（课标专用）2020届高考数学一轮复习第八章立体几何8.1空间几何体的三视图、表面积和体积课件.pptx

第八章 立体几何 8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积,高考文数 (课标专用),考点一 空间几何体的三视图,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2018课标全国,9,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在 正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到 N的路径中,最短路径的长度为 ( ) A.2 B.2 C.3 D.2,答案 B 本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径问题. 由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示,设ME与FN为圆柱的两条母线, 沿FN将圆柱侧面展开,如图2所示,MN即为从M到N的最短路径,由题知,ME=2,EN=4,MN= =2 .故选B. 图1 图2,2.(2018课标全国,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹 进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构 件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( ),答案 A 本题考查空间几何体的三视图. 两木构件咬合成长方体时,榫头完全进入卯眼,易知咬合时带卯眼的木构件的俯视图为A.故选A.,答案 26; -1,解题关键 将半正多面体顶点所在的正方体画出是关键,再选取合适的截面即可求解. 思路分析 该题属多面体切接问题,选取多个顶点所在的截面ABCDEFGH,并确定其为正八边 形,根据边之间的关系列出方程求解即可.,考点二 空间几何体的表面积 1.(2018课标全国,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该 圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 ( ) A.12 B.12 C.8 D.10,答案 B 本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面. 设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2 ,圆柱的表面积S=2r2+2rh=4+8=12. 故选B.,解题关键 正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.,2.(2016课标全国,7,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相 垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是 ( ) A.17 B.18 C.20 D.28,答案 A 由三视图知该几何体为球去掉了 所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则 R3 = ,故R=2,从而它的表面积S= 4R2+ R2=17.故选A.,解后反思 球的表面积公式和体积公式要记准、记牢;在计算表面积时“不重不漏”是关键所在.,3.(2016课标全国,7,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表 面积为 ( ) A.20 B.24 C.28 D.32,答案 C 由三视图知圆锥的高为2 ,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积 为 44=8.圆柱的底面积为4,圆柱的侧面积为44=16,从而该几何体的表面积为8+16 +4=28,故选C.,4.(2016课标全国,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三 视图,则该多面体的表面积为 ( ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81,答案 B 由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧棱长为3 的斜四棱 柱.其表面积S=232+233 +236=54+18 .故选B.,易错警示 学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积而致错.,5.(2015课标,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何 体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8,答案 B 由已知条件可知,该几何体由圆柱的一半和半球组成,其表面积为2r2+r2+4r2+2r2 =5r2+4r2.由5r2+4r2=16+20得r=2.故选B.,6.(2017课标全国,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径. 若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为 .,答案 36,解析 解法一:由题意作出图形,如图. 设球O的半径为R,由题意知SBBC,SAAC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC= R.连接 OA,OB, 则OASC,OBSC,因为平面SCA平面SCB,平面SCA平面SCB=SC,所以OA平面SCB,所以OAOB,则AB= R,所以ABC是边长为 R的等边三角形,设ABC的中心为O1,连接OO1,CO1. 则OO1平面ABC,CO1= R= R, 则OO1= = R,则VS-ABC=2VO-ABC=2 ( R)2 R= R3=9, 所以R=3. 所以球O的表面积S=4R2=36. 解法二:由题意得AOSC,BOSC, 所以AOB是平面SCA与平面SCB所成二面角的平面角, 又因为AOBO=O,所以SC平面ABO. 因为平面SCA平面SCB,所以AOB=90, 所以VS-ABC=VS-ABO+VC-ABO= SC=9.由于OA=OB= SC,从而球O的半径R=OA=OB=3,故 球O的表面积S=4R2=36.,7.(2017课标全国,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的 表面积为 .,答案 14,解析 由题意知长方体的体对角线为球O的直径,设球O的半径为R,则(2R)2=32+22+12=14,得R2= ,所以球O的表面积为4R2=14.,疑难突破 明确长方体的体对角线为球O的直径是求解的关键.,易错警示 易因用错球的表面积公式而致错.,考点三 空间几何体的体积 1.(2018课标全国,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角 为30,则该长方体的体积为 ( ) A.8 B.6 C.8 D.8,答案 C 本题主要考查长方体的体积及直线与平面所成的角. 如图,由长方体的性质可得AB平面BCC1B1, BC1为直线AC1在平面BCC1B1内的射影, AC1B为直线AC1与平面BCC1B1所成的角, 即AC1B=30, 在RtABC1中,AB=2,AC1B=30,BC1=2 , 在RtBCC1中,CC1= = =2 , 该长方体的体积V=222 =8 ,故选C.,易错警示 不能准确理解线面角的定义,无法找出直线与平面所成的角,从而导致失分.,方法总结 用定义法求线面角的步骤: (1)找出斜线上的某一点在平面内的射影; (2)连接该射影与直线和平面的交点即可得出线面角; (3)构建直角三角形,求解得出结论.,2.(2018课标全国,12,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角 形且其面积为9 ,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ( ) A.12 B.18 C.24 D.54,答案 B 本题考查空间几何体的体积及与球有关的切接问题. 设等边ABC的边长为a, 则有SABC= aasin 60=9 ,解得a=6. 设ABC外接圆的半径为r,则2r= ,解得r=2 , 则球心到平面ABC的距离为 =2, 所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为 9 6=18 ,故选B.,方法总结 解决与球有关的切、接问题的策略: (1)“接”的处理: 构造正(长)方体,转化为正(长)方体的外接球问题. 空间问题平面化,把平面问题转化到直角三角形中,作出适当截面(过球心,接点等). 利用球心与截面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线. (2)“切”的处理: 体积分割法求内切球半径. 作出合适的截面(过球心,切点等),在平面上求解. 多球相切问题,连接各球球心,转化为处理多面体问题.,3.(2017课标全国,6,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三 视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 ( ) A.90 B.63 C.42 D.36,答案 B 本题考查三视图和空间几何体的体积. 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6,高为14的圆柱,所以该几何体的 体积V= 3214=63.故选B.,方法总结 当所给的几何体不规则时,可利用割补法求其体积.,4.(2015课标,6,5分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米 (如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆 放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 ( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛,答案 B 设圆锥底面的半径为R尺,由 2R=8得R= ,从而米堆的体积V= R25= (立方尺),因此堆放的米约有 22(斛).故选B.,5.(2015课标,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部 分体积与剩余部分体积的比值为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 如图,由已知条件可知,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截去三棱锥A-A1B1D1后剩余的部 分即为题中三视图对应的几何体,设该正方体的棱长为a,则截去部分的体积为 a3,剩余部分的 体积为a3- a3= a3.它们的体积之比为 .故选D.,6.(2017课标全国,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球 面上,则该圆柱的体积为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 设圆柱底面的半径为r, 由题意可得12+(2r)2=22, 解得r= . 圆柱的体积V=r21= ,故选B.,7.(2019课标全国,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长 方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分 别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损 耗,制作该模型所需原料的质量为 g.,答案 118.8,解析 本题考查长方体、四棱锥的体积公式;考查学生的空间想象能力和运算能力,以及应用 意识与数形结合的思想;考查的核心素养是直观想象和数学运算. 依题意,知该模型是长方体中挖去一个四棱锥,故其体积 V=V长方体-V四棱锥=664- 463=132(cm3). 又该模型的原料密度为0.9 g/cm3, 故制作该模型所需原料的质量为0.9132=118.8(g).,易错警示 计算被挖去的四棱锥底面面积时,容易误认为四边形HEFG为正方形,由勾股定理 求得HE= = ,错认为底面面积为13.,8.(2018课标全国,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30. 若SAB的面积为8,则该圆锥的体积为 .,答案 8,解析 本题主要考查圆锥的性质和体积,直线与平面所成的角. 设圆锥底面半径为r,母线长为l,高为h, 因为母线SA与底面所成的角为30, 所以l= r.由SAB的面积为8得 l2=8, 即 r2=8, 所以r2=12,h= r=2. 所以圆锥的体积为 r2h= 122=8.,疑难突破 由母线与底面所成的角找到圆锥的底面半径r与母线长l、高h的等量关系是解决 本题的突破口.,9.(2018课标全国,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕 将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA. (1)证明:平面ACD平面ABC; (2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.,解析 (1)证明:由已知可得,BAC=90, 则BAAC. 又BAAD,ACAD=A, 所以AB平面ACD. 又AB平面ABC, 所以平面ACD平面ABC. (2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3 . 又BP=DQ= DA,所以BP=2 . 作QEAC,垂足为E,则QE DC,所以QE=1. 由已知及(1)可得DC平面ABC, 所以QE平面ABC, 因此,三棱锥Q-ABP的体积为 VQ-ABP= QESABP= 1 32 sin 45=1.,规律总结 证明空间线面位置关系的一般步骤: (1)审清题意:分析条件,挖掘题目中平行与垂直的关系; (2)明确方向:确定问题的方向,选择证明平行或垂直的方法,必要时添加辅助线; (3)给出证明:利用平行、垂直关系的判定或性质给出问题的证明; (4)反思回顾:查看关键点、易漏点,检查使用定理时定理成立的条件是否遗漏,符号表达是否 准确.,解题关键 (1)利用平行关系将ACM=90转化为BAC=90是求证第(1)问的关键; (2)利用翻折的性质将ACM=90转化为ACD=90,进而利用面面垂直的性质定理及线面垂 直的性质定理得出三棱锥Q-ABP的高是求解第(2)问的关键.,10.(2017课标全国,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90. (1)证明:直线BC平面PAD; (2)若PCD的面积为2 ,求四棱锥P-ABCD的体积.,解析 本题考查线面平行的判定和体积的计算. (1)证明:在平面ABCD内, 因为BAD=ABC=90, 所以BCAD. 又BC平面PAD,AD平面PAD, 故BC平面PAD. (2)取AD的中点M,连接PM,CM. 由AB=BC= AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形,则CMAD. 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,则,PM底面ABCD. 因为CM底面ABCD, 所以PMCM. 设BC=x,则CM=x,CD= x,PM= x,PC=PD=2x. 取CD的中点N,连接PN, 则PNCD,所以PN= x. 因为PCD的面积为2 , 所以 x x=2 , 解得x=-2(舍去)或x=2. 于是AB=BC=2,AD=4,PM=2 . 所以四棱锥P-ABCD的体积V= 2 =4 .,11.(2016课标全国,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD 上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置. (1)证明:ACHD; (2)若AB=5,AC=6,AE= ,OD=2 ,求五棱锥D-ABCFE的体积.,方法点拨 解决翻折问题时,要注意翻折过程中哪些量发生了变化,哪些量没有发生变化,必须 弄清翻折前后线段之间的关系.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 空间几何体的三视图,1.(2019浙江,4,4分)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异” 称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体 的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是 ( ) A.158 B.162 C.182 D.324,解题关键 正确利用正视图与俯视图“长对正”的原理确定AG,BC的长.,2.(2018北京,6,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 本题主要考查空间几何体的三视图和直观图,空间线面位置关系. 由三视图得几何体的直观图,如图. 其中SD底面ABCD,ABAD,ABCD,SD=AD=CD=2,AB=1,故SDC,SDA为直角三角形. ABAD,ABSD,ADSD=D,AB平面SDA,ABSA,故SAB是直角三角形,从而SB= =3,易知BC= = ,SC= =2 ,则SB2BC2+SC2,故SBC不是直 角三角形,故选C.,3.(2015北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为 ( ) A.1 B. C. D.2,答案 C 由四棱锥的三视图可知其直观图如图所示, 其中PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,由此可知PC是最长的棱,连接AC,则PC= = = ,故选C.,考点二 空间几何体的表面积 1.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ) A.3 B.4 C.2+4 D.3+4,答案 D 由三视图可知该几何体为半圆柱,其底面半径为1,高为2,从而该几何体的表面积为 2 12+2+4=3+4.故选D.,2.(2016浙江,9,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2, 体积是 cm3.,解析 几何体的直观图如图: S表=422+424+224=80(cm2), V=23+442=40(cm3).,评析 本题考查了三视图及长方体和正方体的表面积与体积,考查了运算能力、推理能力和 空间想象能力,由三视图确定几何体的直观图是解题关键.,答案 80;40,考点三 空间几何体的体积 1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,答案 C 本小题考查空间几何体的三视图和直观图以及几何体的体积公式. 由三视图可知该几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底边的长分别为1 cm,2 cm,高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V= 22=6 cm3.,2.(2017浙江,3,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 ( ) A. +1 B. +3 C. +1 D. +3,答案 A 本题考查三视图和直观图,三棱锥和圆锥的体积计算. 由三视图可知该几何体是由底面半径为1,高为3的半个圆锥和一个三棱锥组成的,如图,三棱锥 的高为3,底面ABC中,AB=2,OC=1,ABOC.故其体积V= 123+ 213= cm3.故选A.,3.(2017北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( ) A.60 B.30 C.20 D.10,答案 D 本题考查三视图的相关知识,三棱锥体积的计算,考查学生的空间想象能力. 根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示, VP-ABC= 354=10.故选D.,4.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积 为 ( ) A. + B. + C. + D.1+ ,答案 C 由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径 等于正四棱锥底面正方形的对角线的长,所以球的直径2R= ,即R= , 所以半球的体积为 R3= ,又正四棱锥的体积为 121= ,所以该几何体的体积为 + .故选C.,易错警示 不能从俯视图中正确地得到球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径R= .,5.(2019北京,12,5分)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果 网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为 .,答案 40,解析 本题考查了空间几何体的直观图和三视图,考查了空间几何体的体积,考查了空间想象 能力和数学运算能力.考查的核心素养为直观想象与数学运算. 由三视图可知,该几何体的直观图如图所示.它是由棱长为4的正方体去掉一个底面为梯形、 高为4的直四棱柱后得到的几何体,其体积V=43- (2+4)24=40.,解题关键 由三视图正确得到直观图是关键.该几何体也可看作由一个长方体与一个三棱柱 组合而成.,6.(2019天津,12,5分)已知四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为 .若圆柱的一个底 面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体 积为 .,答案,7.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD 的体积是 .,答案 10,解析 本题考查长方体、三棱锥的体积公式,考查学生的空间想象能力、运算求解能力,考查 的核心素养是直观想象、数学运算. 因为长方体的体积是120, 所以2SBCDCC1=120, 则SBCDCC1=60. 所以VE-BCD= SBCDEC= SBCD CC1= 60=10.,评析 本题通过长方体考查体积之间的关系,通过体积公式,找出底面面积与高的关系,不需要 求出具体的底面面积和高是多少.,8.(2018天津,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为 .,答案,解析 本题主要考查正方体的性质和四棱锥的体积. 四棱锥的底面BB1D1D为矩形,其面积为1 = , 又点A1到底面BB1D1D的距离, 即四棱锥A1-BB1D1D的高为 A1C1= , 所以四棱锥A1-BB1D1D的体积为 = .,9.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .,答案,解析 本题考查组合体体积的计算. 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为 ,高为1,其体积 为 ( )21= ,多面体的体积为 .,10.(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何 体的体积为 .,答案 2+,解析 本题考查空间几何体的三视图及空间几何体的体积. 由几何体的三视图可画出该几何体的直观图如下: 该几何体的体积V=211+ 1=2+ .,11.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切. 记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则 的值是 .,答案,解析 本题考查空间几何体的体积. 设圆柱内切球的半径为R, 则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R, = = .,12.(2016四川,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .,答案,解析 在长方体(长为2 ,宽、高均为1)中作出此三棱锥,如图所示, 则VP-ABC= 2 11= .,13.(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60. (1)求三棱锥P-ABC的体积; (2)证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求 的值.,解析 (1)由题设AB=1,AC=2,BAC=60, 可得SABC= ABACsin 60= . 由PA平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1, 所以三棱锥P-ABC的体积 V= SABCPA= . (2)证明:在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MNPA交PC于点M, 连接BM.由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,故AC平面MBN.又BM 平面MBN,所以ACBM. 在RtBAN中,AN=ABcosBAC= ,从而NC=AC-AN= .由MNPA,得 = = .,评析 本题考查线面垂直的判定与性质及三棱锥体积的计算.,C组 教师专用题组 考点一 空间几何体的三视图 (2016天津,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图 与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为 ( ),答案 B 由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示. 该几何体的侧视图为选项B.故选B.,评析 本题主要考查空间几何体的三视图与直观图,考查学生的空间想象能力和识图、画图 能力.,考点二 空间几何体的表面积 1.(2016课标全国,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( ) A.12 B. C.8 D.4,答案 A 设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2. 设球的半径为R,则2R= a,即R= ,所以球的表面积S=4R2=12.故选A.,方法点拨 对于正方体与长方体,其体对角线为其外接球的直径,即外接球的半径等于体对角 线的一半.,2.(2015课标,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱 锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 ( ) A.36 B.64 C.144 D.256,答案 C AOB的面积为定值,当OC垂直于平面AOB时,三棱锥O-ABC的体积取得最大值.由 R3=36得R=6.从而球O的表面积S=4R2=144.故选C.,思路分析 VO-ABC=VC-AOB.当OC垂直于平面AOB时,三棱锥C-AOB,即三棱锥O-ABC的体积最大, 此时可求出球O的半径,从而求出球O的表面积.,3.(2015安徽,9,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是 ( ) A.1+ B.1+2 C.2+ D.2,答案 C 如图,该四面体有两个面为等腰直角三角形,另外两个面为正三角形.故该四面体的 表面积S=2 +2 =2+ .,4.(2015福建,9,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于 ( ) A.8+2 B.11+2 C.14+2 D.15,答案 B 由三视图可知该几何体是直四棱柱.底面梯形的周长为4+ ,侧面积为8+2 ,上、 下底面面积均为 .故表面积为11+2 .故选B.,考点三 空间几何体的体积 1.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ( ) A.8 cm3 B.12 cm3 C. cm3 D. cm3,答案 C 由三视图知,该几何体是由棱长为2 cm的正方体和底面边长为2 cm,高为2 cm的正 四棱锥组合而成的几何体.所以该几何体的体积V=23+ 222= cm3,故选C.,2.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能 大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为 材料利用率= ( ) A. B. C. D.,答案 A 由三视图可知,原工件是一个底面半径为1,母线长为3的圆锥,则圆锥的高为2 ,新 工件是该圆锥的内接正方体, 如图,此截面中的矩形为正方体的对角面, 设正方体的棱长为x, 则 = , 解得x= . 所以正方体的体积V1= = , 又圆锥的体积V2= 122 = , 所以原工件材料的利用率为 = ,故选A.,3.(2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. +2 B. C. D.,答案 B 由三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为2的圆柱和底面半径为1,高为1的 半圆锥拼成的组合体.所以该几何体的体积为 121+122= ,故选B.,4.(2014课标,7,5分)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 ,D为BC中点,则三棱锥 A-B1DC1的体积为 ( ) A.3 B. C.1 D.,答案 C 在正三棱柱ABC-A1B1C1中, ADBC,ADBB1,BB1BC=B, AD平面B1DC1, = AD = 2 =1,故选C.,5.(2015山东,9,5分)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋 转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( ) A. B. C.2 D.4 ,答案 B 依题意知,该几何体是以 为底面半径, 为高的两个同底圆锥组成的组合体,则 其体积为 ( )2 2= ,故选B.,6.(2016北京,11,5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为 .,答案,解析 由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,将该几何体还原到长方体中,如 图所示,该几何体为四棱柱ABCD-ABCD. 故该四棱柱的体积V=Sh= (1+2)11= .,7.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.,答案 ,解析 由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱 的底面半径均为1 m,两个圆锥的高均为1 m,圆柱的高为2 m.因此该几何体的体积为V=2 121+122= (m3).,8.(2015四川,14,5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正视图和侧视图都是边长为1的正 方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三 棱锥P-A1MN的体积是 .,答案,解析 三棱柱ABC-A1B1C1的直观图如图,由题意知CC1=AB=AC=1,ABAC. N,P分别为BC,B1C1的中点,NPCC1, CC1AA1,NPAA1, 又AA1平面MNP,NP平面MNP,AA1平面MNP. A1到平面MNP的距离等于A到平面MNP的距离, 由题意知,三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱, AA1平面ABC,AM平面ABC,AA1AM,AMNP. M,N分别为AB,BC的中点, MNAC. ACAB,AMMN. MNNP=N, AM平面MNP, A1到平面MNP的距离即为线段AM的长. = = AMSMNP = 1 = .,9.(2015课标,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1, D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.,解析 (1)交线围成的正方形EHGF如图: (2)作EMAB,垂足为M, 则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因为EHGF为正方形, 所以EH=EF=BC=10. 于是MH= =6,AH=10,HB=6. 因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为 .,思路分析 (1)由于AE= = 10,知H不在AA1或BB1上,分别在AB,CD上取点 H,G,使AH=DG=10,连接EH、FG,则四边形EFGH即为所求.(2)作EMAB于M点,易得MH= =6,则AH=10.所求两个几何体的体积之比即为两等高梯形的面积之比.,考点一 空间几何体的三视图与直观图,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2018福建福州模拟,3)如图为一圆柱切削后的几何体及其正视图,则相应的侧视图可以是 ( ),答案 B 圆柱被不平行于底面的平面所截,得到的截面为椭圆,结合正视图,可知侧视图最高 点在中间,故选B.,2.(2019河北衡水中学联考,3)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下 问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面 为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈、长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知该 楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示,则该楔体的侧视图的周长为 ( ) A.3丈 B.6丈 C.8丈 D.(5+ )丈,答案 C 由题意可知该楔体的侧视图是等腰三角形,它的底边长为3丈,相应高为2丈, 所以腰长为 = (丈), 所以该楔体侧视图的周长为3+2 =8(丈).故选C.,3.(2019安徽宣城二模,8)一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最大的面 的面积是 ( ) A.2 B.2 C.2 D.4,答案 C 如图所示,由三视图可知该几何体是四棱锥P-ABCD截去三棱锥P-ABD后得到的三 棱锥P-BCD.其中四棱锥中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,且PA=AB=2,易知面积最大面 为面PBD,面积为 (2 )2=2 .故选C.,名师点睛 可利用正方体分析出几何体的直观图,进而可得答案.,4.(2017广东广雅中学、江西南昌二中联考,5)某四面体的三视图如图所示,在该四面体的四个 面中,所有直角三角形的面积的和是 ( ) A.2 B.4 C.2+ D.4+2,5.(2019河南非凡联盟4月联考,9)某组合体的正视图和侧视图如图(1)所示,它的俯视图的直观 图是图(2)中粗线所表示的平面图形,其中四边形OABC为平行四边形,D为CB的中点,则图 (2)中平行四边形OABC的面积为 ( ) A.12 B.3 C.6 D.6,答案 B 由题图易知,该几何体为一个四棱锥(高为2 ,底面是长为4,宽为3的矩形)与一个 半圆柱(底面圆半径为2,高为3)的组合体,所以其俯视图的外侧边沿线组成一个长为4,宽为3的 矩形,其面积为12,由斜二测知识可知四边形OABC的面积为4 sin 45=3 .,一题多解 由斜二测画法可先还原出俯视图的外轮廓是长为4,宽为3的矩形,其面积为43= 12,结合直观图面积是原图形面积的 ,即可得结果.,6.(2019全国大联考,8)已知半球O的半径r=2,正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半球O,其中底面ABC 在半球O的大圆面内,点A1,B1,C1在半球O的球面上.若正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为6 ,则 其侧棱的长是 ( ) A. B.2 C. D.,答案 D 依题意O是正三角形ABC的中心,设AB=a,分析计算易得0a2 ,AO= a,在RtAOA1中,AO=r=2,则AA1 = = ,所以正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积S=3aAA1=3a =3 =6 ,整理得a4-12a2+36=0,解得a2=6,即a= ,此时侧棱AA1= .故选D.,解题关键 有关球的简单组合体,关键是根据球的性质确定直角三角形,建立等量关系求出关 键量,问题即可解决.,考点二 空间几何体的表面积 1.(2018江西南昌二模,5)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则 该四棱锥的侧面积是 ( ) A.4 B.4 C.4( +1) D.8,答案 B 因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形, 所以该四棱锥为正四棱锥,如图, 由题意知底面正方形的边长为2,正四棱锥的高为2, 取正方形的中心O,AD的中点E,连接PO,OE,PE,可知PO为正四棱锥的高,PEO为直角三角形, 则正四棱锥的斜高PE= = . 所以该四棱锥的侧面积S=4 2 =4 .故选B.,2.(2019河南郑州一模,7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三视 图,则该几何体的表面积为 ( ) A.(4+4 )+4 B.(4+4 )+4+4 C.12+12 D.12+4+4,答案 A 由题意可知,几何体下部是圆锥,上部是四棱柱,如图,可得:几何体的表面积为4+ 4 +4 =(4+4 )+4 .故选A.,解题关键 判断出几何体的形状,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.,3.(2019河南安阳诊断卷,4)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ) A.16+2 B.20+2 C.14+ D.20+,答案 D 由三视图可知,该几何体是一个正方体挖去二分之一的圆柱后所得到的,所以该几 何体的表面积S=225-12+12=20+.故选D.,方法总结 根据三视图求几何体的表面积,需确定几何体的形状,根据三视图之间的关系“长 对正、高平齐、宽相等”求出底面积和高;根据三视图求表面积,需将三视图还原为直观图,求 出各个面的面积.,4.(2019湖南岳阳一模,6)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ) A.8+16 B.16+12 C.16+16 D.32+16,答案 D 由三视图得到该几何体是四棱锥P-ABCD(如图),其中PA平面ABCD, 底面四边形ABCD是正方形,且PA=AB=BC=CD=DA=4, SPAB=SPAD= 44=8,SPBC=SPCD= 4 =8 ,S正方形ABCD=42=16, 四棱锥P-ABCD的表面积为S=28+28 +16=32+16 .故选D.,思路分析 由三视图知该几何体是四棱锥,且一侧棱垂直于底面,底面是正方形,结合图中数据 求出四棱锥的表面积.,5.(2019安徽合肥二模,10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视 图,其中俯视图由两个半圆和两条线段组成,则该几何体的表面积为 ( ) A.17+12 B.12+12 C.20+12 D.16+12,答案 C 根据几何体的三视图知几何体是以3为半径的圆柱截取一个半径为1的半圆柱.故S =223+32-12+3+33=20+12. 故选C.,易错警示 把三视图转换为几何体,弄清各个面的结构,计算表面积时要做到不重不漏.,6.(2019广东广州综合测试一,10)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和俯视图中的四 边形是边长为2的正方形,则该几何体的表面积为 ( ) A. B.7 C. D.8,答案 B 由三视图可知该几何体是一个圆柱体和一个球体的四分之一的组合体,则所求的 几何体的表面积为 412+12+12+212=7.故选B.,考点三 空间几何体的体积 1.(2018福建漳州二模,7)如图,在边长为1的正方形组成的网格中,画出的是一个几何体的三视 图,则该几何体的体积是 ( ) A.9 B. C.18 D.27,答案 A 根据三视图可知该几何体是一个三棱锥,将三棱锥A-BCD还原到长方体中, 长方体的长、宽、高分别为6、3、3, 该几何体的体积V= 633=9,故选A.,2.(2019江西上饶二模,7)已知下图为某几何体的三视图,则其体积为 ( ) A.+ B.+ C.+ D.+,答案 C 几何体为半圆柱与四棱锥的组合体(如图),半圆柱的底面半径为1,高为2,四棱锥的 底面是边长为2的正方形,高为1,故几何体的体积V= 122+ 221=+ .故选C.,3.(2018山西太原二模,5)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由三视图知该几何体是由如图所示的四棱锥P-ABCD挖去一个半圆锥后形成的, 四棱锥的底面是边长为2的正方形,高是2, 圆锥的底面半径是1,高是2, 该几何体的体积V= 222- 122= ,故选B.,4.(2019江西萍乡一模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何体的三视图,则该 几何体的体积为 ( ) A. B. C. D.4,答案 A 由三视图可得,该几何体是如图所示的三棱柱ABB1-DC1C, 挖去一个三棱锥E-FCG所形成的,故所求几何体的体积为 (22)2- 1= . 故选A.,解题关键 本题考查的知识点是由三视图求体积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.,5.(2019河南郑州第二次质检,8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. D.2,答案 A 在长、宽、高分别为2, ,2的长方体中还原该几何体为如图所示的四棱锥B- ACDE,所以V四棱锥B-ACDE= (1+2)2 = ,故选A.,名师点睛 若三视图中有多个直角,可借助于直棱柱等特殊模型来还原几何体.,6.(2019安徽黄山一模,9)如图所示为某几何体的三视图,则几何体的体积为 ( ) A. B.1 C. D.3,答案 B 由三视图可得如图的四棱锥P-ABCD其中平面ABCD平面PCD, 由正视图和俯视图可知AD=1,CD=2,P到面ABCD的距离为 . 四棱锥P-ABCD的体积为V= S长方形ABCDh= 12 =1.故选B.,名师点睛 本题考查了由三视图求几何体的体积,解题的关键是由三视图判断几何体的形状 并画出其直观图,判断几何体的高及所对应的几何量,再代入体积公式计算.,7.(2019湖南永州三模,8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 几何体是半个圆柱挖去半个圆锥所形成的,如图: 由题意可知几何体的体积为: 122- 122= . 故选D.,思路分析 判断几何体的形状,利用三视图的数据求解几何体的体积即可.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间:25分钟 分值:45分) 选择题(每题5分,共45分),1.(2019江西九江一模,8)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则 该几何体的体积为 ( ) A. B. C.4 D.,答案 D 如图,依三视图知该几何体为正方体中的三棱锥D-ABC,连接DF,过A作AEDF, 则AE为底面DBC上的高,由三视图可得SDBC= 44 =8 ,AE= , 所以其体积V=