（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.3抛物线及其性质课件.pptx

10.3 抛物线及其性质,高考理数 (课标专用),考点一 抛物线的定义和标准方程,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2019课标,8,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆 + =1的一个焦点,则p= ( ) A.2 B.3 C.4 D.8,答案 D 本题考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为 , 由已知得椭圆 + =1的一个焦点为 , 3p-p= ,又p0,p=8. 思路分析 利用抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,建立关于p的方程,解方程得p的值.,2.(2017课标,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N. 若M为FN的中点,则|FN|= .,答案 6,解析 如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交 点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1| =3,从而|FN|=2|FM|=6. 思路分析 过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解. 方法总结 当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义 在解题中的重要作用.,1.(2016课标,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已 知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则C的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,考点二 抛物线的几何性质,答案 B 不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2 ),则x1= = ,由题意可知|OA|=|OD|,得 +8= +5,解得p=4.故选B. 思路分析 设出抛物线C的方程,根据已知条件得出点A的坐标,利用|OA|=|OD|建立关于p的方 程,解方程得出结论.,2.(2018课标,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A, B两点.若AMB=90,则k= .,答案 2,解析 本题考查抛物线的几何性质及应用. 解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x= +1,设A ,B ,将直线方程与抛物线方程联立得 整理得y2- y-4=0,从而得y1+y2 = ,y1y2=-4. M(-1,1),AMB=90, =0,即 +(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则 -得 - =4(x2-x1),从而k= = . 设AB的中点为M,连接MM. 直线AB过抛物线y2=4x的焦点, 以线段AB为直径的M与准线l:x=-1相切. M(-1,1),AMB=90,点M在准线l:x=-1上,同时在M上, 准线l是M的切线,切点为M,且MMl, 即MM与x轴平行, 点M的纵坐标为1,即 =1y1+y2=2, 故k= = =2. 疑难突破 运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.,1.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 抛物线的定义和标准方程,答案 9,解析 设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,x0=9,即点 M到y轴的距离为9. 评析 本题主要考查抛物线的定义以及几何性质,解决本题的关键在于抛物线定义的应用.,2.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .,答案 2,解析 抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=- (p0),故直线x=- 过双曲线x2-y2=1的左焦点 (- ,0), 从而- =- ,得p=2 .,考点二 抛物线的几何性质 (2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点 作直线l与抛物线C交于不同 的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点. (1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A为线段BM的中点.,解析 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系. (1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p= . 所以抛物线C的方程为y2=x. 抛物线C的焦点坐标为 ,准线方程为x=- . (2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+ (k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2). 由 得4k2x2+(4k-4)x+1=0. 则x1+x2= ,x1x2= . 因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y= x, 点B的坐标为 . 因为y1+ -2x1=,= = = =0, 所以y1+ =2x1. 故A为线段BM的中点. 方法总结 在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联 立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解. 易错警示 在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,则先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n 的形式,则先讨论斜率是不是0.,1.(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一 个交点.若 =4 ,则|QF|= ( ) A. B.3 C. D.2,C组 教师专用题组 考点一 抛物线的定义和标准方程,答案 B =4 ,点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QMl,垂足为M,由抛物线 定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知PQMPFN,则 = ,即 = .|QM|=3,即|QF|=3.故选B.,2.(2013课标,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的 圆过点(0,2),则C的方程为 ( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x,答案 C 以MF为直径的圆过点(0,2),点M在第一象限.由|MF|=xM+ =5可得M .从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为 ,点N的横坐标 恰好等于圆的半径,圆与y轴切于点(0,2),从而2= ,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8, 抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C. 思路分析 根据抛物线方程及定义可得M ,从而可得以MF为直径的圆的圆 心坐标,进而知该圆与y轴切于点(0,2),由此可列出关于p的方程,解方程即可得出抛物线方程. 一题多解 由抛物线C:y2=2px可知焦点F的坐标为 .设A(0,2),M(x0,y0),则 = , =(x0,y0-2)= . 依题意得, =0,即 -8y0+16=0,y0=4,则M ,由|MF|=5,得 +16=25,解得p=2 或p=8,抛物线方程为y2=4x或y2=16x,故选C.,3.(2012课标,20,12分)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心, FA为半径的圆F交l于B,D两点. (1)若BFD=90,ABD的面积为4 ,求p的值及圆F的方程; (2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离 的比值.,解析 (1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|= p. 由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|= p. 因为ABD的面积为4 , 所以 |BD|d=4 , 即 2p p=4 , 解得p=-2(舍去),p=2. 所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8. (2)因为A,B,F三点在同一直线m上, 所以AB为圆F的直径,ADB=90. 由抛物线定义知|AD|=|FA|= |AB|, 所以ABD=30,m的斜率为 或- . 当m的斜率为 时,由已知可设n:y= x+b,代入x2=2py得x2- px-2pb=0.,由于n与C只有一个公共点,故= p2+8pb=0, 解得b=- . 因为m的截距b1= , =3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3. 当m的斜率为- 时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3. 评析 本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.,1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的 点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是 ( ) A. B. C. D.,考点二 抛物线的几何性质,答案 A 过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1. 可知 = = = = ,故选A.,2.(2016天津,14,5分)设抛物线 (t为参数,p0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l 的垂线,垂足为B.设C ,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面积为3 ,则p的值 为 .,答案,解析 由已知得抛物线的方程为y2=2px(p0),则|FC|=3p,|AF|=|AB|= p,不妨设A在第一象限, 则A(p, p).易证EFCEAB,所以 = = =2,所以 = ,所以SACE= SAFC= p p= p2=3 ,所以p= . 评析 本题考查了抛物线的定义和方程;考查了计算求解能力.,考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2019湖南岳阳二模,4)过抛物线x2=4y的焦点F作直线,交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+ y2=6,则|P1P2|= ( ) A.5 B.6 C.8 D.10,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 C 过P1作P1M准线l,垂足为M,过P2作P2N准线l,垂足为N,由抛物线定义知|P1F|= |P1M|=y1+1,|P2F|=|P2N|=y2+1,|P1P2|=|P1F|+|P2F|=y1+y2+2=8,故选C.,2.(2019江西五校协作体2月联考,9)已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,射线FA与抛 物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若 = ,则p的值等于 ( ) A. B. C.2 D.4,答案 C 过点M向准线作垂线,垂足为P,由抛物线的定义可知,|MF|=|MP|,因为 = ,所 以 = ,所以sinMNP= ,则tanMNP= ,又OFA+MNP=90(O为坐标原点),所以 tanOFA=2= ,则p=2,故选C.,3.(2019河南顶级名校4月全真模拟,8)已知抛物线C:x2=2py(p0),过点P 作抛物线C的两 条切线PA,PB,A,B为切点,若直线AB经过抛物线C的焦点,则抛物线C的方程为( ) A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y,答案 C 设过点P的切线方程为y=kx- ,由 得x2-2pkx+p=0(*).直线与抛物线相切, =4p2k2-4p=0,k2= ,两条切线PA,PB的斜率分别为k1=- ,k2= ,由题意知ABx轴, A,B两点关于y轴对称,不妨设点A在第一象限的抛物线上,kPA=k2= ,代入(*)得x2-2p x+p =0,即x2-2 x+p=0,解得x= ,y= = ,即点A ,又知直线AB过抛物线的焦点 , = ,即p=1,抛物线C的方程为x2=2y,故选C.,4.(2018湖北四地七校3月联考,9)已知抛物线y2=2px(p0),点C(-4,0),过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方 程是 ( ) A.y2=4x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=-8x,答案 D 因为ABx轴,且AB过焦点F,所以线段AB是焦点弦,且|AB|=2p,所以SCAB= 2p =24,解得p=4或-12(舍),所以抛物线方程为y2=8x,所以直线AB的方程为x=2,所以以直线 AB为准线的抛物线的标准方程为y2=-8x,故选D.,5.(2019广东佛山二模,15)已知抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,点P(4,y0)在抛物线上,K为 l与y轴的交点,且|PK|= |PF|,则y0= .,答案 2,解析 作PMl,垂足为M,由抛物线定义知|PM|=|PF|,又知|PK|= |PF|,在直角三角形PKM 中,sinPKM= = = ,PKM=45,PMK为等腰直角三角形,|PM|=|MK|=4,又 知点P在抛物线x2=2py(p0)上, 解得,1.(2019湖北八校第二次模拟,9)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B 两点(点A在第一象限),若直线l的倾斜角为 ,则 等于 ( ) A. B. C. D.,考点二 抛物线的几何性质,答案 A 由题意得F ,直线l的斜率k=tan =- ,直线l的方程为y=- ,即x=- y+ ,代入抛物线方程得y2+ py-p2=0,解得y= p或y=- p,设A(x1,y1),B(x2,y2),由点A在第 一象限可知y1= p,则y2=- p, = = ,故选A.,2.(2019福建福州3月联考,6)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为该抛物线上一点,PAl,A为 垂足,若直线AF的斜率为- ,则PAF的面积为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.8,答案 B 设准线与x轴交于点Q,因为直线AF的斜率为- ,|FQ|=2,所以AFQ=60,|FA|=4,又 因为|PA|=|PF|,PAF=60,所以PAF是边长为4的等边三角形,所以PAF的面积为 |FA|2 = 42=4 .故选B. 一题多解 设准线与x轴交于点Q,P(m,n),因为直线AF的斜率为- ,所以AFQ=60,又|FQ|=2, 所以|AQ|=2 ,所以易知n0,所以n=2 ,又因为n2=4m,所以m=3,又因为|PA|=|PF|=4,所以 PAF的面积为 |PA|n|= 42 =4 .故选B.,3.(2017河北衡水中学调研,15)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线交 于A、B两点,且|AF|=4|FB|,O为坐标原点,若AOB的面积为 ,则p= .,答案 1,解析 设直线AB的倾斜角为,不妨设点A在x轴上方,由抛物线焦点弦的性质可知|AF|= ,|BF|= ,又|AF|=4|BF|,所以 = ,解得cos = ,sin = .又|AB|=|AF|+ |BF|= + = ,点O到直线AB的距离d= sin ,所以SAOB= |AB|d= = = ,所以p2=1,又p0,所以p=1.,一、选择题(每题5分,共25分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：30分钟 分值：40分),1.(2019河北石家庄二模,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F和抛物线上一点M(2,2 )的直 线l交抛物线于另一点N,则|NF|FM|等于 ( ) A.12 B.13 C.1 D.1,答案 A 抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),直线l过点F和点M(2,2 ),直线l的方程为y =2 (x-1).由 得2x2-5x+2=0,解得x=2或x= ,点N的横坐标为 .抛物线y2=4x的 准线方程为x=-1,|NF|= ,|MF|=3,|NF|MF|=12,故选A.,2.(2019安徽蚌埠二模,11)已知F为抛物线y2=4x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,若 点A在抛物线上,且|AF|=5,则|PA|+|PO|的最小值为 ( ) A. B.2 C. D.2,答案 D |AF|=5,由抛物线的定义得点A到准线的距离也为5,设A(x0,y0),则x0+1=5,x0=4, 又知点A在抛物线y2=4x上,y0=4,不妨设点A在第一象限的抛物线上,A(4,4),设坐标原点O 关于准线x=-1的对称点为B,则B(-2,0),连接PB,由对称思想可知|PA|+|PO|的最小值为|AB|= =2 ,故选D. 思路分析 利用抛物线的定义及方程求得点A的坐标,最后利用平面几何的对称思想求得|PA| +|PO|的最小值. 解题关键 正确理解|PA|+|PO|的含义:“在准线上找一点P,使点P到两个定点的距离和最 小”,这是解决本题的关键.,3.(2019湖北武汉4月调研,11)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过F且倾斜角为120的直线 与抛物线C交于A,B两点,若AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|MN|=4 ,则抛物线C的 准线方程为 ( ) A.x=-1 B.x=-2 C.x=- D.x=-3,答案 D 设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线C的焦点为 知AF,BF的中点的纵坐标分别为 , ,则|MN|= = |y2-y1|=4 ,所以|y2-y1|=8 .由题意知直线AB的方程为y=- ,与 抛物线方程y2=2px联立消去x,得y=- ,即 y2+2py- p2=0,所以y1+y2=- p,y1y2=-p2, 于是由|y2-y1|=8 ,得(y2+y1)2-4y1y2=192,所以 +4p2=192,解得p=6(舍负),则 =3,所以抛 物线C的准线方程为x=-3,故选D. 思路分析 设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的焦点坐标确定AF,BF的中点的纵坐标,根据条件建 立关于y1,y2的等式,然后由抛物线方程与直线方程消去x,得关于y的一个一元二次方程,结合根 与系数的关系建立关于p的方程,最后解方程得p的值,进而得抛物线的准线方程.,4.(2019河北衡水金卷冲刺卷三,11)已知不过原点的动直线l交抛物线C:y2=2px(p0)于M,N两点, O为坐标原点,F为抛物线C的焦点,且| + |=| - |,若MNF面积的最小值为27,则p= ( ) A.2 B.3 C.4 D.6,答案 B 设动直线MN的方程为x=my+t,M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知y10,y20,t0,直线MN的 方程与抛物线C的方程y2=2px(p0)联立,消去x,得y2-2pmy-2pt=0,由0得pm2+2t0,y1+y2=2 pm,y1y2=-2pt.由| + |=| - |,得 =0,所以x1x2+y1y2=0,即 +y1y2=0,可得y1y2= -4p2,所以t=2p,故直线MN恒过定点Q(2p,0),将t=2p代入得mR,又知|QF|=2p- = ,故SMNF= |QF|y1-y2|= = 3p2,当且仅当m=0时,等号成立,由题意得3p2=27, 解得p=3,故选B. 思路分析 由| + |=| - |得 =0,利用根与系数的关系及整体代换得出直线l恒 过定点(2p,0),表示出MNF的面积,利用函数思想求得SMNF的最小值,从而建立关于p的方程求 得结果. 知识拓展 对于抛物线y2=2px(p0),A,B是抛物线上不同于原点O的任意两点,若OAOB,则直 线AB恒过定点(2p,0);反之,若直线AB恒过定点(2p,0),则OAOB.,5.(2019河南十所名校尖子生第三次联考,12)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l, 点M,N分别在抛物线C上,且 +3 =0,直线MN交l于点P,NNl,垂足为N.若MNP的面积 为24 ,则F到l的距离为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.12,答案 B 作出图形如图,作MMl,垂足为M,设|NF|=m(m0),则|NN|=m.由 +3 =0,得|MF| =3m,则|MM|=3m,过点N作NGMM,垂足为G,则|MG|=m,|MG|=2m,所以NMG=60,所以|MP|= 6m,|NP|=2m,|NP|= m,SMNP= |MM|NP|= 3m m=24 ,所以m=4.易知F为线段MP的中 点,所以F到l的距离为p= =6. 解题关键 合理利用抛物线的定义进行线段长度间的转化,借助平面几何知识简化解题过程 是解决此类问题的关键.,6.(2018山西康杰中学4月月考,20)已知抛物线C:x2=2py(p0),圆O:x2+y2=1. (1)若抛物线C的焦点F在圆O上,且A为抛物线C和圆O的一个交点,求|AF|; (2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M,N,求|MN|的最小值及相应p的值.,二、解答题(共15分),解析 (1)由题意得F(0,1),从而抛物线C:x2=4y. (1分) 解方程组 得y=-2 .不妨设yA= -2, (3分) |AF|= -1. (5分) (2)设M(x0,y0)(y00),则切线l:y= (x-x0)+y0, 结合 =2py0,整理得x0x-py-py0=0. (7分) 由ONl且|ON|=1得 =1,即|py0|= = , p= 且 -10. (10分) |MN