（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.2双曲线及其性质课件.pptx

10.2 双曲线及其性质,高考理数 (课标专用),考点一 双曲线的定义和标准方程 (2016课标,5,5分)已知方程 - =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4, 则n的取值范围是( ) A.(-1,3) B.(-1, ) C.(0,3) D.(0, ),五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 A 解法一:由题意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c为半焦距,2c=22|m|=4,|m|=1, 方程 - =1表示双曲线, (m2+n)(3m2-n)0, -m2n3m2,-1n3.故选A. 解法二:原方程表示双曲线,且焦距为4, 或 由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A. 知识拓展 对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且mn;若表示双曲线,则mn0.,1.(2019课标,10,5分)双曲线C: - =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点. 若|PO|=|PF|,则PFO的面积为 ( ) A. B. C.2 D.3,考点二 双曲线的几何性质,答案 A 本题考查双曲线的标准方程和几何性质,通过双曲线的渐近线考查了数形结合的 思想方法.考查的核心素养是数学运算. 由双曲线的方程为 - =1,知a=2,b= ,故c= = ,渐近线的方程为y= x. 不妨设点P在第一象限,作PQOF于Q,如图, |PO|=|PF|,Q为OF的中点,|OQ|= . 令POF=,由tan = 得|PQ|=|OQ|tan = = . PFO的面积S= |OF|PQ|= = .故选A.,解题关键 求等腰PFO底边上的高是解题的关键.掌握双曲线的方程和几何性质是解题的 基础和保证.,2.(2019课标,11,5分)设F为双曲线C: - =1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径 的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为 ( ) A. B. C.2 D.,答案 A 本题考查了双曲线的几何性质以及圆的性质;通过双曲线的离心率考查了学生的 运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. 如图,|PQ|=|OF|=c,PQ过点 . P . 又|OP|=a,a2= + = , =2,e= = .故选A.,解题关键 由|PQ|=|OF|=c可知PQ过以OF为直径的圆的圆心,进而得到P 是解答本题的 关键.,3.(2018课标,11,5分)已知双曲线C: -y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两 条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|= ( ) A. B.3 C.2 D.4,答案 B 本题主要考查双曲线的几何性质. 由双曲线C: -y2=1可知其渐近线方程为y= x,MOx=30,MON=60,不妨设OMN =90,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,|OM|= ,则在RtOMN 中,|MN|=|OM|tanMON=3.故选B. 解题关键 利用双曲线的几何性质求出MON的大小及|OM|的值是求解本题的关键.,4.(2018课标,5,5分)双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,则其渐近线方程为 ( ) A.y= x B.y= x C.y= x D.y= x,答案 A 本题主要考查双曲线的几何性质. e= , = = = , 双曲线的渐近线方程为y= x= x.故选A.,5.(2017课标,9,5分)若双曲线C: - =1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦 长为2,则C的离心率为 ( ) A.2 B. C. D.,答案 A 本题主要考查双曲线的方程和性质,直线与圆的位置关系. 由题意可知圆的圆心为(2,0),半径为2.因为双曲线 - =1的渐近线方程为y= x,即bxay=0, 且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以 = ,所以 = .故离心率e = =2.选A.,6.(2016课标,11,5分)已知F1,F2是双曲线E: - =1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin MF2F1= ,则E的离心率为 ( ) A. B. C. D.2,答案 A 解法一:不妨设M在第二象限,由MF1x轴,可得M ,|MF1|= .由sinMF2F1 = ,可得cosMF2F1= = ,又tanMF2F1= = , = ,b2= ac,c2=a2 +b2b2=c2-a2,c2-a2- ac=0e2- e-1=0,e= .故选A. 解法二:不妨设M在第二象限,由MF1x轴,得M ,|MF1|= ,由双曲线的定义可得|MF2|= 2a+|MF1|=2a+ ,又sinMF2F1= = = a2=b2a=b,e= = .故选A.,7.(2015课标,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C: -y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若 0,则y0的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 不妨令F1为双曲线的左焦点,则F2为右焦点,由题意可知a2=2,b2=1,c2=3.F1(- , 0),F2( ,0),则 =(- -x0)( -x0)+(-y0)(-y0)= + -3. 又知 - =1, =2+2 , =3 -10. - y0 ,故选A. 思路分析 由双曲线方程求出F1,F2的坐标,利用数量积的坐标运算表示出 ,利用M在 双曲线上得 =2+2 ,从而将 转化为仅含y0的式子,由 0即可解得y0的取值范围. 解题关键 依据 0正确构建关于y0的不等式是解题的关键.,8.(2015课标,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶 角为120,则E的离心率为 ( ) A. B.2 C. D.,答案 D 设双曲线E的标准方程为 - =1(a0,b0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象 限内,则易得M(2a, a),又M点在双曲线E上,于是 - =1,可得b2=a2,e= = . 思路分析 设出双曲线方程,依据题意,求出点M的一个坐标,代入双曲线方程,得到关于a、b的 方程,进而可得出双曲线E的离心率.,9.(2019课标,16,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线 与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若 = , =0,则C的离心率为 .,答案 2,解析 本题考查双曲线的几何性质,平面向量的线性运算,平面向量数量积的性质等知识;考查 学生的推理论证能力、运算求解能力及应用意识;考查的核心素养是逻辑推理和数学运算. 双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程为y= x, =0,F1BF2B, 点B在O:x2+y2=c2上,如图所示, 不妨设点B在第一象限,由 得点B(a,b), = ,点A为线段F1B的中点, A ,将其代入y=- x得 = . 解得c=2a,故e= =2. 思路分析 利用 =0得出点B在O:x2+y2=c2上,结合点B在渐近线上求得点B的坐标,进 而利用 = 得点A的坐标,由点A在另一条渐近线上可得a与c的关系,从而求得离心率. 疑难突破 求点B的坐标是难点,垂直关系可以与圆联系,也可以转化为直角三角形,求边的关 系. 一题多解 一题多解一:如图,由 = 知A为线段F1B的中点, O为线段F1F2的中点,OAF2B, =0,F1BF2B, OAF1A且F1OA=OF2B, BOF2=AOF1,BOF2=OF2B, 又易知|OB|=|OF2|=c,OBF2为正三角形,可知 =tan 60= ,e= = =2. 一题多解二:如图,设AOy=,则BOy=, = ,A为线段F1B的中点, 又O为线段F1F2的中点,OABF2,OBF2=2. 过B作BHOF2,垂足为H, 则BHy轴,则有OBH=,HBF2=, 易得OBHF2BH,|OB|=|BF2|, =0,BF1BF2,又O为F1F2的中点, |OB|=|OF2|=c,OBF2为正三角形. BOF2=60,则 =tan 60= , e= = =2.,1.(2017天津,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为 .若经过F和P(0,4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 双曲线的定义和标准方程,答案 B 本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的标准方程. 由离心率为 可知a=b,c= a,所以F(- a,0),由题意可知kPF= = =1,所以 a=4, 解得a=2 ,所以双曲线的方程为 - =1,故选B. 方法总结 求双曲线的方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构 造关于参数a,b的方程组,从而解方程组求出参数a和b的值;(2)定义法:根据题意得到动点所满 足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.,2.(2016天津,6,5分)已知双曲线 - =1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆 与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,答案 D 设A(x0,y0),不妨令其在第一象限, 由题意得 可得 = , = = , 结合2x02y0=2b,可得b2=12. 所以双曲线的方程为 - =1.故选D.,3.(2015天津,6,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线过点(2, ),且双曲线的一个焦 点在抛物线y2=4 x的准线上,则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,答案 D 由题意知点(2, )在渐近线y= x上,所以 = ,又因为抛物线的准线为x=- ,所 以c= ,故a2+b2=7,所以a=2,b= .故双曲线的方程为 - =1.选D.,1.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是( ) A. B.1 C. D.2,考点二 双曲线的几何性质,答案 C 本题考查双曲线的渐近线、离心率;考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算 的核心素养. 渐近线方程为y=x,a=b, c= a,e= = , 故选C. 解题关键 正确理解双曲线方程与渐近线方程的关系,从而得出a与c的关系.,2.(2019天津,5,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线 - =1(a0,b0)的两条 渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为 ( ) A. B. C.2 D.,答案 D 本题主要考查双曲线的离心率,抛物线焦点坐标与准线方程,通过圆锥曲线的性质 考查学生的运算求解能力,渗透了数学运算的核心素养. 如图,由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1, |AB|=4|OF|=4,A(-1,2),又点A在直线y=- x上, 2=- (-1), =2, 双曲线的离心率e= = = .故选D.,3.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1: +y2=1(m1)与双曲线C2: -y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别 为C1,C2的离心率,则 ( ) A.mn且e1e21 B.mn且e1e21 D.mn且e1e21,答案 A 在椭圆中,a1=m,c1= ,e1= . 在双曲线中,a2=n,c2= ,e2= . 因为c1=c2, 所以n2=m2-2. 从而 = = , 令t=m2-1,则t1, = 1,即e1e21. 结合图形易知mn,故选A. 思路分析 根据焦点重合可得m2与n2之间的关系,进而建立 关于m的解析式,然后判定范围 即可. 评析 本题考查了椭圆、双曲线的方程和基本性质.考查了运算求解能力.,4.(2019江苏,7,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2- =1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的 渐近线方程是 .,答案 y= x,解析 本题主要考查双曲线渐近线方程,考查了运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 由双曲线x2- =1(b0)经过点(3,4),得9- =1, 解得b= ,又b0,所以b= , 易知双曲线的焦点在x轴上, 故双曲线的渐近线方程为y= x= x.,5.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一 条渐近线的距离为 c,则其离心率的值是 .,答案 2,解析 本题考查双曲线的性质. 双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为 = c,b= c, b2= c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e= =2.,6.(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 - =1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛 物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .,答案 y= x,解析 本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法. 设A(x1,y1),B(x2,y2). 因为4|OF|=|AF|+|BF|, 所以4 =y1+ +y2+ , 即y1+y2=p. 由 消去x, 得a2y2-2pb2y+a2b2=0, 所以y1+y2= . 由可得 = ,故双曲线的渐近线方程为y= x.,思路分析 由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y1+y2的值(用p表示).再联立双曲线和抛物 线的方程,消去x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y1+y2.从而得 的值,进而得渐近 线方程. 解题关键 求渐近线方程的关键是求 的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、 |BF|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又A、B为两曲线的交点,因此应联立它们的方程 求解.这样利用y1+y2这个整体来建立等量关系便可求解.,7.(2016北京,13,5分)双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直 线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= .,答案 2,解析 由OA、OC所在直线为渐近线,且OAOC,知两条渐近线的夹角为90,从而双曲线为等 轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2 ,根据c2= 2a2可得a=2. 评析 本题考查等轴双曲线及其性质.,1.(2015广东,7,5分)已知双曲线C: - =1的离心率e= ,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方 程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,C组 教师专用题组 考点一 双曲线的定义和标准方程,答案 C 由已知得 解得 故b=3,从而所求的双曲线方程为 - =1,故选C.,2.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则 cosAF2F1=( ) A. B. C. D.,答案 A 由题意得 解得|F2A|=2a,|F1A|=4a, 又由已知可得 =2,所以c=2a,即|F1F2|=4a, cosAF2F1= = = .故选A.,1.(2018浙江,2,4分)双曲线 -y2=1的焦点坐标是 ( ) A.(- ,0),( ,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,- ),(0, ) D.(0,-2),(0,2),考点二 双曲线的几何性质,答案 B 本小题考查双曲线的标准方程和几何性质. a2=3,b2=1,c= =2.又焦点在x轴上,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0). 易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点 (1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误; (2)双曲线与椭圆的标准方程中,a,b,c的关系式容易混淆.,2.(2015四川,5,5分)过双曲线x2- =1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线 于A,B两点,则|AB|= ( ) A. B.2 C.6 D.4,答案 D 双曲线x2- =1的右焦点为F(2,0), 其渐近线方程为 xy=0. 不妨设A(2,2 ),B(2,-2 ),所以|AB|=4 ,故选D.,3.(2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0) 个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则 ( ) A.对任意的a,b,e1e2 B.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2,答案 D 依题意有e1= = , e2= = . 而 - = , a0,b0,m0, 当ab时, ,有e1e2. 故选D.,4.(2015重庆,10,5分)设双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与 双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+ ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ( ) A.(-1,0)(0,1) B.(-,-1)(1,+) C.(- ,0)(0, ) D.(-,- )( ,+),答案 A 由题知F(c,0),A(a,0),不妨令B点在第一象限,则B ,C ,kAB= , CDAB, kCD= , 直线CD的方程为y+ = (x-c). 由双曲线的对称性,知点D在x轴上,得xD= +c, 点D到直线BC的距离为c-xD, a+ =a+c,b4a2(c-a)(c+a)=a2b2,b2a2, 1,又 该双曲线的渐近线的斜率为 或- ,双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0)(0,1).选A.,5.(2014课标,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的 距离为 ( ) A. B.3 C. m D.3m,答案 A 由题意知,双曲线的标准方程为 - =1,其中a2=3m,b2=3,故c= = ,不 妨取F( ,0),一条渐近线为y= x,化成一般式即为x- y=0,由点到直线的距离公式可 得d= = ,故选A. 思路分析 将双曲线的方程化为标准方程,求出一个焦点坐标和一条渐近线方程,再由点到直 线的距离公式计算即可. 知识延伸 任何双曲线的焦点到其渐近线的距离恒为定值b(其中b为虚半轴长).,6.(2013课标,4,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的离心率为 ,则C的渐近线方程为 ( ) A.y= x B.y= x C.y= x D.y=x,答案 C = = = ,C的渐近线方程为y= x.故选C. 思路分析 由双曲线离心率与 的关系可得 = ,由此即可写出渐近线方程.,7.(2012课标,8,5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B 两点,|AB|=4 ,则C的实轴长为 ( ) A. B.2 C.4 D.8,答案 C 如图,AB为抛物线y2=16x的准线, 由题意可得A(-4,2 ). 设双曲线C的方程为x2-y2=a2(a0),则有16-12=a2,故a=2,双曲线的实轴长2a=4.故选C. 评析 本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴 长为2a.,8.(2011课标,7,5分)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点, |AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为 ( ) A. B. C.2 D.3,答案 B 不妨设双曲线C为 - =1(a0,b0),并设l过F2(c,0)且垂直于x轴,则易求得|AB|= , =22a,b2=2a2, 离心率e= = = ,故选B. 错因分析 将|AB|求错或者将实轴长视作a是致错的主要原因. 评析 本题主要考查双曲线的方程、离心率和实轴等几何性质,属中等难度题目.,9.(2017北京,9,5分)若双曲线x2- =1的离心率为 ,则实数m= .,答案 2,解析 本题考查双曲线的性质. 由题意知,a2=1,b2=m. e= = = = ,m=2.,10.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 - =1的焦距是 .,答案 2,解析 由 - =1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c= ,所以2c=2 .,11.(2016山东,13,5分)已知双曲线E: - =1(a0,b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD 的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .,答案 2,解析 由已知得|AB|=|CD|= ,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c. 因为2|AB|=3|BC|,所以 =6c, 又b2=c2-a2, 所以2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=- (舍去). 评析 本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2构造关于离心率e的方程是求 解的关键.,12.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C: - =1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰 为其虚轴的一个端点,则C的离心率为 .,答案,解析 不妨设F为左焦点(-c,0),点P在第一象限,因为线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端 点,所以由中点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲线C上, - =1, =5,e= = .,13.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1: - =1(a0,b0)的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 .,答案,解析 设点A在点B左侧,抛物线C2的焦点为F,则F .由 和 分别解得A ,B . F为OAB的垂心,AFOB,kAFkOB=-1, 即 =-14b2=5a24(c2-a2)=5a2 = , e= = .,14.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C: -y2=1(a0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐 近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点). (1)求双曲线C的方程; (2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l: -y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x= 相交于点N. 证明:当点P在C上移动时, 恒为定值,并求此定值.,解析 (1)设F(c,0),因为b=1,所以c= , 直线OB的方程为y=- x,直线BF的方程为y= (x-c),解得B . 又直线OA的方程为y= x, 则A ,kAB= = . 又因为ABOB,所以 =-1, 解得a2=3, 故双曲线C的方程为 -y2=1. (2)由(1)知a= ,则直线l的方程为 -y0y=1(y00), 即y= . 因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M ;直线l与直线x= 的交点为N, 则 = = = . 因为P(x0,y0)是C上一点, 则 - =1,代入上式得 = = = , 所求定值为 = = .,考点一 双曲线的定义和标准方程 1.(2019河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的 标准方程为 ( ) A. - =1 B. -y2=1 C. - =1 D. - =1,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 A 设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切可得圆心(0, 2)到渐近线的距离等于半径1,由点到直线的距离公式可得 =1,解得k= .因为双曲线 经过点(2,1),所以双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为 - =1(a0,b0),将(2,1)代入 可得 - =1,由 得 故所求双曲线的标准方程为 - =1.故选A. 一题多解 设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn0),将(2,1)代入方程可得,4m-n=1.双曲线的渐近 线方程为y= x,圆x2+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为1,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,可得 =1,即 =3,由可得m= ,n= ,所以该双曲线的标准方程为 - =1,故选A. 解后反思 用待定系数法求双曲线的方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由 条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为 - =(0)或mx2-ny2=1(mn0),再根据条件求解.,2.(2019河南郑州一模,7)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,实轴长为 6,渐近线方程为y= x,动点M在双曲线左支上,点N为圆E:x2+(y+ )2=1上一点,则|MN|+|MF2|的 最小值为 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11,答案 B 由题意知2a=6,则a=3,又由 = 得b=1,所以c= = ,则F1(- ,0).根据双曲 线的定义知|MF2|=2a+|MF1|=|MF1|+6,所以|MN|+|MF2|=|MN|+|MF1|+6=|EN|+|MN|+|MF1|+5|F1E|+ 5= +5=9,当且仅当F1,M,N,E共线时取等号,故选B.,3.(2019河北石家庄二中3月模拟,10)已知双曲线C: - =1(b0),F1,F2分别为C的左、右焦点, 过F2的直线l分别交C的左、右支于点A,B,且|AF1|=|BF1|,则|AB|= ( ) A.4 B.8 C.16 D.32,答案 C 由双曲线定义知|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,由于|AF1|=|BF1|,所以两式相加可得|AF2|- |BF2|=4a,而|AB|=|AF2|-|BF2|,|AB|=4a,由双曲线方程知a=4,|AB|=16,故选C.,4.(2019豫东豫北十所名校第五次联考,15)已知双曲线E: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别 为F1,F2,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若ABF2的内切圆与边AB, BF2,AF2分别相切于点M,N,P,且AP的长为4,则a的值为 .,答案 2,解析 由题意知|BM|=|BN|,|F2P|=|F2N|,|AM|=|AP|,则|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,又|AF2|-|AF1|=2a, 则|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|MA|+|AF1|-|NF2|=|MA|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2.,5.(2018河北名校名师俱乐部二调,15)已知F1、F2分别是双曲线x2- =1(b0)的左、右焦点,A 是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且F1AF2=45,延长AF2交双曲线的右支于点B,则 F1AB的面积等于 .,答案 4,解析 由题意知a=1,由双曲线定义知|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,|AF1|=2+|AF2|=4,|BF1| =2+|BF2|.由题意知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|,|BA|=|BF1|,BAF1为等腰三角形,F1AF2=45, ABF1=90,BAF1为等腰直角三角形.|BA|=|BF1|= |AF1|= 4=2 . = |BA| |BF1|= 2 2 =4.,1.(2019河南鹤壁高中4月模拟,5)设F1,F2是双曲线C: - =1(a0,b0)的左、右焦点,P是双曲 线C右支上一点,若|PF1|+|PF2|=4a,且F1PF2=60,则双曲线C的渐近线方程是 ( ) A. xy=0 B.2x y=0 C. x2y=0 D.2x y=0,考点二 双曲线的几何性质,答案 C F1,F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线右支上,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2| =2a,又知|PF1|+|PF2|=4a,|PF1|=3a,|PF2|=a.在PF1F2中,由余弦定理的推论可得cos 60= ,即 = ,3a2=10a2-4c2,即4c2=7a2,又知b2+a2=c2, = , 双曲线C的渐近线方程为y= x,即 x2y=0,故选C.,2.(2019湖南长沙3月统一考试,6)已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,P是其一条渐 近线上的一点,且以F1F2为直径的圆经过点P,则PF1F2的面积为 ( ) A. B.1 C. D.2,答案 C 设P(x0,y0),不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x-y=0上,因此可得x0-y0=0. F1(0, ),F2(0,- ),所以|F1F2|=2 ,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,又以F1F2为直径的圆经 过点P,所以 + =2.由 得|x0|=1,于是 = |F1F2|x0|= 2 1= ,故选C.,3.(2019湖南长沙雅礼中学第八次模拟,11)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点为F1、 F2,在双曲线上存在点P满足2| + | |,则此双曲线的离心率e的取值范围是( ) A.1e2 B.e2 C.1e D.e,答案 B 当P不是双曲线与x轴的交点时,连接OP,因为OP为PF1F2的边F1F2上的中线,所以 = ( + );当P是双曲线与x轴的交点时,同样满足上述等式.因为双曲线上存在点P满足 2| + | |,所以4| |2c,由| |a,可知4a2c,则e2,选B.,4.(2019广东佛山二模,11)已知F为双曲线C: - =1(ab0)的右焦点,A,B是双曲线C的一条渐 近线上关于原点对称的两点,AFBF,且AF的中点在双曲线C上,则C的离心率为( ) A. -1 B. C. D. +1,答案 A F为双曲线C: - =1(ab0)的右焦点,F的坐标为(c,0).设A,B是双曲线C的一 条渐近线y= x上关于原点对称的两点,A (x00),B , = , = ,AFBF,(x0-c)(-x0-c)+ x0 =0, -c2+ =0,又a2+b2=c2, =c2, 即 =a2,x00,x0=a,点A的坐标为(a,b),AF的中点坐标为 ,又AF的中点在双 曲线C上, - =1,即 - =1,(e+1)2=5,已知e1,e= -1,故选A.,5.(2019福建福州3月联考,10)如图,双曲线C: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2 作直线与C的渐近线交于P点,若等腰PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 依题意得,kOP= = = ,在等腰PF1F2中,cosPF2F1= = = ,所以 |OP|2=c2+c2-2c2cosPF2F1= c2,所以|OP|= c,所以cosF2OP= = ,所以tanF2OP= ,所以 = ,解得e= ,故选C.,6.(2018河南4月适应性测试,9)已知F1、F2分别是双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点,P是 双曲线上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为 ,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y=2x B.y= x C.y= x D.y= x,答案 D 不妨设P为双曲线右支上一点,则|PF1|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1 |+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因为 所以PF1F2为最小内角,故PF1F2= . 由余弦定理的推论,可得 = ,即( a-c)2=0,所以c= a,则b= a,所以双曲 线的渐近线方程为y= x,故选D.,一、选择题(每题5分,共40分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：45分钟 分值：50分),1.(2019河南洛阳二模,8)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(2, )在 双曲线上,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则该双曲线的方程为 ( ) A.x2-y2=1 B. - =1 C.x2- =1 D. - =1,答案 A |PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,|PF1|+|PF2|=4c.点P位于第一象限,|PF1|-|PF2|=2 a,|PF1|=2c+a,|PF2|=2c-a,cosPF2F1= = ,又点P(2, )在双曲线 上,sinPF2F1= , + =1,化简得(c-2a)2+3=(2c-a)2,即c2-a2=b2=1,又 - =1,a2=1,双曲线的方程为x2-y2=1,故选A.,2.(2019安徽五校联盟第二次质检,4) - =4表示的曲线方程为 ( ) A. - =1(x-2) B. - =1(x2) C. - =1(y-2) D. - =1(y2),答案 C 的几何意义为点M(x,y)到点F1(0,3)的距离, 的几何意义为点 M(x,y)到点F2(0,-3)的距离,则 - =4表示点M(x,y)到点F1(0,3)的距离与到 点F2(0,-3)的距离的差为4,且4|F1F2|,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的下支,且该双 曲线的长半轴长a=2,半焦距c=3,所以b2=c2-a2=5,则 - =4表示的曲线方 程为 - =1(y-2),故选C. 解题关键 通过 - =4的几何意义来确定此方程表示的轨迹是解决本 题的关键.,3.(2019河北石家庄二中4月模拟,11)设F1、F2分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上任一点,若 的最小值为8a,则该双曲线离心率e的取值范围是( ) A.(0,2) B.(1,3 C.2,3) D.3,+),答案 B 由双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+|PF2|, = = = +|PF2|+4a2 +4a=8a,当且仅当|PF2|= ,即|PF2|=2a 时,等号成立. 的最小值为8a,|PF2|=2a,|PF1|=4a.点P在双曲线右支上,|PF1|+|PF2| |F1F2|,当且仅当P1、F1、F2三点共线且点P为右顶点时等号成立,即6a2c,e3,又e1, e(1,3,故选B. 知识拓展 点P是双曲线 - =1(a0,b0)右支上一点,F1,F2是左、右焦点,则有|PF2|min=c-a,| PF1|min=c+a.,4.(2019湖南衡阳二模,9)已知双曲线E: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以坐标原 点O为圆心,OF1的长为半径作圆,O与E在第一象限交于点P,若直线PF1的倾斜角为且sin 2 = ,则双曲线E的离心率为 ( ) A. B. C.2 D.4,答案 C 由题意知F1PF2= ,即PF1F2为直角三角形,sin = ,cos = ,|PF2|=2 csin ,|PF1|=2ccos ,由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a,即2ccos -2csin =2a,cos -sin = ,两边 平方得1-sin 2= = ,e2=4,又知e1,e=2,故选C.,5.(2019安徽宣城二模,10)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的左、右焦分别为F1、F2,O为坐标 原点,P是双曲线在第一象限内的点,直线PO交双曲线C左支于点M,直线PF2交双曲线C右支于 点N,若|PF1|=2|PF2|,且MF2N=60,则双曲线C的渐近线方程为 ( ) A.y= x B.y= x C.y=2x D.y=2 x,答案 A 连接F1M.点P是双曲线C在第一象限内的点,|PF1|-|PF2|=2a,又知|PF1|=2|PF2|,| PF1|=4a,|PF2|=2a,直线PO交双曲线C左支于点M,由对称性可知,|PO|=|OM|,又|OF1|=|OF2|, 四边形PF1MF2为平行四边形,|MF2|=|PF1|=4a.在POF2中,由余弦定理得4a2=|PO|2+c2-2c| PO|cosBACPOF2,在POF1中,由余弦定理得16a2=|PO|2+c2+2c|PO|cosPOF2,由+得 20a2=2|PO|2+2c2,|PO|2=10a2-c2,即|PO|= ,|PM|=2 ,又直线PF2交双曲线C 右支于点N,且MF2N=60,MF2P=120.在PMF2中,由余弦定理得4(10a2-c2)=4a2+16a2-2 2a4acos 120,即c2=3a2,又知c2=a2+b2,a2+b2=3a2, =2, = ,双曲线C的渐近线方程 为y= x,故选A.,6.(2019湖南岳阳二模,11)设双曲线C: - =1(a0,b0)的右焦点为F,O为坐标原点,若双曲线 及其渐近线上各存在一点Q,P,使得四边形OPFQ为矩形,则其离心率为 ( ) A. B.2 C. D.,答案 A 如图,作PHx轴于点H,设点P(xP,yP),易知OH=xP,PH=yP,OPHOFP,所以 = ,则xPOF=OP2xP= = 又由于点P在渐近线y= x上,因此有yP=xP = ,即P . 设点Q(xQ,yQ),由PQ的中点坐标为 可知,xQ=c- = ,yQ=-yP=- ,即Q .将点Q的坐 标代入双曲线方程结合a2+b2=c2可得c2=3a2,即e= . 思路分析 根据题意,借助平面几何知识求出点P的坐标,利用矩形对角线的性质及中点坐标 公式求得点Q的坐标,将点Q的坐标代入双曲线方程得a2与c2的关系式,从而求得离心率.,7.(2018山西太原五中4月月考,11)已知F1、F2是双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点,过F1 的直线l与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B,若|AF1|=2a,F1AF2= ,则 = ( ) A.1 B. C. D.,答案 B 如图所示,由双曲线定义可知|AF2|-|AF1|=2a. 又|AF1|=2a,所以|AF2|=4a,因为F1AF2= ,所以 = |AF1|AF2|sinF1AF2= 2a4a = 2 a2. 设|BF2|=m,由双曲线定义可知|BF1|-|BF2|=2a,所以|BF1|=2a+|BF2|,又知|BF1|=2a+|BA|,所以|BA|=| BF2|.又知BAF2= ,所以BAF2为等边三角形,边长为4a,所以 = |AB|2= (4a)2=4 a2, 所以 = = ,故选B.,思路分析 利用双曲线定义及|AF1|=2a求得|AF2|,从而利用三角形面积公式求出 ;在BF1F2中,利用双曲线定义得|BA|=|BF2|,从而得ABF2为等边三角形,进一步可求得 ,最后得面,积的比值. 解题关键 利用双曲线定义得|BF1|-|BF2|=2a,进而结合|BF1|=2a+|BA|得出|BA|=|BF2|是求解本题 的关键.,8.(2017福建福州3月质检,11)已知双曲线E: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,|F1F2| =6,P是E右支上的一点,PF1与y轴交于点A,PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|= ,则 E的离心率是 ( ) A.2 B. C. D.,答案 C 如图