2019_20学年高中数学第三章导数及其应用习题课——导数运算及几何意义的综合问题课件新人教A版.pptx

习题课导数运算及几何意义的综合问题,1.导数的几何意义 (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率等于函数f(x)在x0处的导数f(x0). (2)曲线的切线与该曲线不一定只有一个公共点. (3)“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同的,“曲线在点P处的切线”时,点P就是切点,而“曲线过点P的切线”时,点P不一定是切点. 2.导数的定义,【做一做1】 已知函数f(x)=sin x-cos x,且f(x0)=2f(x0), 则tan x0=( ) A.-3 B.3 C.1 D.-1 解析:由f(x)=sin x-cos x,可得f(x)=cos x+sin x. 又f(x0)=2f(x0), cos x0+sin x0=2(sin x0-cos x0), 整理得3cos x0=sin x0, 故选B. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思想方法,导数几何意义的综合应用 【例1】已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标; (3)若曲线y=f(x)的某一切线与直线y=4x-16平行,求切点坐标与切线的方程. 思路点拨:利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点;(3)中可知切线斜率,也应设出切点进行求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟利用导数的几何意义求曲线的切线方程时,要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异:过点P的切线中,点P不一定是切点,点P不一定在已知曲线上;而在点P处的切线,必以点P为切点,点P一定在已知曲线上.遇到类似问题时,首先必须分清所给的点是否在已知曲线上,是否是切点,如果是切点,则该点处的导数即为切线的斜率,如果不是切点,则应首先设出切点坐标,再利用两点连线的斜率公式与导数建立联系,进行求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练1若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:由于f(0)=a=g(0)=1=m, 又f(0)=g(0),即-asin 0=20+b, 所以b=0,a+b=1. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思想方法,导数定义式的应用 【例2】 已知函数f(x)=2ln x+8x,则 的值为( ) A.-20 B.-10 C.10 D.20 思路点拨:将所给极限式进行整理变形,构造出导数定义中的极限式,从而转化为求函数在某一点处的导数值问题,然后利用导数运算法则求解. 自主解答:因为f(x)=2ln x+8x,答案:D,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟在利用导数的定义解决这类问题时,增量x的形式是多种多样的,但不论x采用哪种形式,y中都必须选择相应的形式,按照这个原则,将所给极限式化为导数中的极限式的形式,根据导数定义得出结果.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,导数运算的综合应用 【例3】 用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+2 017x2 016(x0,x1). 思路点拨:结合幂函数的求导法则以及等比数列的前n项和公式求解. 自主解答:设f(x)=1+2x+3x2+4x3+2 017x2 016, g(x)=x+x2+x3+x4+x2 017,则有f(x)=g(x).,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟本例中的求和问题,如果不用导数方法,需要用到数列中的乘公比错位相减法进行求解,计算过程复杂,容易出错,但借助导数公式,通过巧妙转化,使得求和过程非常简洁,充分体现了导数的广泛应用.因此在解决问题的过程中,要注意和导数的相关知识进行联系,借助导数求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练3已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-2 017), 求f(1)+f(2 017)的值. 解:由于f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-2 017), 令g(x)=(x-2)(x-3)(x-2 017), 则f(x)=(x-1)g(x), 所以f(x)=g(x)+(x-1)g(x), 于是f(1)=g(1)+0g(1)=g(1)=-1232 016. 同理,设h(x)=(x-1)(x-2)(x-2 016), 即f(x)=(x-2 017)h(x), 则f(x)=h(x)+(x-2 017)h(x), 所以f(2 017)=h(2 017)=2 0162 0152 0141, 故f(1)+f(2 017)=0.,探究一,探究二,探究三,思想方法,等价转化思想在导数几何意义中的应用 【典例】 已知点P是曲线f(x)=x2-ln x上任意一点,求点P到直线y=x-2的距离的最小值. 【审题视角】 所求点P应为与直线y=x-2平行的曲线y=x2-ln x的切线的切点,此时最小距离应为该切线与已知直线之间的距离,亦即切点到已知直线的距离,从而转化为求曲线y=x2-ln x的斜率等于1的切线的切点坐标问题,故可借助导数的几何意义进行求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,自主解答:由已知,可得当点P是曲线f(x)的平行于直线y=x-2的切线的切点时,点P到直线y=x-2的距离最小.,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛这类“求某曲线上一点到某已知直线的最小距离”问题,都可结合图形,利用等价转化思想,将问题转化为求曲线上平行于已知直线的切线的切点问题,从而借助导数的几何意义进行求解.其基本步骤与方法如下: (1)根据切线与已知直线平行,它们的斜率相等,得到切线的斜率. (2)根据导数的几何意义,由切线的斜率得到切点的横坐标. (3)由切点在曲线上,求得切点的纵坐标,得到切点的坐标. (4)利用点到直线的距离公式求得最小距离.,探究一,探究二,探究三,思想方法,跟踪训练点P是曲线f(x)=-x2上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离为( ),解析:依题意知,点P就是曲线f(x)=-x2的与直线y=x+2平行的切线的切点. 设点P的坐标为(x0,y0),因为f(x)=-2x, 所以曲线在点P处的切线的斜率为k=-2x0, 因为该切线与直线y=x+2平行,答案:B,2.已知直线y=-x+m是曲线f(x)=x2-3ln x的一条切线,则m的值为( ) A.3 B.2 C.1 D.0,3.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f(1)=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由条件知点(1,f(1)在直线x-y+2=0上,且f(1)=1, 所以f(1)+f(1)=3+1=4. 答案:D 4.已知直线y=kx+b与曲线f(x)=ax2+2+ln x相切于点P(1,4),则b= . 解析:由点P(1,4)在曲线f(x)=ax2+2+ln x上可得a=2,所以 所以曲线在x=1处的切线的斜率k=f(1)=5,因此切线方程为y=5x+b,由点P(1,4)在切线上,可得b=-1. 答案:-1,5.已知曲线C1:y=x2与C2:y=-(x-2)2,若直线l与C1,C2都相切,求直线l