合工大微电子专业固体物理习题,考试原题哦.pdf

例例5 5、 例例6 6、 例例2、 m B B d e De Tk k T E C Tk Tk B B v v 0 2 2 1 )( 解答：解答： 德拜模型主要特点是：把布拉菲晶格看作是各向同性的连续介质，即德拜模型主要特点是：把布拉菲晶格看作是各向同性的连续介质，即 把格波看作是弹性波，并且还假设纵的和横的弹性波的波速相等。波速为把格波看作是弹性波，并且还假设纵的和横的弹性波的波速相等。波速为v 的格波的色散关系是的格波的色散关系是 Page 13 例题例题 对二维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限。对二维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限。 vq 在二维空间内，格波的等频线是一个个圆周，在在二维空间内，格波的等频线是一个个圆周，在区间内波区间内波 速为速为v的格波的数目为的格波的数目为 dqqq 22 2 2 2v dS qdq S dz 式中式中S是二维晶格的总面积。由此可得波速为是二维晶格的总面积。由此可得波速为v的格波的模式密度的格波的模式密度 Page 14 2 2 v S d dz d )( 考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一支横波，所以格波总的模式密考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一支横波，所以格波总的模式密 度为度为 其中，其中，是纵波速度，是纵波速度，是横波速度，格波的振动能是横波速度，格波的振动能 q o dq 222 112 TLp vvv 2 p v S D )( L v T v d ev S dD e E m B m B Tk p Tk 0 2 2 0 11 )( Page 15 晶格的热容量晶格的热容量 m B B m B B Tk Tk B B p Tk Tk B BV e de Tk k v S dD e e Tk kC 0 2 2 2 0 2 2 1 1 )( 积分限由下式确定积分限由下式确定 m NdD 0 2)( N为原子个数，作变量变换：为原子个数，作变量变换： pm v S N 21 4 由此得到由此得到 Page 16 Tk x B 当温度较高时，当温度较高时， 晶格的热容量晶格的热容量 B m D T x x B p V k e dxxeTk v S C D , 0 2 3 2 2 1 xe x 1 B DB p B T x x B p B V Nk T Tk v Sk e dxxeTk v Sk C D 2 2 1 2 2 2 2 0 2 3 2 2 Page 17 当温度较低时，当温度较低时，积分积分 T D 22 3 2 1 3 1 0 3 0 2 3 36 36 1 6 1 p B V nn nx x x v Sk A ATC n dxxne e dxxe )( )( Page 32 222222 4 akakakakakak JCEE zzz yy x ss at ss coscoscoscoscoscos 例例6：用紧束缚方法处理面心立方晶格的用紧束缚方法处理面心立方晶格的s态电子，试导出其能带态电子，试导出其能带 并求出能带底的有效质量。并求出能带底的有效质量。 解：解：紧束缚模型能带表示式紧束缚模型能带表示式 n Rik ss at ss n eJCEE4 对面心立方晶格，取参考点的坐标为（对面心立方晶格，取参考点的坐标为（0，0，0），则），则12个最近邻格个最近邻格 点的坐标为点的坐标为 22 0 2 0 2 0 22 aaaaaa , Page 33 zyzyzyzy zxzxzxzx yxyxyxyx kk a ikk a ikk a ikk a i kk a ikk a ikk a ikk a i kk a ikk a ikk a ikk a i ss at ss eeee eeee eeeeJCEE 2222 2222 2222 将上述十二组坐标代入能带的表达式，得将上述十二组坐标代入能带的表达式，得 Page 34 222222 4 222 222 2 akakak akak ak JCE kk a kk a kk a kk a kk a kk a JCEE xzz yy x ss at s zyzyzx zxyxyxss at ss coscoscoscoscoscos coscoscos coscoscos 能带底即能量的最小值对应的能带底即能量的最小值对应的k为（为（0,0,0）,可得能带底处的有效质量为可得能带底处的有效质量为 2 2 2 2 2 2 0 2 2 222aJ m aJ m aJ k E m s zz s yy s k xx s xx i ; 其它交叉项的倒数全为零。其它交叉项的倒数全为零。 Page 35 )2cos 8 1 cos 8 7 ()( 2 2 kaka ma kE k a k 2 2 2 )0()( ma E a EE 例例7、已知一维晶体的电子能带可写成：已知一维晶体的电子能带可写成： a 式中式中 是晶格常数。试求是晶格常数。试求 （1）能带的宽度；）能带的宽度； （2）电子在波矢）电子在波矢 状态时的速度；状态时的速度； （3）能带底部和顶部电子的有效质量。）能带底部和顶部电子的有效质量。 解：（解：（1） 0 k0)0(E 处，电子能量为处，电子能量为 在能带顶在能带顶 2 2 2 )( maa E 处，电子能量为处，电子能量为 故能带宽度为故能带宽度为 0)kacos 2 1 1(kasinka2sin 4 1 sinka0 dk dE(k) 在能带底在能带底 Page 36 k )2sin 4 1 (sin 1 )(kaka madk dE kv kaka m dk Ed m 2cos 2 1 cos / 2 2 2* mm2 * 1 mm 3 2 * 2 （2）电子在波矢）电子在波矢的状态时的速度为的状态时的速度为 （3）电子的有效质量为）电子的有效质量为 于是有在能带底部电子的有效质量为于是有在能带底部电子的有效质量为 在能带顶部电子的有效质量为在能带顶部电子的有效质量为 Page 37 晶体内部原子实与电子的运动晶体内部原子实与电子的运动波动性与准粒子性波动性与准粒子性 外 层 电 子原 子 实备 注 波 自由电子（索未 菲模型） 布洛赫电子（能带 论） 格 波 为方便对波的描述, 引入 倒格子空间, 用k表征波 的状态. 平移对称性 无, 平底势阱中的 平面波 功函数 各向同性 布洛赫波（x与k的 周期性） 能带, 禁 带 空穴. 填充情况: 价带, 导 带. 各向异性, (能带重 迭) 简单格子: 声学支, max 或 min, 复式格子: 光学支, max 和 min 格波数. （max 1014, 红外） 各向异性 能带论是一种理论方法, 对系统作充分的近似后， 即把多体问题简化为单 电子问题. 可解方程 布里渊区边 界 无强烈布啦格反射强烈布啦格反射 倒格子空间引入所带来 的方便之一. Page 38 周期性边界 条件 状态分立 态密 度 状态分立 态密度状态分立 态密度 保证了有限晶体边界的 平移对称性 准粒子 自由粒子, 能量: E=p2/2m 动量: 费米子, 费米分布; Pauli原理 费米面, 费米 能, 费米能级, 费米速度 声子: 集体运动的元激 发. 能量: 动量: 群速: 玻色子: 玻色分 布. 某一振动模式的振动 能量: 考虑成准粒子后, 波 的运动状态及相互 作用问题可方便地 用准经典运动的图 象加以解决: 相互作 用可看成粒子间的 相互碰撞, 遵从动量 守恒, 能量守恒. pk Ekm 2 2 2/ pk k kE v )(1 m E k k * ( ) 1 2 2 2 1 能量: 晶体动量: 准经典速度: 有效质量: 外 层 电 子原 子 实备 注 波 自由电子（索未 菲模型） 布洛赫电子（能带 论） 格 波 为方便对波的描述, 引入 倒格子空间, 用k表征波 的状态. Page 39 解决 主要 问题 电子比热, 接 触电势, 热 电子发射. 金属, 半导 体, 绝缘体 的能带论解 释; 有效质 量的能带论 解释; 正电 荷载流子的 解释 晶格比热; 晶 格热导; 热膨 胀, 光散射, Page 40 例题：例题：. .金属自由电子论作了哪些假设金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果得到了哪些结果？ 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气如同理想气 体中的粒子一样是体中的粒子一样是“自由自由”的的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满 足泡利不相容原理足泡利不相容原理，因此因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米狄拉克统电子不服从经典统计而服从量子的费米狄拉克统 计计。根据这个理论根据这个理论，不仅导出了魏德曼佛兰兹定律不仅导出了魏德曼佛兰兹定律( (各种金属的热导率与电导 率之比大体上是相同的) )，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 Page 41 例题：例题：. .金属自由电子论在空间的等能面和费米面是何形状金属自由电子论在空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与费米能量与 哪些因素有关哪些因素有关？ 解：金属自由电子论在空间的等能面和费米面都是球形解：金属自由电子论在空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电费米能量与电 子密度和温度有关子密度和温度有关。 例题：例题：. .在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么为什么？ 解：因为在低温时解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理由于受泡利原理 的限制基本上不能参与热激发的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发而只有在费米面附近的电子才能被激发 从而对比热容有贡献从而对比热容有贡献。 第六章第六章 dk Na dk k 2 2 2 1 Page 51 例题例题 设有一个面积为设有一个面积为A的二维金属晶体，其中有的二维金属晶体，其中有N个自由电子，试求：个自由电子，试求： （1）电子的状态密度）电子的状态密度 （2）绝对零度下的费密能级及其随温度的变化关系。）绝对零度下的费密能级及其随温度的变化关系。 （3）电子平均能量。）电子平均能量。 （4）电子比热。）电子比热。 解解：（：（1）对于二维晶体，在周期性边界）对于二维晶体，在周期性边界 条件下，电子波矢条件下，电子波矢k可取的分立值为可取的分立值为 2, 1, 0),( , 2 ii i i nyxin L k 在在k空间中状态点的分布如图所示。每个状空间中状态点的分布如图所示。每个状 态点在态点在k空间所占据的面积为空间所占据的面积为 ALL yx 2 222 Page 52 所以每单位所以每单位k空间面积中应含有空间面积中应含有 2 2 A 个状态数，因此在个状态数，因此在dk面积元中应面积元中应 含有的状态数为含有的状态数为 dk A dZ 2 2 而自由电子的能量色散关系为而自由电子的能量色散关系为 m k E 2 22 在在k空间中等能曲线为一圆，如图。在空间中等能曲线为一圆，如图。在EEdE两个等能圓之间的圆环面两个等能圓之间的圆环面 积为积为 dE m kdkdk 2 22 所以在所以在EEdE能量间隔里的状态数能量间隔里的状态数 dE mA dE mA dZ 22 2 2 2 2 如果考虑到每个轨道状态可容纳自旋相反的两如果考虑到每个轨道状态可容纳自旋相反的两 个电子，则可得电子的状态密度个电子，则可得电子的状态密度 Page 53 2 2)( mA dE dZ E 由此可见，在二维晶体的情况下，状态密度是与能量无关的常数。由此可见，在二维晶体的情况下，状态密度是与能量无关的常数。 （2）自由电子数）自由电子数N可由正式算出可由正式算出 TkEEx e dx Tk mA e dEmA dEEf mA dEEfEN BF TkE x BTkEE BF BF , 11 )()()( 2 0 2 0 2 0 TkE B TkE x BTkE x x B BF BF BF eTk mA eTk mA e dxe Tk mA N 1ln )1ln( 1 2 22 Page 54 由此可得费密能由此可得费密能 1expln 2 A N Tmk TkE B BF 当当T0时，时， 所以绝对零度时的费密能级为所以绝对零度时的费密能级为 1exp 2 A N Tmk B A N mA N Tmk TkE B BF 22 0 （3）自由电子气的总能量）自由电子气的总能量 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 )( 2 )( 2 1 )()()( dE E f E mA dE E f EEfE mA dEEf mA dEEEf mA dEEfEEET Page 55 利用索末菲展开式利用索末菲展开式 ,)()( 6 )()( 2 2 0 FBF EgTkEgdE E f EgI 则得到则得到 2 )(EEg 并令并令 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 232 F B FBFT E Tk E mA TkE mA E N E E T 每个自由电子的平均能量为每个自由电子的平均能量为 222 0 2 0 2 2 0 2 0 F FF E E mNA NE mA E 在绝对零度下在绝对零度下 Page 56 （4）由）由 T E可求得二维金属的电子热容量可求得二维金属的电子热容量 Tk mA T E C B V T V 2 2 3 二维金属的单位面积比热二维金属的单位面积比热 )( , 3 , , 3 00 0 2 0 2 2 0 BFF F BV B V V kET T T k A N Cor Tk m A C C Page 57 原子为单价的。原子为单价的。 （1）画出第一、二布里渊区；）画出第一、二布里渊区； （2）计算自由电子费密半径；）计算自由电子费密半径； （3）画出费密面在第一、二布里渊区的形状。）画出费密面在第一、二布里渊区的形状。 00 42AbAa , 第五章第五章第第10题题P236 二维金属晶格，晶胞为简单矩形，晶格常数为二维金属晶格，晶胞为简单矩形，晶格常数为 解答：解答：倒格子原胞基矢为倒格子原胞基矢为 j b bi a b 22 21 , 选定一倒格点为原点，原点最近邻倒格矢有选定一倒格点为原点，原点最近邻倒格矢有4个，它们是个，它们是 Page 58 这这4个倒格矢的中垂线与第一布里渊区边界围成的区间即是第二布里渊区。个倒格矢的中垂线与第一布里渊区