的性质Euler公式,矩阵理论第9讲-15,矩阵函数在矩阵分析中的应用,常用矩阵函数的性质 设 ，且,矩阵理论第9讲-16,矩阵函数在矩阵分析中的应用,常用矩阵函数的性质 设 若 ， 是A的特征值，则矩阵函数 的特征值为 由Jordan定理， ，使得,矩阵理论第9讲-17,矩阵函数在矩阵分析中的应用,再设 ，可得如下矩阵幂级数 收敛。由于 即矩阵幂级数 收敛，由于 的对角线元素为 所以，这些复数项幂级数收敛，且,矩阵理论第9讲-18,矩阵函数在矩阵分析中的应用,由于相似矩阵具有相同的特征值，所以 的特征值为 由此， 的特征值为,矩阵理论第9讲-19,矩阵函数在矩阵分析中的应用,需要注意的几点 除非A为对角矩阵,矩阵理论第9讲-20,矩阵函数在矩阵分析中的应用,的求法举例 利用Hamilton-Cayley定理 已知 求 解： 由Hamilton-Cayley定理,矩阵理论第9讲-21,矩阵函数在矩阵分析中的应用,的求法举例 利用相似对角化 若 同理,矩阵理论第9讲-22,矩阵函数在矩阵分析中的应用,的求法举例 利用Jordan标准形 Jordan块的幂,矩阵理论第9讲-23,矩阵函数在矩阵分析中的应用,矩阵理论第9讲-24,矩阵函数在矩阵分析中的应用,矩阵理论第9讲-25,矩阵函数在矩阵分析中的应用,矩阵理论第9讲-26,矩阵函数在矩阵分析中的应用,矩阵理论第9讲-27,矩阵函数在矩阵分析中的应用,已知 求,矩阵理论第9讲-28,矩阵函数在矩阵分析中的应用,的求法举例 利用矩阵多项式 为计算 利用多项式的带余除法，将 表示为如下形式： 由Hamilton-Cayley定理 令 因为 所以,矩阵理论第9讲-29,矩阵函数在矩阵分析中的应用,已知 求,利用矩阵A的最小多项式，还可以进一步降低 的次数，从而使待定的系数减少，进一步化简计算。,矩阵理论第9讲-30,矩阵的微分和积分,以函数为元素的矩阵函数矩阵 函数矩阵的微分和积分 泛函 数量函数对矩阵变量的