工程电磁场数值分析4(加权余量法,数学基础).ppt

工程电磁场数值分析 （数值法的数学基础 加权余量法）,华中科技大学电机与控制工程系 陈德智 2010.11,第3章 数值法的数学基础加权余量法,函数空间 基函数 权函数 加权余量法 变分法简介,1. 函数空间,泛函分析形成于20世纪30年代，它吸取了各个数学分支中最基本的精华，同时为各种学科提供了一般的数学规律和共同的框架，成为各个学科的重要工具，在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用。 今天，它的观点和方法已经渗入到许多工程技术性的学科之中，成为近代分析的基础之一。,1. 函数空间,关于函数空间的几个概念粗浅的解释 n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有限自由度系统过渡到无穷自由度系统，用无限维空间描述。 函数是指两个数集之间所建立的一种对应关系。泛函则建立两个任意集合之间的某种对应关系。 函数空间：具有某种共同特性的一类函数所构成的集合。不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量。 把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子或算符。,2. 基函数,若函数空间D中存在一组函数 ，使得D中任意一个函数都能表示成 的线性组合，则称 为函数空间D中的一组基（或基底）； 称基函数。 若n为有限值，称D为有限维函数空间；否则称无限维函数空间。n 称为函数空间的维数。,基函数的性质： 完备性：足够的 线性无关性：没有多余的 正交性：彼此不但独立，而且毫无交叠,基函数的例子 幂函数（多项式）：有限区域内，任一无限可导的函数可以借助于Taylor公式展开为幂级数形式,三角函数：周期为2p的周期函数可以展开为Fourier级数形式,或,函数逼近：对于函数类 A 中给定的函数 f (x)，要求在另一类较简单的且便于计算或处理的函数类 B 中寻找一个函数 p (x)，使 p (x) 与 f (x) 之差在某种度量意义下最小。,逼近的方法：选定一组基底 ，构造逼近函数 设法利用已知条件确定系数 。,插值：逼近曲线严格通过采样点,拟合：逼近曲线不通过采样点，而使整体误差最小。,无法简单的说哪种更好。插值可以保证采样点的精确；而拟合则对误差有更好的鲁棒性。,两种逼近：插值与拟合,整域基与分域基 整域基：在整个区域上都有定义的基函数，如三角函数和幂函数。 分域基：只在部分区域上有定义（不为0）的基函数，例如分段逼近使用的基函数。也称局域基。,常用的分域基 线性插值 样条函数基 小波函数基 采样函数d(x),分段线性插值使用的基函数,在区间 (xi, xi+1) 上，使用直线段 p1(x) 插值逼近函数 f(x)，有,或,定义,那么,扩展一下定义:,那么在整个区间上，有,在上述逼近公式中，各基函数的系数刚好为被逼近函数在插值点的函数值，这样的基函数称为插值的基函数。这样的性质是我们特别希望的，当然不是每次都能得到的。,整域基的优缺点： 优点：全局有统一的表达式，能反映函数的全局变化规律及对参数的依赖关系；便于整体处理；逼近函数全局光滑可导； 缺点：全局关联，牵一发动全身，不方便；求解矩阵为满阵，计算量大；龙格现象；对基函数的要求严格 分域基的优缺点： 优点：局部关联，灵活方便；计算量小；没有龙格现象；基函数选择自由度大 缺点：没有全局统一表达式；函数必须分段（或分域）处理；函数只在局部光滑可导。,权的概念,3. 权函数（weight function）,加权求积,内积,正交,带权正交,范数,4. 加权余数法（weighted residual method）,基本思想： 考虑算子方程 用 作为该方程的近似解（试探解）： 代入方程的误差（余量）：,如果余量R0，则 为精确解。加权余量法的任务是设法使R为0或者尽量小。方法是选择另一套基底 为权函数，使得,加权余数法,如果上式对所有的 i 都成立，并且 和 都是线性无关的和完备的，那么就保证余量 R 为 0，从而 就是原算子方程的解。,如果 和 不是完备的，那么余量 R 只能近似为 0，从而得到原算子方程的近似解。,剩下的问题就是确定系数 。可以看到 和 的线性无关性对于唯一地确定系数是必要的。,设L为线性算子，代入 ，得,或,对于确定的权函数 与基函数 ，积分是确定的，因此只有系数 是未知量，上式成为一个代数方程：,记,加权余量法是通过余量与权函数的正交化过程，把一个算子方程（微分方程或积分方程）转化为一个可以利用计算机求解的线性代数方程组。 在此过程中，对权函数与基函数的选择没有任何的限制，未知数 也可以表达非常不同的含义，从而留下了任人发挥的广阔空间，使它成为各种数值方法的公共基础。,或者写为,加权余数法,伽辽金（Galerkin）加权余数法 在加权余数法中，取权函数等于基函数，即为著名的Galerkin法。Galerkin法具有精度高、适应性强、便于实施等优点。它与分域基的思想联合，即成为有限元法的基础。,5. 变分法简介,泛函极值问题的提法：铅垂平面上，一小球在重力作用下从 A点下滑至 B点，求所需时间最短的运动轨迹。,微元弧长： 即时速度： 时间微元： 总时间：,求使 T 最小的函数 y=y(x)，即变分问题：,设 ，代入泛函得 欲使 F 取极小值，需 整理得,5. 变分法简介,变分原理：设 L 为对称正定算子，算子方程 存在解 ，其充分必要条件为泛函 在 处取极小值。,上述方程与基于Galerkin加权余量法得到得方程是一致的。这种基于变分原理的解题方法称为变分法或里兹（Ritz）法。,变分法的核心在于把一个微分方程转化为等价的变分问题（泛函极值问题）。对于正定对称算子，等价变分问题是存在的，但是有些问题无法找到等价变分问题，因而应用收到限制。,5. 变分法简介,泛函的物理含义：以静电场Laplace方程 为例， 由格林定理， 泛函 它表示电场的势能。因此泛函极值问题表达了电场的分布要符合这样的一种原则：整个电场的势能达到最小。这称为静电场的