（课标专用）2020届高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列课件.pptx

第六章 三角函数 6.3 等比数列,高考文数 (课标专用),考点一 等比数列及其性质,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2019课标全国,6,5分)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3 = ( ) A.16 B.8 C.4 D.2,答案 C 本题主要考查等比数列的性质;以等比数列的前n项和公式为载体考查学生的运算 求解能力;体现了数学运算的核心素养. 设等比数列的公比为q, 由a5=3a3+4a1得a1q4=3a1q2+4a1,q2=4,又an0,q=2, 由S4= =15,解得a1=1.a3=a1q2=4,故选C.,易错警示 对an=a1qn-1和Sn= (q1)未能熟练掌握,从而导致失分.,2.(2015课标,9,5分)已知等比数列an满足a1= ,a3a5=4(a4-1),则a2= ( ) A.2 B.1 C. D.,答案 C 解法一:设an的公比为q,则an= .由a3a5=4(a4-1)得 =4 ,即(q3-8)2=0,解得q3 =8,q=2,因此a2= . 解法二:设an的公比为q,由等比数列的性质可知a3a5= , =4(a4-1),即(a4-2)2=0,得a4=2, 则q3= = =8,得q=2, 则a2=a1q= 2= ,故选C.,3.(2019课标全国,18,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求an的通项公式; (2)设bn=log2an,求数列bn的前n项和.,解析 本题主要考查等比数列的概念及运算、等差数列的求和;考查学生的运算求解能力;体 现了数学运算的核心素养. (1)设an的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0. 解得q=-2(舍去)或q=4. 因此an的通项公式为an=24n-1=22n-1. (2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列bn的前n项和为1+3+2n-1=n2.,4.(2018课标全国,17,12分)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn= . (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式.,解析 (1)由条件可得an+1= an. 将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2)bn是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得 = ,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得 =2n-1,所以an=n2n-1.,方法规律 等比数列的判定方法: 证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前n项和公式法只用于选择 题、填空题中的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.,考点二 等比数列的前n项和 1.(2019课标全国,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3= ,则S4= .,答案,解析 本题主要考查等比数列的有关概念;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学 运算. 设公比为q(q0), 则S3=a1+a2+a3=1+q+q2= , 解得q=- , a4=a1q3=- , S4=S3+a4= - = .,2.(2015课标,13,5分)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n= .,答案 6,解析 由已知得an为等比数列,公比q=2, 由首项a1=2,Sn=126得 =126, 解得2n+1=128,n=6.,3.(2018课标全国,17,12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.,解析 本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式. (1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,则Sn= . 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解. 若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.,思路分析 (1)根据已知,建立含有q的方程求得q并加以检验代入等比数列的通项公式 (2)利用等比数列前n项和公式与已知建立等量关系即可求解.,易错警示 解方程时,注意对根的检验.求解等比数列的公比时,要结合题意进行讨论、取值, 避免错解.,4.(2017课标全国,17,12分)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1= -1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通项公式; (2)若T3=21,求S3.,解析 本题考查了等差、等比数列. 设an的公差为d,bn的公比为q, 则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. (1)由a3+b3=5得2d+q2=6. 联立和解得 (舍去),或 因此bn的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由得d=8,则S3=21. 当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 等比数列及其性质,1.(2018北京,5,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半 音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得 到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 . 若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为 ( ) A. f B. f C. f D. f,答案 D 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f,公比为 的等比数列,设此数列为 an,则a8= f,即第八个单音的频率为 f,故选D.,易错警示 本题是以数学文化为背景的实际应用问题,忽略以下几点容易造成失分:读不懂 题意,不能正确转化为数学问题.对要用到的公式记忆错误.在求解过程中计算错误.,2.(2015广东,13,5分)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2 ,c=5-2 ,则b= .,答案 1,解析 a,b,c成等比数列,b2=ac=(5+2 )(5-2 )=1,又b0,b=1.,考点二 等比数列的前n项和 1.(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3= ,S6= ,则a8= .,答案 32,解析 本题考查等比数列及等比数列的前n项和. 设等比数列an的公比为q. 当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意, q1,由题设可得 解得 a8=a1q7= 27=32.,2.(2017北京,15,13分)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求an的通项公式; (2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.,解析 (1)设等差数列an的公差为d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n-1. (2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1. 从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1= .,方法总结 求解有关等差数列和等比数列问题的关键是对其基本量(首项,公差,公比)进行求 解.对于数列求和问题,常用的方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法和分组 转化法等.,1.(2013课标,6,5分)设首项为1,公比为 的等比数列an的前n项和为Sn,则 ( ) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an,C组 教师专用题组,答案 D 解法一:因为a1=1,公比q= ,所以an= ,Sn= =3 1- =3-2 =3- 2an,故选D. 解法二:采用特殊值法. 当n=2时,S2=a1+a2= ,且2a2-1 ,3a2-2 ,4-3a2 ,3-2a2= ,所以选D.,2.(2015浙江,10,6分)已知an是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1= ,d= .,答案 ;-1,解析 a2,a3,a7成等比数列, =a2a7,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),解得d=- a1,2a1+a2=1, 3a1+d=1,由可得a1= ,d=-1.,3.(2012课标全国,14,5分)等比数列an的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q= .,答案 -2,解析 由S3+3S2=0得4a1+4a2+a3=0,有4+4q+q2=0,解得q=-2.,4.(2016北京,15,13分)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求an的通项公式; (2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.,解析 (1)等比数列bn的公比q= = =3, (1分) 所以b1= =1,b4=b3q=27. (3分) 设等差数列an的公差为d. 因为a1=b1=1,a14=b4=27, 所以1+13d=27,即d=2. (5分) 所以an=2n-1(n=1,2,3,). (6分) (2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. (8分) 从而数列cn的前n项和 Sn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1 = + =n2+ . (13分),评析 本题考查了等差、等比数列的通项公式和前n项和公式,属容易题.,5.(2015四川,16,12分)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设数列 的前n项和为Tn,求Tn.,解析 (1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2), 即an=2an-1(n2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n. (2)由(1)得 = . 所以Tn= + + = =1- .,评析 本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识,考 查运算求解能力.,6.(2015重庆,16,13分)已知等差数列an满足a3=2,前3项和S3= . (1)求an的通项公式; (2)设等比数列bn满足b1=a1,b4=a15,求bn的前n项和Tn.,解析 (1)设an的公差为d,则由已知条件得 解得a1=1,d= , 故通项公式为an=1+ , 即an= . (2)由(1)得b1=1,b4=a15= =8. 设bn的公比为q,则q3= =8,从而q=2, 故bn的前n项和Tn= = =2n-1.,评析 本题考查等差、等比数列的基本量计算,考查运算求解能力.,7.(2011全国,17,10分)设等比数列an的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.,解析 设an的公比为q,由题设得 解得 或 当a1=3,q=2时,an=32n-1,Sn=3(2n-1); 当a1=2,q=3时,an=23n-1,Sn=3n-1.,8.(2010大纲,18,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=2 ,a3+a4+a5= 64 . (1)求an的通项公式; (2)设bn= ,求数列bn的前n项和Tn.,解析 (1)设公比为q,则an=a1qn-1,由已知有 化简得 又an0,故q=2,a1=1,所以an=2n-1. (2)由(1)知bn= = + +2=4n-1+ +2. 因此Tn=(1+4+4n-1)+ +2n = + +2n= (4n-41-n)+2n+1.,考点一 等比数列及其性质,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019湖南衡阳一模,5)在等比数列an中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是 ( ) A.6 B.-8,8 C.-8 D.8,答案 D a1a3= =4,a4=4,a2=2,q2= =2,a6=a2q4=24=8,故a6的所有可能值构成的集 合是8,故选D.,2.(2019江西九江一模,3)等比数列an中,若a4a5a6=8,且a5与2a6的等差中项为2,则公比q= ( ) A.2 B. C.-2 D.-,答案 B 因为an是等比数列,a4a5a6=8,所以(a5)3=8,解得a5=2, 由a5与2a6的等差中项为2,得a5+2a6=4,解得a6=1,则q= = .故选B.,3.(2017安徽淮北二模,3)5个数依次组成等比数列,且公比为-2,则其中奇数项和与偶数项和的 比值为 ( ) A.- B.-2 C.- D.-,答案 C 由题意可设这5个数分别为a,-2a,4a,-8a,16a,a0, 故奇数项和与偶数项和的比值为 =- ,故选C.,4.(2019山西3月高考考前适应性测试,6)正项等比数列an中,a1a5+2a3a7+a5a9=16,且a5与a9的等 差中项为4,则an的公比是 ( ) A.1 B.2 C. D.,答案 D 设公比为q,由正项等比数列an中,a1a5+2a3a7+a5a9=16,可得 +2a3a7+ =(a3+a7)2=16, 即a3+a7=4,由a5与a9的等差中项为4,得a5+a9=8,则q2(a3+a7)=4q2=8,则q= (舍负),故选D.,5.(2018山东菏泽第一次模拟,6)等比数列an中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的两个实数根,则 的值为 ( ) A.2 B.- 或 C. D.-,答案 B a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,a2+a16=-6,a2a16=2,a20,q 0, =a9= = .故选B.,6.(2017福建4月模拟,6)已知递增的等比数列an的公比为q,其前n项和Sn1 C.a10,00,q1,答案 A Snan,且|an|an+1|, 则-an-an+10,则q= (0,1), a10,0q1.故选A.,方法总结 an是等比数列,公比为q(q1),熟记下列结论能快速解题: 当q1,a10或01,a10时,数列an为递减数列.,7.(2019广东东莞第一次统考,8)已知an是等差数列,bn是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3 +a5,b5=a4+2a6,则a2 018+b9= ( ) A.2 274 B.2 074 C.2 226 D.2 026,答案 A 设等差数列an的公差为d,正项等比数列bn的公比为q,q0,b1=1,b3=b2+2,b4=a3+ a5,b5=a4+2a6,q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,解得q=2,a1=d=1.则a2 018+b9=1+2 017+28=2 274.故选 A.,考点二 等比数列的前n项和 1.(2019湘赣十四校第二次联考,4)中国古代著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十 八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相 还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天 的一半,走了6天后到达目的地,请问最后一天走了 ( ) A.6里 B.12里 C.24里 D.96里,答案 A 由题意可得,每天行走的路程构成等比数列,记作数列an, 设等比数列an的首项为a1,公比为q,则q= ,依题意有 =378,解得a1=192,则a6=192 =6,最后一天走了6里,故选A.,2.(2018山西太原模拟考试(二),4)已知公比q1的等比数列an的前n项和为Sn,a1=1,S3=3a3,则S5 = ( ) A.1 B.5 C. D.,答案 D 由题意得 =3a1q2,解得q=- 或q=1(舍),所以S5= = = ,选D.,3.(2017广东深圳一模,4)已知等比数列an的前n项和Sn=a3n-1+b,则 = ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3,答案 A 等比数列an的前n项和Sn=a3n-1+b, a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a, a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,等比数列an中, =a1a3, (2a)2=(a+b)6a,解得 =-3.故选A.,4.(2019广东揭阳一模,6)已知数列an满足(n+1)an=nan+1(nN*),a2=2,等比数列bn满足b1=a1,b2 =a2,则bn的前6项和为 ( ) A.-64 B.63 C.64 D.126,答案 B 因为(n+1)an=nan+1,所以2a1=a2=2,a1=1,因此等比数列bn的公比q= =2,所以bn的 前6项和为 =63,选B.,5.(2019福建模拟考试,7)已知等比数列an的前n项和为Sn,若S10=20,S30=140,则S40= ( ) A.280 B.300 C.320 D.340,答案 B 设等比数列an的公比为q,由题意易知q1, 所以 =20, =140, 两式相除得 =7,化简得q20+q10-6=0,解得q10=2, 所以S40=S30+S10q30=140+160=300,故选B.,一题多解 由题意知S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-20)2=20(140 -S20),解得S20=60, = =2,S40-S30=S1023,S40=S30+S1023=300.故选B.,6.(2018华大新高考联盟4月教学质量检测,14)设等比数列an的前n项和为Sn,若a3a11=2 ,且S4+ S12=S8,则= .,答案,解析 an是等比数列,a3a11=2 , =2 ,q4=2, S4+S12=S8, + = , 1-q4+1-q12=(1-q8), 将q4=2代入计算可得= .,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间:40分钟 分值:70分) 一、选择题(每题5分,共25分),1.(2019安徽蚌埠第二次教学质量检查,10)等差数列an的公差为d,若a1+1,a2+1,a4+1成以d为公 比的等比数列,则d= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 A 由题意知a1+1,a1+1+d,a1+1+3d成以d为公比的等比数列,故 =d, =d, 所以 = ,化简得a1+1=d,则d= = =2,故选A.,2.(2019河北沧州全国统一模拟,7)已知等比数列an的公比为2且a2,a3+2,a4成等差数列,若 =32,则n为 ( ) A.4 B.5 C.8 D.10,答案 A 因为等比数列an的公比为2且a2,a3+2,a4成等差数列, 所以2(a3+2)=a2+a4,即2(4a1+2)=2a1+8a1,解得a1=2, 所以an=2n,所以a1a2an=21+2+n= , 又 =32,因此 =32,所以 =5,解得n=4.故选A.,3.(2019福建宁德期末质量检测,11)某市利用第十六届省运会的契机,鼓励全民健身,从2018年7 月起向全市投放A,B两种型号的健身器材.已知7月份投放A型健身器材300台,B型健身器材64 台,计划从8月起,A型健身器材每月的投放量均为a台,B型健身器材每月的投放量比上一月多5 0%,若12月底该市A,B两种健身器材投放总量不少于2 000台,则a的最小值为 ( ) A.243 B.172 C.122 D.74,答案 D 将每个月的投放量列表如下:,则有64(1.5+1.52+1.53+1.54+1.55)+64+300+5a2 000,解得a74,所以a的最小值为74,故选D.,4.(2018河南六市第一次联考(一模),10)若正项递增等比数列an满足1+(a2-a4)+(a3-a5)=0( R),则a6+a7的最小值为 ( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4,答案 D an是正项递增的等比数列, a10,q1, 由1+(a2-a4)+(a3-a5)=0, 得1+(a2-a4)+q(a2-a4)=0, 1+q= , a6+a7=a6(1+q)= = = =(q2-1)+2+ 2 +2=4(q2-10), 当且仅当q= 时取等号,a6+a7的最小值为4.故选D.,5.(2017河南洛阳期中,11)已知Sn为等比数列an的前n项和,S8=2,S24=14,则S2 016= ( ) A.2252-2 B.2253-2 C.21 008-2 D.22 016-2,答案 B 设an的公比为q,由题意知q1. Sn为等比数列an的前n项和,S8=2,S24=14, =2, =14, 由得到q8=2或q8=-3(舍去), =2,则a1=2(q-1), S2 016= = =2253-2.故选B.,二、填空题(每题5分,共10分) 6.(2019河南洛阳第二次统考,14)等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a8a13=64,则log2a1+log2a2 +log2a20= .,答案 50,解析 由等比数列的性质可得a10a11=a8a13, 所以a10a11+a8a13=2a10a11=64, 所以a10a11=32, 所以log2a1+log2a2+log2a20=log2(a1a2a3a20) =log2(a1a20)(a2a19)(a3a18)(a10a11)=log2(a10a11)10 =log23210=50.,7.(2018广东佛山教学质量检测(二),16)数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=3- ,nN*,则a1+a2+ +an= .,答案 1-,解析 因为a1+3a2+(2n-1)an=3- , 所以a1+3a2+(2n-3)an-1=3- (n2), 两式相减得(2n-1)an= (n2),an= (n2), 当n=1时,a1=3- = 适合上式,an= (nN*), 因此a1+a2+an= =1- .,方法总结 给出Sn与an的递推关系求an的常用思路:一是利用an=Sn-Sn-