（课标专用）2020届高考数学一轮复习第十一章概率与统计11.1随机事件、古典概型与几何概型课件.pptx

第十一章 概率与统计 11.1 随机事件、古典概型与几何概型,高考文数 (课标专用),考点一 随机事件的概率,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2018课标全国,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用 非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 ( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7,答案 B 设事件A为“不用现金支付”,事件B为“既用现金支付也用非现金支付”,事件C 为“只用现金支付”,则P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.故选B.,2.(2019课标全国,14,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有 10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该 站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .,答案 0.98,解析 设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正 点率为0.99的事件为C,则用频率估计概率有P(A)= = ,P(B)= = ,P(C)= = ,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97 +0.98 + 0.99 =0.98.,3.(2017课标全国,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4 元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经 验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最 高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月 份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:,以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶 时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.,解析 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25, 由表格数据知,最高气温低于25的频率为 =0.6, 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25,则Y=6450-4450=900; 若最高气温位于区间20,25), 则Y=6300+2(450-300)-4450=300; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(450-200)-4450=-100. 所以,Y的所有可能值为900,300,-100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20, 由表格数据知,最高气温不低于20的频率为 =0.8, 因此Y大于零的概率的估计值为0.8.,4.(2016课标全国,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续 保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:,随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:,(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值; (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的 估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值.,解析 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55, 故P(A)的估计值为0.55. (3分) (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3, 故P(B)的估计值为0.3. (6分) (3)由所给数据得,(10分) 调查的200名续保人的平均保费为 0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. (12分),评析 本题考查了频率的求解方法,同时对考生的应用意识及数据处理能力进行了巧妙的考 查,属中档题.,考点二 古典概型 1.(2019课标全国,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔 子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题主要考查古典概型;考查学生的逻辑推理和运算求解能力;考查的核心素养是 数学运算与数据分析. 记5只兔子分别为A,B,C,D,E,其中测量过某项指标的3只兔子为A,B,C,则从这5只兔子中随机取 出3只的基本事件有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中恰有2只 测量过该指标的基本事件有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6种,所以所求事件的概率P= = .,2.(2019课标全国,3,5分)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率 是 ( ) A. B. C. D.,技巧点拨 用树状图列举所有可能的结果是求解古典概型问题的基本方法之一.,3.(2018课标全国,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都 是女同学的概率为 ( ) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3,答案 D 设两名男生为A,B,三名女生为a,b,c,则从5人中任选2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a), (B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10种.2人都是女同学的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,所以所求概 率为 =0.3.,方法总结 古典概型概率的求法: (1)应用公式P(A)= 求概率的关键是寻求基本事件的总数和待求事件包含的基本事件的个 数. (2)基本事件个数的确定方法: 列举法:此法适用于基本事件较少的古典概型; 列表法:此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法; 画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题或较复杂问题中 基本事件数的探求.,4.(2017课标全国,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1 张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 本题考查古典概型. 解法一:记A为事件“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”.从5张卡片中等 可能有放回地抽取2次,每次抽取1张,共有25种等可能的结果. A发生当且仅当“第1张卡片上的数字为i时,第2张卡片上的数字为1,2,i-1,其中i=2,3,4,5”. 共有1+2+3+4=10种,故P(A)= = . 解法二:如下表所示,表中点的横坐标表示第1次抽取的数,纵坐标表示第2次抽取的数:,总计有25种情况,满足条件的共有1+2+3+4=10种,所以所求概率为 = .,5.(2016课标全国,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个 花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、 (黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在 同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P= = ,故选C.,解后反思 从4种颜色的花中任选2种共有6种情况,不重不漏地列举出所有情况是解题关键.,6.(2016课标全国,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I, N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 小敏输入密码前两位的所有可能情况如下: (M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5), (I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5), (N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种. 而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为 .,7.(2015课标全国,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数 为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A. B. C. D.,答案 C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4, 5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成一组勾股数的有1种:(3,4,5),故所求事件的概率P= ,故选C.,考点三 几何概型 1.(2017课标全国,4,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自 黑色部分的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于 正方形的中心对称,则黑色部分的面积为 ,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的 概率P= = ,故选B.,2.(2016课标全国,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据 几何概型的概率公式知所求事件的概率P= = ,故选B.,评析 本题主要考查几何概型,理清题意是解题的关键.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 随机事件的概率,1.(2016天津,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则甲不输的 概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲 不输的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)= + = ,故选A.,2.(2019北京,17,12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为 主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的 1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使 用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:,(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数; (2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1 人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月 支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.,3.(2018北京,17,13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:,好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假 设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好 评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出 结论),解析 (1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000, 第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50. 故所求概率为 =0.025. (2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是 1400.4+500.2+3000.15+2000.25+8000.2+5100.1 =56+10+45+50+160+51=372. 故所求概率估计为1- =0.814. (3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.,考点二 古典概型 1.(2017天津,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩 笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有以下10种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红, 紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).其中含有红色彩笔的有4种情况:(红,黄),(红, 蓝),(红,绿),(红,紫),所以所求事件的概率P= = ,故选C.,2.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同 学中至少有1名女同学的概率是 .,答案,解析 本题主要考查了古典概型和古典概型概率的计算方法,考查学生的应用意识和运算求 解能力,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算. 记3名男同学分别为a1、a2、a3,2名女同学分别为b1、b2,从这5名同学中选出2名同学的选法如 下:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10种,其中至少有1名女同 学的选法如下:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共7种,故所求概率P= .,解后反思 解决古典概型概率问题的关键是不重不漏地列出所有基本事件,既可以从正面直 接求解,也可以从反面找对立事件来求解.,3.(2018上海,9,5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个, 从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示).,答案,解析 本题主要考查古典概型的概率计算.记5克、3克、1克砝码分别为5、3、1,两个2克砝 码分别为2a,2b,则从这五个砝码中随机选取三个,有以下选法:(5,3,1),(5,3,2a),(5,3,2b),(5,1,2a), (5,1,2b),(5,2a,2b),(3,1,2a),(3,1,2b),(3,2a,2b),(1,2a,2b),共10种,其中满足三个砝码的总质量为9克 的有(5,3,1),(5,2a,2b),共2种,故所求概率P= = .,4.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 .,答案,解析 所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12 个. 记“logab为整数”为事件A, 则事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2个. P(A)= = .,易错警示 对a,b取值时要注意顺序.,评析 本题考查了古典概型.正确列举出基本事件是解题的关键.,5.(2019天津,15,13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教 育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、 中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查 专项附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人? (2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如 下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.,解析 本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及 其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算素 养. (1)由已知,老、中、青员工人数之比为6910,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员 工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人. (2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C, B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种. (ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E, C,F,D,F,E,F,共11种. 所以,事件M发生的概率P(M)= .,思路分析 (1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满足题意的 基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率. 失分警示 在列举基本事件时应找好标准,做到不重不漏.,6.(2018天津,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工 作. 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.,解析 本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及 其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽样的方法 从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人. (2)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E, A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G, E,F,E,G,F,G,共21种. 由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是 F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C, B,C,D,E,F,G,共5种. 所以,事件M发生的概率P(M)= .,易错警示 解决古典概型问题时,需注意以下几点: (1)忽视基本事件的等可能性导致错误; (2)列举基本事件考虑不全面导致错误; (3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错误.,7.(2016山东,16,12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需 转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次 记录的数分别为x,y.奖励规则如下: 若xy3,则奖励玩具一个; 若xy8,则奖励水杯一个; 其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率; (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.,解析 用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间与点集S=(x,y)|xN,y N, 1x4,1y4一一对应. 因为S中元素的个数是44=16, 所以基本事件总数为16. (1)记“xy3”为事件A, 则事件A包含的基本事件数共5个, 即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1). 所以P(A)= , 即小亮获得玩具的概率为 . (2)记“xy8”为事件B,“3xy8”为事件C, 则事件B包含的基本事件数共6个, 即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4). 所以P(B)= = .,事件C包含的基本事件数共5个, 即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1). 所以P(C)= . 因为 , 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.,评析 本题主要考查了古典概型,理解题意、不重不漏地列举出基本事件是解题关键.,考点三 几何概型 1.(2015福建,8,5分)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)= 的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ( ) A. B. C. D.,答案 B 易知点C的坐标为(1,2),点D的坐标为(-2,2),所以矩形ABCD的面积为6,阴影部分的 面积为 ,故所求概率为 .,2.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)= 的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD 的概率是 .,答案,解析 由6+x-x20,得-2x3,即D=-2,3, P(xD)= = .,C组 教师专用题组 考点一 随机事件的概率,1.(2015北京,17,13分)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品 的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买.,(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?,解析 (1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同 时购买乙和丙的概率可以估计为 =0.2. (2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾 客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时 购买3种商品的概率可以估计为 =0.3. (3)与(1)同理,可得: 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 =0.2, 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 =0.6, 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 =0.1. 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.,2.(2012课标全国,18,12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函 数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:,(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求 当天的利润不少于75元的概率.,解析 (1)当日需求量n17时,利润y=85. 当日需求量n17时,利润y=10n-85. 所以y关于n的函数解析式为 y= (nN). (2)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日 利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为 (5510+6520+7516+8554)=76.4. (ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16 +0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.,考点二 古典概型 1.(2016北京,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 设其他3名学生为丙、丁、戊,从中任选2人的所有情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁), (甲,戊), (乙,丙),(乙,丁),(乙,戊), (丙,丁),(丙,戊), (丁,戊), 共4+3+2+1=10种. 其中甲被选中的情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种, 故甲被选中的概率为 = .故选B.,易错警示 在列举基本事件时要不重不漏,可画树状图:,2.(2015湖北,2,5分)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送 来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 ( ) A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石,答案 B 这批米内夹谷约为 1 534169石,故选B.,3.(2015广东,7,5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一 件次品的概率为 ( ) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1,答案 B 记3件合格品分别为A1,A2,A3,2件次品分别为B1,B2,从5件产品中任取2件,有(A1,A2),(A 1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种可能.其中恰有一件次品有 6种可能,由古典概型概率公式得所求事件概率为 =0.6.选B.,4.(2013课标全国,3,5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概 率是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 从1,2,3,4中任取2个不同的数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种不同的结果,取 出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4)2种结果,概率为 ,故选B.,5.(2011课标,6,5分)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各参加其中一个小组,每位同学参加各个 小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 甲、乙两人都有3种选择,共有33=9种情况,甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3 种情况.甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P= = ,故选A.,易错警示 认为甲、乙共有32=6种选择,从而选错B.,6.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好 选中2名女生的概率为 .,答案,解析 本题考查古典概型. 把男生编号为男1,男2,女生编号为女1,女2,女3,则从5名学生中任选2名学生有:男1男2,男1女1,男1女 2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10 种情况,其中选中2名女生有3种情况,则恰 好选中2名女生的概率为 .,易错警示 在使用古典概型的概率公式时,应注意:(1)要判断该概率模型是不是古典概型;(2) 分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m,常用列举法把基本事件一一列举出来,再利 用公式P(A)= 求出事件A发生的概率,列举时尽量按某一顺序,做到不重复、不遗漏.,7.(2014课标,13,5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书 相邻的概率为 .,答案,解析 设2本不同的数学书为a1、a2,1本语文书为b,在书架上的排法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1 a2,ba2a1,共6种,其中2本数学书相邻的有a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,共4种,因此2本数学书相邻的概率 P= = .,8.(2014课标,13,5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选 择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为 .,答案,解析 甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9种, 其中颜色相同的有3种,所以所求概率为 = .,9.(2013课标,13,5分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是 .,答案 0.2,解析 任取两个不同的数的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10 种,其中和为5的有2种,所以所求概率为 =0.2.,10.(2017山东,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择 2个国家去旅游. (1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率; (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.,解析 (1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,A2, A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,B2,B 1,B3,B2,B3,共15个. 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3个, 则所求事件的概率P= = . (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B2, A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共9个. 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2个,则所求事件的概率P= .,11.(2015天津,15,13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层 抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛. (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数; (2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人 参加双打比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.,解析 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2. (2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1, A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共15 种. (ii)编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为A1,A5,A1,A6,A2,A5, A2,A6,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共9种. 因此,事件A发生的概率P(A)= = .,评析 本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及 其概率计算公式等基础知识.考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力.,12.(2015湖南,16,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖 方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各 随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖. (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果; (2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗? 请说明理由.,解析 (1)所有可能的摸出结果是A1,a1,A1,a2,A1,b1,A1,b2,A2,a1,A2,a2,A2,b1,A2,b2, B,a1,B,a2,B,b1,B,b2. (2)不正确.理由如下: 由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为A1,a1,A1,a2,A2,a 1,A2,a2, 共4种,所以中奖的概率为 = ,不中奖的概率为1- = ,故这种说法不正确.,评析 本题考查了随机事件及其概率,古典概型概率的计算;考查了分析、计算能力及应用意识.,13.(2015福建,18,12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标. 根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的 数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如下表所示.,(1)现从融合指数在4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1 家的融合指数在7,8内的概率; (2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.,评析 本小题主要考查古典概型、频数分布表、平均数等基础知识,考查数据处理能力、运 算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想等.,14.(2015四川,17,12分)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位 号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客P1因身体原因没有坐自己 的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的 座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位. (1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐 法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处); (2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.,解析 (1)余下两种坐法如下表所示:,(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为:,于是,所有可能的坐法共8种. 设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4. 所以P(A)= = . 答:乘客P5坐到5号座位的概率是 .,评析 本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算,考查运用概率知识与方 法分析和解决实际问题的能力,考查推理论证能力、应用意识.,15.(2015山东,16,12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据 如下表:(单位:人),(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2, B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.,解析 (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人, 故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人, 所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P= = . (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有: A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2, A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,A4,B1, A4,B2,A4,B3,A5,B1,A5,B2,A5,B3, 共15个. 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有: A1,B2,A1,B3,共2个. 因此A1被选中且B1未被选中的概率为P= .,考点三 几何概型 1.(2015山东,7,5分)在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“-1lo 1”发生的概率 为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由-1lo 1, 得 x+ 2, 解得0x ,所以事件“-1lo 1”发生的概率为 = ,故选A.,2.(2015湖北,8,5分)在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y ”的概率,p2为事件 “xy ”的概率,则( ) A.p1p2 B.p2 p1 C. p2p1 D.p1 p2,答案 D (x,y)构成的区域是边长为1的正方形及其内部,其中满足x+y 的区域如图(1)中阴 影部分所示,所以p1= = ,满足xy 的区域如图(2)中阴影部分所示,所以p2= = ,所以p1 p2,故选D.,3.(2015陕西,12,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,yR),若|z|1,则yx的概率为 ( ) A. + B. + C. - D. -,答案 C 利用复数的几何意义可知|z|1表示的区域为以(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内 部,此区域内满足yx的点对应的区域如图中阴影部分所示, 故所求概率P= = - ,故选C.,4.(2015重庆,15,5分)在区间0,5上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概 率为 .,答案,解析 要使方程x2+2px+3p-2=0有两个负根, 必有 解得 p1或p2, 结合p0,5得p 2,5, 故所求概率为 = .,考点一 随机事件的概率,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019广东广州二模,5)从某班5名学生(其中男生3人,女生2人)中任选3人参加学校组织的社 会实践活动,则所选3人中至少有1名女生的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 采用间接法,从某班5名学生中任选3人共有10种选法,3名学生全为男生的有1种选 法.至少有1名女生的对立事件是没有女生,即全为男生,所以所求概率P=1- = .故选A.,2.(2019江西南昌外国语学校高考适应性测试,3)有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别 为1、2的绿色卡片,从这五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率 是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 因为从这五张卡片中任取两张共有10种取法,两张卡片颜色不同且标号之和小于4 的取法有2+1=3种,因此所求概率是 ,选D.,3.(2019江西九江一模,4)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水, 其甲壳上有此图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数, 四隅黑点为阴数,其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从四个阴数中随机抽取2数,则 能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 从四个阴数中随机抽取2个数,共有6种取法,其中满足题意的取法有两种:4,6和2,8, 能使这两数与居中阳数之和等于15的概率P= = .故选D.,4.(2017福建泉州高考考前适应性模拟(一),3)从装有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白 球的口袋中随机取出一球,若取到红球的概率是 ,则取得白球的概率等于 ( ) A. B. C. D.,答案 C 取得红球与取得白球为对立事件,取得白球的概率P=1- = .,5.(2019安徽蚌埠第二次教学质量检查,4)从1,2,3,4中选取两个不同数字组成两位数,则这个两 位数能被4整除的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 依题意可知,所有的两位数为12,13,14,21,31,41,23,24,34,32,42,43,共12个,其中能被4 整除的是12,24,32,共3个,故所求概率为 = ,故选B.,6.(2017安徽池州4月模拟,14)小明忘记了微信登录密码的后两位,只记得最后一位是字 母A,a,B,b中的一个,另一位是数字4,5,6中的一个,则小明输入一次密码能够成功登录的概率是 .,答案,解析 小明输入密码后两位的所有情况为(4,A),(4,a),(4,B),(4,b),(5,A),(5,a),(5,B),(5,b),(6,A), (6,a),(6,B),(6,b),共12种, 而能成功登录的密码只有一种, 故小明输入一次密码能够成功登录的概率是 .,考点二 古典概型 1.(2019湖南六校(长沙一中、常德一中等)联考,3)某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌,从 黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色,则所选颜色中含有白色的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色的所有基本事件有黄白,黄蓝, 黄红,白蓝,白红,蓝红,共6种.其中包含白色的有3种,所以所选颜色中含有白色的概率 为 ,故选B.,2.(2018福建泉州质量检查(3月),4)用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色,每个小球只涂 一种颜色,则两个小球颜色不同的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 设3种不同的颜色分别用A,B,C表示,所有的基本事件为(A,A),(A,B),(A,C),(B,A), (B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9个,其中两个小球颜色不同的事件有6个,则两个小球颜色不同 的概率P= = ,故选C.,3.(2019湖南怀化3月第一次模拟,5)镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这 样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀2个小灯, 另一种是大灯下缀4个小灯,大灯共360个,小灯共1 200个.若在这座楼阁的灯球中,随机选取一 个灯球,则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 设大灯下缀2个小灯的灯球有x个,大灯下缀4个小灯的灯球有y个, 根据题意可得 解得x=120,y=240, 故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为 = ,故选B.,4.(2017山西一模,12)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛,共有2道备选题目,若每位选手