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上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 课后作业答案讲解课后作业答案讲解 Chapter 12Chapter 12弯曲的几个补充问题弯曲的几个补充问题弯曲的几个补充问题弯曲的几个补充问题 Chapter 13Chapter 13能量方法能量方法能量方法能量方法 Chapter 14Chapter 14超静定结构超静定结构超静定结构超静定结构 Chapter 15Chapter 15平面曲杆平面曲杆平面曲杆平面曲杆 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials Chapter 12Chapter 12 弯曲的几个补充问题弯曲的几个补充问题弯曲的几个补充问题弯曲的几个补充问题 1212- -3 3 1212- -1616 1212- -8 81212- -6 61212- -7 7 1212- -1717 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 10MPa= 2 h b = 12.3作用于图示悬臂梁上的载荷为：在水平平面内F12.3作用于图示悬臂梁上的载荷为：在水平平面内F1 1=800N， 在垂直平面内，F =800N， 在垂直平面内，F2 2=1650N。木材的许用应力。若矩 形截面，试确定其尺寸 =1650N。木材的许用应力。若矩 形截面，试确定其尺寸。 解: 危险点为1点和2点。危险截面在固定端处，危险截面上 的弯矩为 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 21 11.65,21.6 yz MFkN m MFkN m=ii 22 6 yy zz yz MM MM WWb hh b =+=+ 将带入上式得 3 33 3 6 1224 121.6510241.610 1010 180 yz MM h m mm + + = = 2 h b = 截面尺寸为b=90mm, h=180mm 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 12.6悬臂梁的横截面为直角三角形，h=150mm,b=75mm。自 有端的集中力F=6kN，且通过截面形心并平行于三角形的竖 直边。若不计杆件的扭转变形，试求固定端A，B，C应力。 设跨度 12.6悬臂梁的横截面为直角三角形，h=150mm,b=75mm。自 有端的集中力F=6kN，且通过截面形心并平行于三角形的竖 直边。若不计杆件的扭转变形，试求固定端A，B，C应力。 设跨度1.25lm= 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 解: 直角三角形截面的形心为截面对形心轴的惯性矩和 惯性积 0 2 3 23 1 123236 zz hbhbh IIa Abh = 同理 0 3 3 6 y h b I= 取斜边中点D建立y1、z2坐标系，如图12.6（b）所示。 轴y1、z2分别为CBD和BDA的对称轴，故， 则 0 01 1 22 66272 y zy z hhbhb h IIabA= 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 最大弯矩发生在悬臂梁根部截面上 z MFl= A点的坐标为 2 3 OA yh= 3 OA b z= 带入广义弯曲应力公式，得 () 2 223 22 3322 3 326 2 72336324 363672 246101.25 107() 751015010 OOO OOOO zyzO AyO A A yzyx MIzIy III b hbhb Flh Fl bh hbh bb h PaM Pa = = = 拉 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials B点的坐标为 y 3 OB h = 3 OB b z= 带入广义弯曲应力公式，得 () 223 22 3322 2 723363 363672 24 107() OOO OOOO xyzOCyOC B yzyz b hbhbh Fl MIzIy III hbh bb h FlMPa bh = = = 压 C点的坐标为 y 3 OC h = 2 3 OC b z= 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 带入广义弯曲应力公式，得 () 223 22 3322 z 2 723363 0 363672 O OO OOO O zy zOCyOC C yzy b hbhbh Fl MIzIy III hbh bb h = 因O点、C点应力为零，所以OC连线为中性轴。 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 12.7试确定图示薄壁截面的弯曲中心A的位置。12.7试确定图示薄壁截面的弯曲中心A的位置。 解: 如图所示。设A为弯心，截面的对称轴为z轴作用 在弯心上的剪力平行于y轴，因此在剪力作用下， 作用下杆件产生无扭转变形，腹板内的剪应力主要为 水平方向的剪应力，铅垂方向剪力大部分由两侧翼缘 承受。 y S F y S F 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 设翼缘和内剪应力的合力分别为 1 S F 2 S F 薄壁截面对z轴的惯性矩为 () 12 33 1 122 1 12 zzz IIIbb=+=+ 翼缘内的切应力 () 1 *1 11 1 22 0 y S Sz zz b F F S b II = 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials () () 11 1 3 111 11 11 00 212 bb SySy S zzA FbF b FdAdd II = 根据合力矩定理，合力对一点之矩，等于其分力对同一点之 矩的代数和，可以证明为和的合力。如 对B点取矩，水平方向剪应力的合力和剪力对B点之矩为零， 故有 y S F 1 S F 2 S F 1 3 11 12 y y S SS z F b F eF hh I = 从上上式求得弯曲中心位置 3 11 33 1122 bh e bb = + 注意：此时的e是到左侧的距离。从弯曲中心e的位置表达 式可知，弯曲中心位置仅与截面形状和尺寸有关，而与载 荷的大小无关。 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 12.8试确定图示箱型开口截面的弯曲中心A的位置。设截面 的壁厚为常量，且壁厚及开口切缝都很小。 12.8试确定图示箱型开口截面的弯曲中心A的位置。设截面 的壁厚为常量，且壁厚及开口切缝都很小。 解: 如图（b）所示。开口处B面与bb截面间的面积 对在z轴的面距为 () 2 * 0 222 z h S = 则bb截面上的切应力 2 1 2 s Z F I = BC段内切应力的合力为 3 / 2 s11 0 d 48 h s Z F h F I = 显然，BC段内的切应力分布和BC段的切应力分布相对于z 轴对称，方向相同，因此切应力的合力必大小相等，方向 相同，（题12.8图（c） 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials cc截面与B截面之间的面积（题12.8图（b）对z轴 的面矩为 2 * 0 82 z hh Sb =+ 则cc截面上的剪应力为 2 2 82 s Z Fhh I =+ CD段内的切应力的合力为 () 22 0 d2 8 b s Z F hb Fhb I =+ 显然，CD段内的切应力分布与CD段内的切应力分布相 同，切应力的合力与CD段内的切应力合力大小相等，方 向相反。假设DD段内切应力的合力为 s 3 F 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 题12.8图（b）中，五段内的切应力合力与作用于弯曲中 心A的合力静力等效，因此五段内的切应力合力对E点 之矩应等于对E点之矩，即 s F s F 12 2 sss F eF bFh=+ 箱形开口截面对z轴的惯性矩 () 2 332 2226 1212212 Z hhhh Ihhb = + + 将上式带入表达式中得 ()23 26 bhb e hb + = + 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 12.16求解图示静不定梁。设EI为常数。12.16求解图示静不定梁。设EI为常数。 解: 如图12.16图（b）所示。弯矩方程、挠曲线微分方 程及其积分为 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 2 24 AA ql MF xMx = ( ) 2 24 RAA ql EIM xF xMx = 3 2 1 264 RAA ql EIFxM xxC =+ 4 32 11 62244 RAA ql EIF xM xxCxD =+ 利用便捷条件确定积分常数 初始条件： 0 0 000 xx l x www = = = 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 平衡条件： 3 0 4 AB ql FF+= 35 0 48 AB qll MF l+= 联立方程 解方程得 () 2 0.382( )0.368( )0.101 ABA FqlFqlMql=逆时针 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 12.17将题6.13中的变截面梁分成6个相等间隔，用差分法 求解，并与题6.13的结果进行比较。 12.17将题6.13中的变截面梁分成6个相等间隔，用差分法 求解，并与题6.13的结果进行比较。 解: 将简支梁分成六个相等的间隔，在梁上确定0、1、2、 3、4、5、6点，由题12.17图可得 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 11 1 12 Fl ME IEI= 333 2 4 Fl ME IEI= 222 2 6 Fl ME IEI= 6 l h= 带入差分方程 2 1 210 2 6 Ml www EI = 2 2 321 2 62 Ml www EI = 2 3 432 2 62 Ml www EI = 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 补充条件： 01524 0wwwww= 补将上述方程联立得 ( )( )( ) 333 123 117 172896576 FlFlFl www EIEIEI = = = 题6.13的结果是 3 3 256 c Fl EI = 误差为 3 0.012150.01172 3.67% 0.01172 c c = 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials Chapter 13Chapter 13 能量方法能量方法能量方法能量方法 1313- -5 5（1 1）1313- -7 7（a a） 1313- -1717 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 13.5（1）在外伸梁的自由端作用力偶矩M，试用互等定 理，并借助于表6.1，求跨度中点C的挠度C。 13.5（1）在外伸梁的自由端作用力偶矩M，试用互等定 理，并借助于表6.1，求跨度中点C的挠度C。 解：第一组力在第二组力F的作用点产生的位移为 （如图a 所示 c 2 16 H Fl EI = 第二组力F在第一组力作用点B处产生的转角为(查 附录二)题13.5图（a1） 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 2 16 c Fl MFc EI = 根据互等定理第一组力在第二组力引起的位移上所作的 功，故有 由上式得 2 16 c M l c EI = 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 13.7（a）试用图示各粱的截面B的挠度和转角。EI为常数。13.7（a）试用图示各粱的截面B的挠度和转角。EI为常数。 解：如题图13.7（a）所示。因B点无集中应力作用，故欲 求该处挠度须在B点加一虚力F0=0，如图13.7（a）所示。 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials AC断任一截面上的弯矩方程为 () 1 2 11 1 2 RAAx MFxqxM= CB断任一截面上的弯矩方程为 () 2 02x MF x= 由平衡条件可计算出 2 00 1 2 RAA FFaqMF lqa=+=+ 应用卡氏定理，B截面的挠度 ()() ()( ) 2 2 22 011010 22 00 0 3 1111 2222 4 24 al a B Faq xqxFlqadxF xdx FEIEI qa la EI =+ = 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 欲求B截面的转角，因该处无集中力偶矩作用，所以须在此 处加一虚力偶矩Mc0 =0（题13.7图（a），利用平衡条件 计算出固定端的反力 2 0 1 , 2 RAAC FqaMMqa=+ 所以AC段任一截面上的弯矩方程 () 2 111 1 2 RAA M xF xqxM= CB段任一截面上的弯矩方程为 () 20c M xM= 应用卡氏定理，B截面的转角为 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 在上述应用卡氏定理求解B截面的挠度和转角时，应先对梁 的变形能求偏微商后，再积分。 () 2 222 110102 00 0 3 1111 2222 6 al a Bcc c qaxqxMqadxMdx MEIEI qa EI =+ = 顺时针 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 解: 解除题中的支架，用约束反力代之，利用平衡条 件，求出约束反力及各杆轴力，并标示在题图a1中；在B、 D两点加一对方向相反的沿BD连线方向的单位力。 13.17（a）图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。在载 荷F作用下，试求节点B和D间的相对位移。 13.17（a）图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。在载 荷F作用下，试求节点B和D间的相对位移。 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials ( )( ) ()() () 2122 / 2 2 .7 1 N N B D FxFx L E A E AFlFl F l E A = =+ = 靠 近 利用平衡条件，求出各杆的内力，并标示在题图a2中。用 单位载荷法，求出B、D两点间的相对位移 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials Chapter 14Chapter 14 超静定结构超静定结构超静定结构超静定结构 1414- -5 5（b b）1414- -4 4（a a）1414- -6 6 1414- -8 81414- -1515 1414- -2121 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 14.4（a）作图示刚架的弯矩图。设刚架各杆的EI皆相等。14.4（a）作图示刚架的弯矩图。设刚架各杆的EI皆相等。 解：如图14.4图（a）所示这是一个次超静定问题。解除 支座C，代之以反力X1，超静定基如图14.4（a1）所示， 正则方程为： 1111 0 F X+ = 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 用莫尔积分求（题图a2示） 11 1F AB段 2 2x MF= 2 Ma= BC段 1 0M = 11 Mx= 2 22 12 1112 00 aa MMM dxdxdx EIEIEI =+ 3 22 112 00 14 3 aa a xdxa dx EIEI =+= 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 1122 112 00 3 22 0 1 () 2 aa F a M MM MMM dxdxdx EIEIEI Fa Fx adx EIEI =+ = 将、式代入正则方程式求得 () () 3 1 1 3 11 / 23 4/ 38 F FaEI XF aEI = 求得后作弯矩图，如图14.4a3所示 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 左图为题 14.4弯矩图 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 14.5（b）图示杆系各杆的材料相同，横截面面积相等，试 求各杆的内力。建议用力法求解。 14.5（b）图示杆系各杆的材料相同，横截面面积相等，试 求各杆的内力。建议用力法求解。 解：题图所示的是一次超静定杆系，解除1杆，代之以反 力，静定基如图b1所示，正则方程为 1111 0 F X+ = 对各杆编号，用单位力法（图b2）计算、，在单位力和 11 1F 外载荷F作用下各杆的轴力，和列入题表（b）中。 t NF t N F 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 应用莫尔定理求 1 1 1F 2 11 2 11 12 4 coscos i N i i Fll EAEA =+ () 3 3 2 c o s1 2c o s l E A + = 3 1 1 3 1 1 / ( 4)6 7/ ( 2 4)7 F F aE I XF aE I = 1111 2cos2sincos2cos2sincos lFF EA = + 0= 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 将、式代入正则方程式，求得 1 1 11 0 F NCD FX = 对题14.5图（b1）应用平衡条件 0 x F = 0 y F = sinsin0 NADNBD FFF+= 1 coscos0 NADNBD FFX+= 求得 2sin NAD F F = （拉） 2sin NBD F F = （压） 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 14.6在图示平面桁架中，所有杆件的E皆相同，CA，AB，BF 三杆的横截面面积为30cm2，其余各杆的截面面积均为15 cm 14.6在图示平面桁架中，所有杆件的E皆相同，CA，AB，BF 三杆的横截面面积为30cm2，其余各杆的截面面积均为15 cm2 2。a=6m，F=130kN。试求AB杆的轴力。a=6m，F=130kN。试求AB杆的轴力。 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 解：题14.6图（a）所示的是一次超静定桁架，将2杆截断， 用反力X1代之，超静定如图（b）所示。正则方程为 1111 0 F X+ = 对桁架各杆编号，根据题图（c）（d），用单位力法计 算、，并将单位力和载荷作用下的各杆轴力和 列入题14.6表中。 11 1F t NF t N F 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 应用莫尔定理求 11 1F 2 11 1 12 22 21 1 2 i N i i Fla EAEA =+ + + () 827 2 a EA + = 1 22 24 24 1 3333 i i N Ni F i F F l Fa EAEA =+ () 322 Fa EA =+ 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 将上述、表达式代入正则方程，得 11 1F () () 1 1 11 32 2 64 2 8 278 27 2 F Fa EA XF a EA + + = = = + AB杆的轴力 () 3 1 64 264 2 130 10 8 278 27 82.7 NAB FXFN kN + = = + = AB杆轴力为负值，表明该杆受压 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 14.8刚架的A，B两点由拉杆AB相联接，拉杆的抗拉刚度为EA。 试作刚架的弯矩图。 14.8刚架的A，B两点由拉杆AB相联接，拉杆的抗拉刚度为EA。 试作刚架的弯矩图。 解：题14.8图（a）所示的是一次超静定刚架，将AB杆截 开，代之以反力X1,静定基如题14.8图（b）所示，正则 方程为 1111 0 F X+ = 根据题14.8图（c）（d）用图乘法计算和 11 1F 1 1 CCMN E IE A =+ 2 11212 2323 aaaFaaa EI =+ 3 5 6 Fa EI = 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 将上述、表达式代入正则方程中，求出 11 1F () 3 2 1 13 2 11 2 5 15 6 3 522 53 1 5 3 F Fa FFAa EI X I aaAaI Aa EIEA = + + + 求出X1后作弯矩图如题14.8（e）所示 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 14.15求解图示超静定刚架。14.15求解图示超静定刚架。 解：这是个三次超静定刚架，从对称面将刚架切开，取 其一半。如图14.15（b）所示。由于结构对称，载荷反 对称，所以在对称截面上的对称内力为零，即轴力和弯 矩均为零，只有未知剪力X1，正则方程为 1111 0 F X+ = 单位载荷作用下的弯矩图如题14.15图（c）所示，载荷 作用下的弯矩图如题14.15图（d）所示，应用图乘法计 算和 11 1F 1 1 CM E I = 111121 2223222 aa aaaa EI =+ 3 7 2 4 a E I = 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 3 1 1 22 4 F a F aa F a E IE I = = 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 将上述、表达式代入正则方程中，求出 11 1F 3 1 1 3 11 / (4)6 7/ (24)7 F F aE I XF aE I = 求出未知剪力X1后，由静力平衡方程可求固定端的约束反 力并作出刚架弯矩图 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 14.21（a）作图示粱的剪力图和弯矩图。设EI为常量。14.21（a）作图示粱的剪力图和弯矩图。设EI为常量。 解：支座编号如图A（a）所示，静定基为三个简支梁， 如图A（b）简支梁在外载 荷作用下的弯矩图如题A(c)所示 1 6lm= 2 10lm= 3 5lm= 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 22 1 2 366144 3 N mN m = ii 222222 aaa=+ 3 1102.51105 30 1060 10 2323 N m + =+ i 3 2125N m=i 2212222 ()bla=+ 3 11 30106010102125 22 N m =+ i 3 2375 N m=i 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 3 0= 1 3am= 对1、2跨用三弯矩方程 () 11 1111 1 66 2 nnnn nnnnnnn nn ab MlMllMl ll + + + += 1n =时() 0 2 02 .55 0MNmNm= ii () 3322 1222333 23 66 2 ba M lMllMl ll += 即 ()() 12 5 06261 01 0MM+ 61 4 4362 3 7 5 61 0 = 2n= 时 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials () 3322 1 22233 3 23 66 2 ba M lMllM l ll += 即 () 12 62 1 2 5 1 021 05 1 0 MM += 将、式化简得 12 3 21 01 5 5 7MM+= 12 31 2 7 .5MM+= 解得 1 3 9 .5MNm= i 2 29.3MN m= i 利用平衡条件计算出支座反力【图14.21A(b)】 ( ) 0 45.8 RAR FFN= 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 作剪力图和弯矩图，如图A（d）（e）所示。 ()( ) 111 22.2525.0247.3 NBRRR FFFFNN=+=+= ()( ) 222 14.985.8620.8 RCRRR FFFFNN=+=+= ( ) 3 5.86 RDR FFN= 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials Chapter 15Chapter 15 平面曲杆平面曲杆平面曲杆平面曲杆 1515- -3 31515- -9 91515- -1212 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 15.3作用于圆环外周上的均布压力p=4MPa，圆环的尺寸为 R1=4cm，R2=1cm，b=0.5cm。试求最大正应力。 15.3作用于圆环外周上的均布压力p=4MPa，圆环的尺寸为 R1=4cm，R2=1cm，b=0.5cm。试求最大正应力。 解：圆环中性层的曲率半径设为r，根据圆环的截面为 矩形求得 2 12 22 1 2 1.116410 ln RR yRrRm R R = 2 R= 圆环截面m-m截面的最内侧受到的正应力最大，所以 2 12 11 22 2.164 10 lnln RRh rm RR RR = 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 横截面对中性轴的静矩 73 1212 1 2 5.04 10 2 ln RRRR SA eAm R R + = ii 根据题意求得横截面m-m的弯矩 12 2 1 0 2sin40 2 RR MbpRdN m + = i 圆环左半部份作用力对m-m面的垂直方向的作用力 2 1 0 2sin1.6 N FbpRdkN = 以上两式中为作用力与虚线m-m的夹角 上海电力学院材料力学（II ）材料力学（II ）Mechanics of Materials 又() 42 12 1.5 10Ab RRm = 将上述各量带入应力计算公式 N FMy SA =+ 求得 () 2 3 max 74 401