高等数学上复旦大学出版习题六答案.pdf

高等数学上（复大版）习题六 99 习题六习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶(2)二阶(3)三阶(4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： ; 2 (1)2 ,5xyy yx = = 解：由得代入方程得 2 5yx=10yx = 22 102 510xxxx= 故是方程的解. ;(2)0,3sin4cosyyyxx + = 解：3cos4sin ;3sin4cosyxxyxx=+= + 代入方程得.3sin4cos3sin4cos0xxxx+= 故是方程的解. ; 2 (3)20,exyyyyx+= 解： 222 2 ee(2)e ,(24)e xxxx yxxxxyxx=+=+=+ 代入方程得.2e0 x 故不是方程的解. 12 121212 (4)()0,ee. xx yyyyCC +=+ 解： 1212 22 11221122 ee,ee xxxx yCCyCC =+=+ 代入方程得 121212 22 11221211221212 ee()(ee)(ee)0. xxxxxx CCCCCC += 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22 (1)(2 )2,;xy yxyxxyyC=+= 证：方程两端对x求导： 22 xxyyC+= 220xyxyyy+= 得 2 2 xy y xy = 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2 (2)()20,ln().xyx yxyyyyyxy+= 高等数学上（复大版）习题六 100 证：方程两端对x求导：ln()yxy= (*) 11 yy xy =+ 得. (1) y y x y = (*)式两端对x再求导得 222 11 (1)1 y y xxyy += 将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.,y y 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 22 0 (1),5; x xyCy = = 解：当时，y=5.故C=-250x= 故所求曲线为： 22 25yx= 2 12 00 (2)()e ,0,1. x xx yCC xyy = =+= 解： 2 212 (22)e x yCCC x = + 当x=0 时，y=0 故有. 1 0C= 又当x=0 时，.故有.1y = 2 1C= 故所求曲线为：. 2 e x yx= 5. 求下列各微分方程的通解： ;(1)ln0xyyy = 解：分离变量,得 d1 d ln y x yyx = 积分得 11 dlnd ln yx yx = lnlnlnlnyxc=+ lnycx= 得.ecxy= 高等数学上（复大版）习题六 101 1 (2); 1 y y x = 解：分离变量，得 dd 11 yx yx = 积分得 dd 11 yx yx = 得通解：2 12 1.yxc= + ;(3)(ee )d(ee )d0 xyxxyy xy + += 解：分离变量，得 ee dd 1e1e yy yx yx= + 积分得ln(e1)ln(e1)ln yx c=+ 得通解为.(e1)(e1) xy c+= ;(4)cos sin dsincos d0xy xxy y+= 解：分离变量，得 coscos dd0 sinsin xy xy xy += 积分得lnsinlnsinlnyxc+= 得通解为sinsin.yxc= ;(5)yxy = 解：分离变量，得 d d y x x y = 积分得 2 1 1 ln 2 yxc=+ 得通解为 2 1 1 2 e(e ) x c ycc= ;(6)210xy+ += 解：21yx = 积分得( 21)dyxx= 得通解为. 2 yxxc= + 高等数学上（复大版）习题六 102 ; 32 (7)4230xxy y+= 解：分离变量，得 23 3d(42 )dyyxxx=+ 积分得 342 yxxc=+ 即为通解. .(8)ex y y + = 解：分离变量，得e de d yx yx = 积分得e de d yx yx = 得通解为：.ee yx c =+ 6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： ; 2 0 (1)e,0 x y x yy = = = 解：分离变量，得 2 e de d yx yx= 积分得. 2 1 ee 2 yx c=+ 以代入上式得0,0xy= 1 2 c= 故方程特解为. 2 1 e(e1) 2 yx =+ . 2 (2)sinln ,e x yxyyy = = 解：分离变量，得 dd lnsin yx yyx = 积分得 tan 2 e x c y = 将代入上式得 ,e 2 xy=1c= 故所求特解为. tan 2 e x y= 7. 求下列齐次方程的通解： ; 22 (1)0xyyyx = 解： 2 d 1 d yyy xxx =+ 令 dd dd yyu uux xxx =+ 高等数学上（复大版）习题六 103 原方程变为 2 dd 1 ux x u = 两端积分得 2 ln(1)lnlnuuxc+=+ 2 2 1 1 uucx yy cx xx + = + = 即通解为： 222 yyxcx+= ; d (2)ln d yy xy xx = 解： d ln d yyy xxx = 令，则 y u x = dd dd yu ux xx =+ 原方程变为 dd (ln1) ux uux = 积分得ln(ln1)lnlnuxc=+ ln1 ln1 ucx y cx x = = 即方程通解为 1 ecxyx + = 22 (3)()dd0xyxxy x+= 解： 2 22 1 d d y yxy x y xxy x + + = 令，则 y u x = dd dd yu ux xx =+ 原方程变为 2 d1 d uu ux xu + += 即 d1d ,d d ux xu u xux = 积分得 2 1 1 lnln 2 uxc=+ 2 1 2 2ln2ln y xc x =+ 高等数学上（复大版）习题六 104 故方程通解为 2222 1 ln()()yxcxcc= ; 332 (4)()d3d0xyxxyy+= 解： 3 33 22 1 d d3 3 y yxy x xxy y x + + = 令,则 y u x = dd dd yu ux xx =+ 原方程变为 3 2 d1 d3 uu ux xu + += 即 2 3 3d d 12 ux u ux = 积分得 3 1 1 ln(21)lnln 2 uxc=+ 以代替u，并整理得方程通解为. y x 33 2yxcx= ; d (5) d yxy xxy + = 解： 1 d d 1 y y x y x x + = 令， 则 y u x = dd dd yu ux xx =+ 原方程变为 d1 d1 uu ux xu + += 分离变量,得 2 11 dd 1 u ux ux = + 积分得 2 1 1 arctanln(1)lnln 2 uuxc+=+ 以代替u，并整理得方程通解为到 y x 2arctan 22 2 1 1 e.() y x xycc c += 22 (6) y y xxy = + 高等数学上（复大版）习题六 105 解： 2 d d 11 y y x x y x = + 即 2 d 1 d xxx yyy =+ 令， 则, x v y = dd , dd xv xyvvy yy =+ 原方程可变为 2 d 1 d v vyvv y +=+ 即 2 d 1 d v yv y =+ 分离变量，得 2 dd 1 vy y v = + 积分得. 2 ln(1)lnlnvvyc+= 即 2 1 y vv c += 2 2 2 2 1 2 1 y vv c yyv cc =+ = 以代入上式，得yvx= 2 2 2 c y c x =+ 即方程通解为. 22 2ycxc=+ 8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解： ; 22 0 (1)(3)d2d0,1 x yxyxy xy = += 解： 2 2 d d 3 y y x x y x = 令，则得yux= 2 d2 d3 uu ux xu += 高等数学上（复大版）习题六 106 分离变量，得 2 3 3d d ux u uux = 积分得3lnln(1)ln(1)lnuuucx+= 即 2 3 1 lnln u c u x = 得方程通解为 223 yxcy= 以x=0，y=1 代入上式得c=1. 故所求特解为. 223 yxy= . 1 (2),2 x xy yy yx = = += 解：设，则yux= dd dd yu ux xx =+ 原方程可变为 d d x u u x = 积分得. 2 1 lnln 2 uxc=+ 得方程通解为 22 2(lnln )yxxc=+ 以x=1，y=2 代入上式得c=e2. 故所求特解为. 22 2(ln2)yxx=+ 9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解： (1)(253)d(246)d0xyxxyy+= 解：设，则原方程化为1,1xXyY=+=+ 25 d25 d24 24 Y YXY X Y XXY X = + + 令 d25 d24 Yuu uuX XXu =+= + 2 42d d 472X uX u uu + = + 高等数学上（复大版）习题六 107 2 2 2 2 2 1 1(87)3 lnd 2472 13d ln(472) 22472 1114 ln(472)d 26241 1141 ln(472)lnln 262 u Xu uu u uu uu uuu uu u uuc u + = + = + + = + + = + + 26 221 623 2 642 2 32 332 41 6ln3ln(472)lnln() 2 41 (472) 2 (41) (2) (41) (2),() u Xuuccc u u Xuuc u Xuuc Xuuccc += + += + += += 代回并整理得 . 2 3 (43) (23),()yxyxccc+= (2)(1)d(41)d0;xyxyxy+= 解： d1 d41 yxy xyx = + 作变量替换，令1,0xXyYY=+=+= 原方程化为 1 d d4 14 Y YXY X Y XXY X = = + + 令,则得YuX= 2 d1d14 d14d14 uuuu uXX XuXu + += = + 分离变量，得 2 1 4d d 1 4 uX u ux + = + 积分得 2 22 2 11d(14) lnd 14214 11 arctan2ln(14) 22 u Xu uu uuc + = + =+ 即 2 2lnln(14)arctan2Xuuc+= 22 ln(14)arctan2Xuuc+= 高等数学上（复大版）习题六 108 代回并整理得 22 2 ln4(1) arctan. 1 y yxc x += ;(3)()d(334)d0xyxxyy+= 解：作变量替换则,vxy=+ dd 1 dd yv xx = 原方程化为 d 1 d34 vv xv = 1 1 d2(2) d34 34 dd 2(2) 31 ddd 22 3 ln(2) 2 32ln(2)2,(2 ) vv xv v vx v vvx v vvxc vvxccc = = += +=+ +=+= 代回并整理得32ln(2).xyxyc+= . d1 (4)1 d y xxy =+ 解：令则,uxy= dd 1 dd uy xx = 原方程可化为 d1 d u xu = 分离变量，得ddu ux= 积分得 2 1 1 2 uxc= + 2 1 22uxc= + 故原方程通解为 2 1 ()2.(2 )xyxccc= += 10. 求下列线性微分方程的通解： ;(1)e x yy + = 解：由通解公式 d d eeee de() eed x x xxxx x yxcxc xc =+=+ + ； 2 (2)32xyyxx + =+ 解：方程可化为 12 3yyx xx + =+ + 由通解公式得 高等数学上（复大版）习题六 109 1 1 d d 2 2 e (3) ed 12 (3)d 13 2. 32 x x x x y xxc x xx xc xx c xx x = + + =+ + =+ sin (3)cose; x yyx + = 解： cos d cos d sin sin ee(). eed x x x x x x yxc xc =+ + ;(4)44yxyx = + 解： 22( 4 )d ( 4 )d 22 ee4 ed 4 ed xx xx xx yxxc xxc =+ + . () 222 222 eee1 xxx cc =+= ; 3 (5)(2)2(2)xyyx=+ 解：方程可化为 2 d1 2() d2 y yxx xx = 1 1 d d 2 2 2 ln(2)2ln(2) 3 e 2(2) ed e2(2) ed (2)2(2)d (2)(2) x x x x xx y xxc xxc xxxc xc x = + =+ =+ =+ 22 (6)(1)24.xyxyx+= 解：方程可化为 2 22 24 11 xx yy xx + = + 2 2 2 2 2 2 d d 1 1 2 3 ln(1)2 2 4 e ed 1 4 e4d 3(1) x x x x x x x x y xc x xc xxc x + + + = + + + =+= + 11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解： ; d11 (1)sin ,1 d x y yxy xxx = += 解： 1 1 d d11 sin esin dcos ed x x x x x yx xccx xc xx x =+= + 以代入上式得，,1xy= 1c= 高等数学上（复大版）习题六 110 故所求特解为. 1 ( 1cos )yx x = . 2 31 1 (2)(23)1,0 x yxyy x = + = 解： 2 2 3 23 d3ln x xxxc x = + 2 2 22 3 3 2 3 d2 3 +3lnd3ln eeed ed x xx xxxxx x xyxc xc =+ + 2 22 33 11 e.ee 22 x xx xxcc =+ 以x=1,y=0 代入上式，得. 1 2e c= 故所求特解为. 2 3 11 e 22e x yx = 12. 求下列伯努利方程的通解： 2 (1)(cossin );yyyxx + = 解：令，则有 1 21 zyy = dd (12)(12)(cossin )sincos dd zz zxxzxx xx += ( 1)d ( 1)d e (sincos )ed ee(sincos )desin x x xxx z xxxc xxxccx = + =+= 1 esin x cx y = 即为原方程通解. . 4 11 (2)(12 ) 33 yyx y + = 解：令. 3 d 21 d z zyzx x = d d e21e (21)ed x x x zxc xxc = + + 3( e 21)1 x y cx= 即为原方程通解. 13. 求下列各微分方程的通解： ;(1)sinyxx = + 解：方程两边连续积分两次得 高等数学上（复大版）习题六 111 2 1 3 12 1 cos 2 1 sin 6 yxxc yxxc xc = + =+ ;(2)exyx = 解：积分得 1 e dee xxx yxxxc = =+ 112 2 12123 ( ee)de2e 1 ( e2e)d(3)e 2 xxxx xxx yxcxxc xc yxc xcxxc xc xc = +=+ =+=+ ;(3)yyx=+ 解：令,则原方程变为py= d d 1 1 ,ee1 ed x x x ppxppxpcx xxc =+= + 故. 2 112 1 ( e1)de 2 xx ycxxcxxc=+ ; 3 (4)()yyy=+ 解：设， 则yp = d d p yp y = 原方程可化为 3 d d p ppp y =+ 即 2 d (1)0 d p pp y += 由p=0 知y=c，这是原方程的一个解. 当时，0p 2 2 dd 1d d1 pp py yp = += + 1 12 1 arctan d lnsin() tan() pyc y xycc yc = = 2 212 arcsin( e )(e ) cx yccc =+= 1 (5);y x = 解： 1 1 dlnyxc x x =+ 高等数学上（复大版）习题六 112 112 1211 (ln)dln ln( 1) ycxxxc xc xx xc xccc x =+=+ =+= + ; 2 1 (6) 1 y x = 解： 1 2 1 darcsin 1 yxxc x = =+ 2 112 (arcsin)darcsin1.yxcxxxxc xc=+=+ ;(7)0xyy+= 解：令,则得yp = 1dd 00 px pp xpx + =+= 1 lnlnlnpxc+= 得 1 c p x = 故. 1 12 dln c yxcc x x =+ . 3 (8)10y y = 解：令，则.py= d d p yp y = 原方程可化为 33 d 10, dd d p y pp pyy y = 2222 1 1 22 11 2 112 222 112112 11 222 dd dd 1 2122 11() . c pypyc yy y xx cyc y c yc xc c yc xcc yc xc = += + = = =+ =+ =+ 14.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： ; 3 11 (1)10,1,0 xx y yyy = + = 解：令，则,yp = d d p yp y = 原方程可化为 3 3 d1 1dd d p ypp py yy = = 高等数学上（复大版）习题六 113 22 1 2 1 2 111 222 1 pyc pc y =+ =+ 由知，从而有1,1,0xyyp= 1 1c= 2 2 2 2 1 dd 1 1 y yp y y yx y yxc = = = + 由,得1,1xy= 2 1c= 故或. 22 2xyx+= 2 2yxx= ; 2 11 (2)1,0,1 xx x yxyyy = += 解：令，则.yp = yp= 原方程可化为 2 11 pp xx + = 1 1 d d 1 1 2 1 1 e(ln) ed x x x x pxc xc x x =+ + 则 1 1 (ln)yxc x = + 以代入上式得1,1xy= 1 1c= 则 1 (ln1)yx x = + 2 2 1 lnln 2 yxxc=+ 当x=1 时，y=0 代入得 2 0c= 故所求特解为. 2 1 lnln 2 yxx=+ ; 200 1 (3),0 1 xx yyy x = = + 解： 1 arctanyxc = + 当，得0,0xy= 1 0c= 高等数学上（复大版）习题六 114 2 2 2 arctan darctand 1 1 arctanln(1) 2 x yx xxxx x xxxc = + =+ 以x=0,y=0 代入上式得 2 0c= 故所求特解为. 2 1 arctanln(1) 2 yxxx=+ ; 2 00 (4)1,1,0 xx yyyy = =+= 解：令，则.py=py= 原方程可化为 2 1pp = + 2 1 1 d d 1 arctan tan() p x p pxc ypxc = + =+ = =+ 以代入上式得.0,0xy= 1 ck= 2 tan()dln cos()yxkxcxk=+= + 以x=0,y=1 代入上式得 2 1c= 故所求特解为 ln1cos()yxk= + ; 2 00 (5)e ,0 y xx yyy = = 解：令，则.yp = d d p yp y = 原方程可化为 2 d e d y p p y = 即 2 de d y p py= 积分得 22 1 111 e 222 y pc=+ 22 1 e y pc=+ 以代入上式得,0,0xyy= 1 1c= 高等数学上（复大版）习题六 115 则 2 e1 y py= 2 2 d d e1 arcsine y y y x xc = =+ 以x=0,y=0 代入得， 2 2 c= 故所求特解为 arcsine 2 y x =+ 即.即. esincos 2 y xx = lnsecyx= . 00 (6)3,1,2 xx yy yy = = 解：令 d , d p yp yp y = 原方程可化为 1 2 d 3 d p py y = 1 2 3 2 2 1 d3d 1 2 2 p pyy pyc = =+ 以代入得0,2,1xypy= 1 0c= 故 3 4 2ypy = = 由于.故，即30yy = 3 4 2yy = 3 4 d 2d y x y = 积分得 1 4 2 42yxc=+ 以x=0,y=1 代入得 2 4c= 故所求特解为. 4 1 1 2 yx =+ 15. 求下列微分方程的通解： ;(1)20yyy+= 解：特征方程为 2 20rr+= 解得 12 1,2rr= 高等数学上（复大版）习题六 116 故原方程通解为 2 12 ee. xx ycc =+ ;(2)0yy + = 解：特征方程为 2 10r+ = 解得 1,2 ri= 故原方程通解为 12 cossinycxcx=+ ; 2 2 dd (3)420250 dd xx x tt += 解：特征方程为 2 420250rr+= 解得 12 5 2 rr= 故原方程通解为. 5 2 12 ()e t xcc t=+ ;(4)450yyy+= 解：特征方程为 2 450rr+= 解得 1,2 2ri= 故原方程通解为. 2 12 e (cossin ) x ycxcx=+ ;(5)440yyy+= 解：特征方程为 2 440rr+= 解得 12 2rr= 故原方程通解为 2 12 e() x ycc x =+ .(6)320yyy+= 解：特征方程为 2 320rr+= 解得1,2rr= 故原方程通解为. 2 12 ee xx ycc=+ 16. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： ; 00 (1)430,6,10 xx yyyyy = += 高等数学上（复大版）习题六 117 解：特征方程为 2 430rr+= 解得 12 1,3rr= 通解为 3 12 ee xx ycc=+ 3 12 e3 e xx ycc = + 由初始条件得 121 122 64 3102 ccc ccc += += 故方程所求特解为. 3 4e2e xx y=+ 00 (2)440,2,0; xx yyyyy = += 解：特征方程为 2 4410rr+ = 解得 12 1 2 rr= 通解为 1 2 12 ()e x ycc x =+ 2 212 1 e 22 x x yccc = 由初始条件得 1 1 2 21 2 2 1 10 2 c c ccc = = = 故方程所求特解为. 1 2 (2)e x yx =+ 00 (3)4290,0,15; xx yyyyy = += 解：特征方程为 2 4290rr+= 解得 1,2 25ri= 通解为 2 12 e(cos5sin5 ) x ycxcx =+ 2 2112 e(52 )cos5( 52)sin5 x yccxccx = + 由初始条件得 11 212 00 52153 cc ccc = = 故方程所求特解为. 2 3esin5 x yx = 高等数学上（复大版）习题六 118 . 00 (4)250,2,5 xx yyyy = += 解：特征方程为 2 250r+= 解得 1,2 5ri= 通解为 12 cos5sin5ycxcx=+ 12 5sin55cos5ycxcx = + 由初始条件得 11 22 22 551 cc cc = = 故方程所求特解为.2cos5sin5yxx=+ 17. 求下各微分方程的通解： ;(1)22exyyy+= 解： 2 210rr+ = 12 1 1, 2 rr= = 得相应齐次方程的通解为 1 2 12 ee x x ycc =+ 令特解为,代入原方程得 * exyA= ,2 eee2e xxxx AAA+= 解得,故,1A= * exy= 故原方程通解为. 2 12 eee x xx ycc =+ ; 2 (2)25521yyxx+= 解： 2 250rr+= 12 5 0, 2 rr= 对应齐次方程通解为 5 2 12e x ycc =+ 令, 代入原方程得 *2 ()yx axbxc=+ 22 2(62 )5(32)521axbaxbxcxx+= 比较等式两边系数得 高等数学上（复大版）习题六 119 137 , 3525 abc= = 则 *32 137 3525 yxxx=+ 故方程所求通解为. 5 32 2 12 137 e 3525 x yccxxx =+ ;(3)323 e x yyyx += 解： 2 320rr+= , 12 1,2rr= = 对应齐次方程通解为 2 12 ee xx ycc =+ 令代入原方程得 * ()e x yx AxB =+ (22 )e3 e xx AxBAx += 解得 3 ,3 2 AB= 则 * 2 3 e3 2 x yxx = 故所求通解为. 2 2 12 3 eee3 2 xxx yccxx =+ ;(4)25e sin2 x yyyx+= 解： 2 250rr+= 1,2 12ri= 相应齐次方程的通解为 12 e (cos2sin2 ) x ycxcx=+ 令，代入原方程并整理得 * e (cos2sin2 ) x yxAxBx=+ 4cos24sin2sin2BxAxx= 得 1 ,0 4 AB= = 则 * 1 e cos2 4 x yxx= 故所求通解为. 12 1 e (co