复合函数知识总结及例题.doc

复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题： (1)、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_。解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e）例2. 若函数，则函数的定义域为_。解析：先求f的作用范围，由，知即f的作用范围为，又f对f(x)作用所以，即中x应满足即，解得故函数的定义域为（2）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_。解析：的定义域为，即，由此得所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为-解析：先求f的作用范围，由，知解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为（3）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。例5. 若函数的定义域为，则的定义域为_。解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为，又f对作用，所以，解得即的定义域为评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数.证明：在区间）内任取两个数，使因为在区间）上是减函数，所以,记, 即因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，故函数在区间）上是增函数.（2）复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数的单调性判断步骤： 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简单函数：与。 分别确定分解成的两个函数的单调性； 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。（4）例题演练例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 单调减区间是 设 则 = 又底数 即 在上是减函数同理可证：在上是增函数例2、讨论函数的单调性.解由得函数的定义域为则当时，若，为增函数，为增函数.若，为减函数.为减函数。当时，若，则为减函数，若，则为增函数.例3、.已知y=(2-)在0，1上是x的减函数，求a的取值范围.解：a0且a1当a1时，函数t=2-0是减函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是增函数，a1由x0，1时，2-2-a0,得a2,1a2当0a0是增函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是减函数，0a1由x0，1时，2-2-10, 0a1综上述，0a1或1a2例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。解析由已知，得，其中 即，解得为负整数，即 ，假设存在实数，使得满足条件，设，当时，为减函数，,当时, 增函数,.由、可知，故存在一指数函数与对数函数 同底的指数函数与对数函数互为反函数；（二）主要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3比较几个数的大小的常用方法有：以和为桥梁；利用函数的单调性；作差（三）例题分析：例1（1）若，则，从小到大依次为 ； （2）若，且，都是正数，则，从小到大依次为 ； （3）设，且（，），则与的大小关系是 （ ） （） （） （） （）解：（1）由得，故 （2）令，则， ，； 同理可得：，（3）取，知选（）例2已知函数，求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根证明：（1）设，则，；，且，即，函数在上为增函数；（2）假设是方程的负数根，且，则， 即， 当时，而由知，式不成立； 当时，而，式不成立综上所述，方程没有负数根例3已知函数（且）求证：（1）函数的图象在轴的一侧； （2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于证明：（1）由得：，当时，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；当时，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧函数的图象在轴的一侧；（2）设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，当时，由（1）知，又，；当时，由（1）知，又，函数图象上任意两点连线的斜率都大于同步练习（二）同步练习：1、 已知函数的定义域为，求函数的定义域。答案：2、 已知函数的定义域为，求的定义域。答案：3、 已知函数的定义域为，求的定义域。答案：4、设，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 解：选C.由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为5、已知函数的定义域为，求的定义域。解析由已知，有（1）当时，定义域为；（2）当，即时，有，定义域为；（3）当，即时，有，定义域为.故当时，定义域为；当时，定义域为点评对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。练习二（5）同步练习：1函数y（x23x2）的单调递减区间是（）A（，1）B（2，）C（，）D（，）解析：先求函数定义域为（o，1）（2，），令t（x）x23x2，函数t（x）在（，1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y（x23x2）在（2，）上单调递减答案：B2找出下列函数的单调区间.（1）；（2）答案：(1)在上是增函数，在上是减函数。（2）单调增区间是，减区间是。3、讨论的单调性。答案：时为增函数，时，为增函数。4求函数y（x25x4）的定义域、值域和单调区间解：由（x）x25x40，解得x4或x1，所以x（，1）（4，），当x（，1）（4，），x25x4R，所以函数的值域是R因为函数y（x25x4）是由y（x）与（x）x25x4复合而成，函数y（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）x25x4在（，）上为减函数，在，上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y（x25x4）的增区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4也为减函数的区间，即（，1）；y（x25x4）的减区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4为增函数的区间，即（4，）变式练习一、选择题1函数f（x）的定义域是（）A（1，）B（2，）C（，2）D解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以解得1x2答案：D2函数y（x23x2）的单调递减区间是（）A（，1）B（2，）C（，）D（，）解析：先求函数定义域为（o，1）（2，），令t（x）x23x2，函数t（x）在（，1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y（x23x2）在（2，）上单调递减答案：B3若2（x2y）xy，则的值为（）A4B1或C1或4D错解：由2（x2y）xy，得（x2y）2xy，解得x4y或xy，则有或1答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x2y0，所以x2y所以xy舍掉只有x4y答案：D4若定义在区间（1，0）内的函数f（x）（x1）满足f（x）0，则a的取值范围为（）A（0，）B（0，1）C（，）D（0，）解析：因为x（1，0），所以x1（0，1）当f（x）0时，根据图象只有02al，解得0a（根据本节思维过程中第四条提到的性质）答案：A5函数y（1）的图象关于（）Ay轴对称Bx轴对称C原点对称D直线yx对称解析：y（1），所以为奇函数形如y或y的函数都为奇函数答案：C二、填空题已知y（2ax）在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是_解析：a0且a1（x）2ax是减函数，要使y（2ax）是减函数，则a1，又2ax0a（0x1）a2，所以a（1，2）答案：a（1，2）7函数f（x）的图象与g（x）（）x的图象关于直线yx对称，则f（2xx2）的单调递减区间为_解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）x则f（2xx2）（2xx2），令（x）2xx20，解得0x2（x）2xx2在（0，1）上单调递增，则f（x）在（0，1）上单调递减；（x）2xx2在（1，2）上单调递减，则f（x）在1，2）上单调递增所以f（2xx2）的单调递减区间为（0，1）答案：（0，1）8已知定义域为R的偶函数f（x）在0，上是增函数，且f（）0，则不等式f（log4x）0的解集是_解析：因为f（x）是偶函数，所以f（）f（）0又f（x）在0，上是增函数，所以f（x）在（，0）上是减函数所以f（log4x）0log4x或log4x解得x2或0x答案：x2或0x三、解答题9求函数y（x25x4）的定义域、值域和单调区间解：由（x）x25x40，解得x4或x1，所以x（，1）（4，），当x（，1）（4，），x25x4R，所以函数的值域是R因为函数y（x25x4）是由y（x）与（x）x25x4复合而成，函数y（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）x25x4在（，）上为减函数，在，上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y（x25x4）的增区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4也为减函数的区间，即（，1）；y（x25x4）的减区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4为增函数的区间，即（4，）10设函数f（x），（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f（x）的反函数f1（x），问函数yf1（x）的图象与x轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由解：（1）由3x50且0，解得x且x取交集得x（2）令（x），随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；1随着x