重积分的应用

第四节 重积分的应用,第九章,一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答,一、主要内容,(一)几何应用 立体体积的计算 曲顶柱体的体积 由二重积分的几何意义知，以曲面z f ( x, y)为顶， 以xOy面上的闭区域D为底的曲顶柱体的体积为 V f ( x, y)d. D 空间立体的体积 占有空间有界域 的立体的体积为 V dv. ,2. 曲面的面积,设光滑曲面S : z f (x, y) , (x, y) Dxy,A 1 fx 2( x, y) f y2( x, y) d , Dxy,d x d y.,A 1 ( z )2 ( z )2 x y Dxy,即,d A 1 fx 2( x, y) f y2( x, y) d , 称为面积元素 故有曲面面积公式,Dyz,1 ( x )2 ( x )2 d y d z . y z,A ,若光滑曲面方程为 y h(z, x) , (z, x) Dz x ,则有 A 1 ( y )2 ( y )2 d z d x. z x Dzx,类似地， 若光滑曲面方程为 x g( y, z) , ( y, z) Dy z , 则有,则,x y, y Fz, z Fy , ( x, y) D , z Fx , x Fz,z,dxdy.,F,Fx 2 Fy2 Fz 2,A Dxy,若光滑曲面方程为隐式 F ( x, y, z) 0, 且Fz 0 ,因此,(二)物理应用 1. 质量的计算 由第一节的引例2知， 占有xOy面上闭区域D， 密度函数为 ( x, y) 的平面薄板的质量为 M ( x, y)d. D 类似地，占有空间有界域 ，密度函数为 ( x, y, z) 的空间物体的质量为 M ( x, y, z)dv. ,2. 质心坐标的计算 设物体占有空间域 , 有连续密度函数 ( x, y, z), 则该物体的质心坐标为, ( x, y, z)d x d y d z , x ( x, y, z)d x d y d z,x ., ( x, y, z)d x d y d z , y ( x, y, z)d x d y d z,y , z( x, y, z)d x d y d z,z ., ( x, y, z)d x d y d z 当 ( x, y, z) 常数时, 可得形心坐标：, ,x ,其中V d x d y d z为的体积 . ,zd x d y d z ,1 V 1 V,z , ,yd x d y d z ,1 V,xd x d y d z , y ,若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片, 其面密度为 ( x, y), 则它的质心坐标为, ( x, y)dxd y D, x ( x, y)dxd y,M,M,x D y,M,Mx 对 x 轴的 静力矩 M y 对 y 轴的 静力矩,y D Mx, ( x, y)dxd y D, y ( x, y)dxd y, D,x dxd y ,1 A,x ,其中A 为 D 的面积., 常数时, 可得薄片 的形心坐标:,D,y dxd y ,1 A,y ,3. 转动惯量的计算,IO ( x2 y2 ) ( x, y)dxd y. D,x,D,y,O,(x,y),如果物体是平面薄片,面密度为, ( x, y), ( x, y) D, 则转动惯量的表达式是二重积分: Ix y2 ( x, y)dxd y, D I y x2 ( x, y)dxd y, D,若物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数 ( x, y, z).,物体对 z 轴的转动惯量为 Iz ( x2 y2 ) ( x, y, z)dxd ydz, 对 x 轴的转动惯量为 Ix ( y2 z2 ) ( x, y, z)dxd ydz, ,对 y 轴的转动惯量为,I y ( x2 z2 ) ( x, y, z)dxd ydz, 对原点的转动惯量为 IO ( x2 y2 z2 ) ( x, y, z)dxd ydz. ,设物体占有空间区域 ,利用元素法,连续，求物体对位于原点的单位质量质点的引力 F (Fx , Fy , Fz ).,引力元素dF,在三坐标轴上的投影分别为,dv,z,y,x,r O d F,r x2 y2 z2 G 为引力常数,r 3,d Fy G ( x, y, z) y dv,3,dv,r, ( x, y, z)x,d Fx G,其密度函数 ( x, y, z),4.引力的计算,Fy G ( x, y, z) y dv, r 3,Fz G ( x, y, z)z dv. r 3,r 3 在上积分即得各引力分量 : Fx G ( x, y, z)x dv, r 3,d Fz G ( x, y, z)z dv,D,r 3,D,Fy G ( x, y) y d . r 3,对 xOy 面上的平面薄片D , 设其密度函数 ( x, y) 连续， 则它对原点处的单位质量质点的引力为 F (Fx , Fyz ), 其中 Fx G ( x, y)x d ,r x2 y2 G 为引力常数,用重积分解决问题的方法： 用微元分析法 (元素法) 从重积分定义出发 建立积分式 解题要点： 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便,二、典型例题,解,利用对称性， 只要计算第一卦限部分的体 积再八倍即可.,设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为 x2 y2 R2 , x2 z2 R2 ,例1 求两个底圆半径相等的直交圆柱面所围成 的立体的体积.,立体在第一卦限的部分可看作是一个曲顶柱体. 它的底为,考虑被积函数的 特点，选取直角 坐标计算，并适 当选取积分次序,D, 8,1,V 8V,R,0 0,R2 x2,R2 x2 d y, 8 d x,R,0,( R2 x2 )dx, 8,y R2 x2,R,y,O,R x,D,D : 0 y R2 x2 ,0 x R,于是,R2 x2 , R2 x2 d ,它的顶为柱面z ,16 3,3,R .,故曲面在 xOy 面上的投影域为 D xy : x 2 y 2 a 2 ,x 2 y 2所截,下部分的面积 .,x2 y2 a2 ,例2 求曲面 az x 2 y2被z 2a ,解,1 a,( x2 y2 ),z ,az x2 y2,2a,x,y,z,z 2a x2 y2,O,xy,z 2a x2 y2 由两曲面方程消去 z, 得,D a,因此, Dxy,1 z2 z2 d x d y x y,A ,a,a,d ,0,a 2,2 ,0, 4 2 d ,a 2,y 2 ) d x d y,1 4 ( x 2, D xy, 6,2,(5 5 1)a .,采用极坐标计算,1 a,( x2 y2 ), : z ,az x2 y2,2a,x,y,z,z 2a x2 y2,O,xy,D a,例3,D,y ,ydxd y,1 A,3 D, 1 2 sin dd , d ,4sin ,2sin ,2,薄片的质心., 0,1 3,sin d ,解,D,O,y 4 2,x,利用对称性可知 x 0, 而,求位于两圆 2sin 和 4sin 之间均匀,56 9,0,4, 2 2 sin d , 7 , 56 2 3 1 9 4 2 2,4,D,O,y,x,C 2,sin d ,56 9, 0,4,).,7 3,3 故质心位于点C(0,空间物体及密度函数都 关于,的密度在数值上等于该点到原点的距离的平方.,求球体的质心.,x 2,例4 已知球体 y 2 z 2 2 Rz , 其上任一点,由题意, 密度函数 ( x, y, z) x2 y2 z2 ,z轴对称， 所以质心坐标为,O,y,x (0，0， z ).,解,z 2 R,32 15,5, R .,( 2 R cos ) sin d ,1 5,5,0, 2, 2 ,z 2 ) d v,球体的质量, ( x 2 y 2 ,M , ( x , y , z ) d v,d ,2 R cos ,2 ,0,0 0, 2,r 2 r 2 sin d r, d ,z,O,y,x,2 R,5, R , 4,5 4,R).,z ,z ( x , y , z ) d v,3,32 R 5 从而质心为(0, 0, 15 8 R 6,( 2 R cos ) sin cos d ,6,32 R,15,6,0,5, 1,2, 2 , ,1 M 1 M,z ( x y 2 z 2 ) d v,2,d,d,32R,15,2Rcos,0,2,0,0,5, 2,r cos r 2 r 2 sind r, d ,sin d ,a 0,3, 0,2,D ,D, Ix y2 d x d y ,3 sin2 d d ,4,4, a,4, 1 M a2 ., a2 ,1 2,半圆薄片的质量 M ,2 2,1 1 , 2 .,解,建立坐标系如图, D : x2 y2 a2 , y 0.,对其直径的转动惯量.,a,a,D O,x,y,例5 求半径为 a 的均匀半圆薄片(密度为常数),0 z H . 所求转动惯量即为圆柱 体对于, ( x , y , z) x 2 y 2 R 2 ,高为H ,求其对底的直径的转动 惯量.,例6 设均匀圆柱体 (密度为常量 )的底半径为 R,解,z,R y,x,O,如右图, 圆柱体所占区域为,x轴的转动惯量 Ix .,z H,R H,d ,d ,0,0,2,2,2,2 ,0,( sin z ) d z, ,z 2 ) d v,I x ( y 2,R,H, ,0,3,2,3,2 ,0, ) d ,3,( H sin ,d ,2 ,0,2,3,6,(, ,R ) d ,H,R 4 sin 2 ,H 4,3,4, H 3 R 2 ., HR 4,x,y,O,R,例7,设有面密度为常数 , 半径为R的圆形薄片, Ga,d Fz G 2 d, d, d a,2,3,d ,( x2 y2 a2 ),解,z a,0,M,由对称性知，引力F (0 , 0 , Fz ).,x2 y2 R2 , z 0, 求它对位于点 M0(0, 0, a) (a 0) 处的单位质量质点的引力.,d F d,a,R2 a2, Fz Ga, Ga, 2Ga ( 1 1).,2,0,d 0,2,3,d ,D ( x2 y2 a2 ),2 32,2,R d ,( a ),从而,1,a, 1 ).,R2 a 2,F (0 , 0 , Fz ) (0 , 0 , 2Ga(,x,O,R y,z a,0,M,d F d,Fx Fy 0.,3 x2 y2 (z a)2 2,Fz G z a d v,R, R, G,(z a)dz,2 3,2 2,Dz x y (z a) 2,d x d y,解,利用对称性知引力分量,先二后一,先二后一,例8 求半径 R 的均匀球 x2 y2 z2 R2 对位于,点M0(0, 0, a) (a R)的单位质量质点的引力.,x,y,z,O,a M 0 R Dz,R R, G,(z a)dz,2 0,2 3,2,R2 z2, (z a) 2,d,d 0,R, R, G,(z a)dz,2 3,2 2,Dz x y (z a) 2,d x d y,用极坐标计算 d x d y 2 2 2 3 Dz x y (z a) 2,R,dz, R,(z a), 2G,2 2,1 1 , R 2az a , a z, 2G ,R,1,2,R 2az a, 2, 2R a R (z a)d,上述结果表明:匀质球对球外一质点的引力,注,M, (0 , 0 , G ). a2,因此，所求的引力为 F (0 , 0 , Fz ),R,x,y,O,z a M 0,如同球的质量集中于球心时两质点间的引力.,a2, G M ,3,为球的质量.,3 其中M 4R,证明: 半径R的球的体积为 V 4 R 3 .,三、同步练习,1.,3 求半径为a 的球面与半顶为 的内接锥面,2.,所围成的立体的体积. 3. 求曲面S1 : z x2 y2 1任一点的切平面与 曲面 S2 : z x2 y2所围立体的体积 V .,与曲面y 1 x2和三坐标面在第一卦限内围成,4. 过曲面 z x 2 y 2 1上点 P作一切平面，使其,的柱体的体积最大，求此点的坐标及最大柱体的 体积之值.,中, 其侧面满足方程,5.,设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,h(t ),2( x2 y2 ),z h(t ) ,设长度单位为厘米 , 时间单位为小时 , 若体积 减少的速率与侧面积成 正比(设比例系数为0.9), 问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时? 6. 计算双曲抛物面z xy 被柱面x2 y2 R2 所截出的面积 A .,设半径为 R的球面 的球心在定球面,x2 y2 z2 a2(a 0)上, 问当R取什么值时, 球面在定球面内部的那部分的面积最大？,7.,三角形均匀薄片的质心 .,求由直线 2 x y 6与两坐标轴所围的,8.,上的一个定点,设有一半径为R 的球体, P0是此球的表面,9.,设球体上任一点的密度与该,点到P0的距离的平方成正比(比例常数 k 0), 求球体的重心位置.,求由曲线 y 2 x与直线 x 1所围成的平面,10.,薄片对于通过坐标原点任一直线的转动惯量, 并,讨论那种情况下, 转动惯量取得最大值或最小值.,11.,立体 其体密度为 1 求绕直线 l：x y z 旋转的转动惯量.,设由曲面 z 2 x 2 y2与z x 2 y2围成,设在 xOy 面上有一质量为M 的均质半圆形,12.,薄片, 占有平面区域x 2 y 2 R 2 , y 0,过圆心 O垂直于薄片的直线上有一质量为m的质点 P , OP a , 求薄片对质点 P 的引力.,13. 设有底半径为 a，高为 h，密度均匀的圆 锥体，其质量为 M，在圆锥顶点处有一单 位质量 的质点，求圆锥体对此 质点的引力 .,四、同步练习解答,1. 证明: 半径R的球的体积为 V 4 R 3 .,证 系中, : 0 r R , V d v ,R,d r sin d r,d ,0,2 ,0,0,2, ,3, 4 R 3 .,3 建立坐标系，使球心在原点，则在球面坐标,x,y,0 , 0 2 . z R,O,所围成的立体的体积. 解 在球坐标系下空间立体所占,区域为,0 r 2a cos , : 0 , 0 2. 则立体体积为,2. 求半径为a 的球面与半顶为 的内接锥面,r,M,x,O,z,y,2a,3,3,cos sin d,16 a3, 0,3,4,(1 cos )., 4 a3,2a cos 0, 0,sin d ,2 0,d ,V dxd ydz,d v r 2 sin d d dr,r,M,x,O,z,y,r 2 d r 2a,解,曲面S1 在点( x0 , y0 , z0 ) 的切平面方程为,3.,求曲面S1 : z x2 y2 1任一点的切平面与,曲面 S2 : z x2 y2所围立体的体积 V .,z 2 x0 x 2 y0 y 1 x2 y2 , 0 0 它与曲面 z x2 y2 的交线在 xOy 面上的投影为 ( x x0 )2 ( y y0 )2 1 (记所围域为D ). 因此,V 2 x0 x 2 y0 y 1 x02 y02 x2 y2 dxdy,., 2,D 1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 )dxdy D 令 x x0 cos , y y0 sin 2 d d D, , d ,d ,1 0,3,2 0,与曲面y 1 x2和三坐标面在第一卦限内围成,4. 过曲面 z x 2 y 2 1上点 P作一切平面，使其,的柱体的体积最大，求此点的坐标及最大柱体的 体积之值. 解 设P ( x0 , y0 , z0 )是曲面 z x 2 y 2 1上任一点， 曲面在该点的法向量 n (2 x0 ,2 y0 ,1). 曲面 z x 2 y 2 1在P点处的切平面方程为 2 x0( x x0 ) 2 y0( y y0 ) (z z0 ) 0.,由 z0 x02 y02 1代入此方程 ,切平面方程表示为 z 2 x0 x 2 y0 y (1 x2 y2 ). 0 0 柱体的底为D( x, y) 0 y 1 x2 , 0 x 1 切平面下的柱体的体积为, D,V ( x0 , y0 ) ,2 x0 x 2 y0 y (1 x2 y2 )d . 0 0,利用极坐标, 有,求其偏导数并令其分别为零，得,3 2,0,0, 2 y 0 0 3 2,V x 2 x 0 0 , V y,3,得唯一驻点 x0 y0 4 , ,1,2,0,2 0,0,0,2,0 0,y )d ,sin (1 x,cos 2 y,d 2 x,V ( x0 , y0 ) , 4,2 3,2,2,0 0,(1 x y ).,( x0 y0 ) ,0,3 ,4 ,2 4 ,此时z0 x02 y02 1 32 1,92 V ( x0 , y0 ) 8 . 9 4 下面考虑 V ( x0 , y0 )在区域边界上的情形 . 当x0 0时，有,9 4, 4 y, 4,2 3,2,0,0,0,(1 y ),y ,V (0, y ) ,3,V ( x0 , y0 ) 2 ( x0 y0 ),当x02 y02 1时,3,x02 y02 2 x0 y0, 2,3,(2 x02 2 y02 ), 2,3 3,当y0 0时，有V ( x0 ,0) V ( 4 , 4 )., V ( 4 , 4 ), 4 3 3,4 8 9 4 9,3, 2 2, V ( 4 , 4 ), 9 4 3 3, 8,3 3 92, 1),P ( 4 , 4 , 32,综上所述，可知 V ( x0 , y0 ) 8 9 4 即为所求最大体积,即为所求切点.,中, 其侧面满足方程,5.,设长度单位为厘米 , 时间单位为小时 , 若体积 减少的速率与侧面积成 正比(设比例系数为0.9), 问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时? 解依题意 ,首先应求出雪堆的体积 V与侧面积 S ,设有一高度为h(t) (t为时间) 的雪堆在融化过程,h(t ),2( x2 y2 ),z h(t ) ,z,y,x O,雪堆是曲顶柱体，上顶曲面的方程为,h(t ),2( x2 y2 ),z h(t ) ,.,2,h( t ), ( , ) ,于是其体积,2,2,2 2,h (t ),D ( x, y) x y ,h( t ),2, D,2( x y 2 ) d x d y,h( t ) ,V ,xOy 面上的圆域：,令z 0, 可得曲顶柱体的底是,2,h( t ),2 , d d ,h( t ) ,h( t ),h ( t ),2 2,D 2 ,0 0, d 2 h( t ) ,.,4, h 3 ( t ), d , D,h 2 ( t ),y 2 ) d x d y,1 16 ( x 2,雪堆的侧面积 S 1 z x 2 z y 2 d x d y D,12, 13 h 2 ( t ).,1,2,h ( t ),2,2,2 ,h ( t ) 16 d , d h( t ) 0 0,10,h( t ) 13 t C .,求导得,d t,据题意知dV 0.9S, 即,d h3(t ) 0.9 13 h2(t ) d t 4 12 d h( t ) 13 , 因此 d t 10,10 因为雪堆全部融化之时，也就是h(t ) 0时,由 h( 0 ) 130 , 得 C 130 , 故 h( t ) 13 t 130 .,令h(t ) 0, 可得t 100(小时), 因此雪堆全部融化需100小时.,d ,R 0,A 1 zx 2 zy 2 dxd y D 1 x2 y2 dxd y D 2,0, ,1 2 d,3, 2 (1 R2 )32 1).,所截出的面积 A . 解 曲面在 xOy 面上投影为 D : x2 y2 R2 , 则,6. 计算双曲抛物面z xy 被柱面x2 y2 R2,),2 ,2, z 0 .,2 R 2,2 ( 4 a,4 a,R 2, x y,球面在定球面内部的那部分的面积最大？,设半径为 R的球面 的球心在定球面,x2 y2 z2 a2(a 0)上, 问当R取什么值时,解,根据题意不妨设球面的方程为 x2 y2 (z a)2 R2, 两球面的交线在xOy面上的投影为,7.,它所围成的平面区域为,在定球内的部分的方程为,R 2,z a x 2 y 2 ,2,2,2 2,R 2, ( 4 a R ). 4 a 2,D : x y,D,1 z 2 z 2 d x d y x y,其面积 S ( R ) ,R 2,D, x 2 y 2, R d x d y .,R,R,2 a,0,2 d ,2,2 ,4 a 2 R 2,R , S ( R ) 0 d ,.,2,a, R 3, 2 R ,2 2, R ),D : 0 2 , 0 ( 4 a 4 a 2,.,6 R a,利用极坐标 x cos , y sin , 可得 R 2, S ( R ) 4 ,a,3R2,S ( R) 4R ,面部分面积最大.,3,4 3,a )为极大值，,又 S ( 4 a ) 4 0 , 因此 S (,3,令 S ( R ) 0 , 得驻点R1 4 a,R2 0(舍去).,3,即为最大值 . 所以当R 4 a时,球面在定球,2,而三角形薄片的面积为 A 1 3 6 9, 故,1,D,x x d , A,2 x y 6,3,8. 求由直线 2 x y 6与两坐标轴所围的 三角形均匀薄片的质心 .,A D,y 1 y d .,因薄片是均匀的 , 故质心坐标为 y,x,O,6,解,因此质心位于点 (1, 2)., D,y ,y d ,3,0 0,1 9 1 9,6 2 x,y d y,d x, 2 .,D,x ,x d ,3,0,0,1 9 1 9,6 2 x,x d y,d x, 1,2 x y 6,3,x,O,y 6,(R, 0, 0).,上的一个定点,设有一半径为R 的球体, P0是此球的表面,9.,解,点到P0的距离的平方成正比(比例常数 k 0), 求球体的重心位置.,设球体上任一点的密度与该,z,O,y,记球体为 , 以的球心为,0 x,直角坐标系, 则点 P0 的坐标为P,原点O, 以 OP 0为正向x 轴建立,.,2 2 2, k( x R) y z d v,设 的重心位置为( x , y , z ), 则 y z 0 , x k( x R)2 y2 z2 d v,x , 利用对称性知 ( x R )2 y 2 z 2 d v ( x 2 y 2 z 2 ) d v R2 d v,2,0,0,2 2,2,0, 8,R,r r,d ,d ,5,4,sin d r R 3, 32 R5.,y 2 z 2 d v,15 x( x R ) 2 2 R x 2 d v, , ,R,2 3,z 2 ) d v,( x y 2,2,z,O,y,x,0,P,因此, 所求的重心位置为,4,x R .,故,4,( R , 0 , 0 ).,2,0,0,2,0,2 3, (,R,r 2 r 2 sin d r,d ,d ,R) 8 ,15, 8 R6 ,求由曲线 y 2 x与直线 x 1所围成的平面,10.,解,1 a 2,y ax ,d ,y ax, 平面薄片上一点 ( x , y ) 到该直线的距离为,设通过原点的任一直线为 y,O,y 2 x x 1 x,薄片对于通过坐标原点任一直线的转动惯量, 并 讨论那种情况下, 转动惯量取得最大值或最小值.,则由转动惯量计算公式 ,可得,y 2 x,y,x,O,其中为均匀薄片的面密度 . 积分区域关于x轴对称，记D在x轴上方的子区域为 D1 : 0 x 1, 0 y x . 由被积函数的奇偶性知,D1 x 1,D,1 a2, ( y2 2axy a2 x2 )d,D,I (a ) d,2,D,y ax,2,d ( 1 a 2 ) d ,2 2 2,D1,( y a x )d,2 1 a2,I(a) ,2 2 2,1 x,1 a2 0 0 dx ( y,2, 4 ( 1 1a2). 1 a2 15 7,105（1 a2）2,I(a) 64 a .,y 2 x,y,x,a x )d y O,1 x 1,D,15,由I(a) 0, 可得a 0, I (0) 4 .,7,a,又 lim I (a) 4 , 因此,15,min,I I (0) 4 ,7,max,I lim I (a) 4 .,a,15,即平面薄片绕x轴的转动惯量最小，为 4 ,7,绕y轴的转动惯量最大，为4 .,O,x,距离的平方 d 2 .,要求绕直线 l的转动,旋转的转动惯量.,惯量 必须先求得内任 一点 M ( x , y , z )到直线 l的,11. 设由曲面z 2 x2 y2与z x2 y2围成 立体 其体密度为 1 求绕直线 l：x y z,解,z x 2 y 2 y,z 2 x2 y2,z M d l：xyz,M,3, 1 ( x y z ) 2,其中,3, 2 ( x 2 y 2 z 2 xy xz yz ),所以 d 2 x 2 y 2 z 2,设OM 为坐标原点到点M的向径,l,则d 2 OM 2 (Prj OM )2 ,Prjl OM (1 x 1 y 1 z) 3,z,O,x,z x 2 y 2 y,z 2 x2 y2,M d l：xyz,M, .,90,83,2 3,1,0,2 ,0,d d ,2 2 ,( 2 z 2 ) d z ,( xy yz xz)d v 0, ,故,2,2,2,2,( x y z )d v 3,因此 Il ,Il 1 d 2 d v, 由对称性知,3, 2,2,2 2,z xy xz yz)d v.,( x y,z,O,x,z x 2 y 2 y,M d l：xyz z 2 x2 y2,M,R,12.,薄片, 占有平面区域x 2 y 2 R 2 , y 0,过圆心 O垂直于薄片的直线上有一质量为m的质点 P ,设在 xOy 面上有一质量为M 的均质半圆形,OP a , 求薄片对质点 P 的引力.,解 记