反比例函数综合题..doc

反比例函数综合题1如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则ABC的面积为（ ）A3 B4 C5 D6【答案】A解：设P（0，b），直线ABx轴，A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=的图象上，当y=b，x=，即A点坐标为（，b），又点B在反比例函数y=的图象上，当y=b，x=，即B点坐标为（，b），AB=（）=，SABC=ABOP=b=3故选：A2如图，点A、B在反比例函数y=的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，四边形AMNB的面积是3，则k的值为（ ）A2 B4 C2 D4【答案】D解：点A、B在反比例函数y的图象上，SAOM=|k|，OM=MN=NC，AM=2BN，SAOM=SAOC，SACM=4SBCN，SACM=2SAOM，四边形AMNB的面积是3，SBCN=1，SAOM=2，|k|=4，反比例函数y=的图象在第二四象限，k=4，故选D3如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1y2时，x的取值范围是（ ）Ax2或x2 Bx2或0x2 C2x0或0x2 D2x0或x2【答案】D解：反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，A、B两点关于原点对称，点A的横坐标为2，点B的横坐标为2，由函数图象可知，当2x0或x2时函数y1=k1x的图象在y2=的上方，当y1y2时，x的取值范围是2x0或x2故选D4如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作ACx轴，交OB于D点，垂足为C若ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）A B C3 D4【答案】B解：过点B作BEx轴于点E，D为OB的中点，CD是OBE的中位线，即CD=BE设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=，ADO的面积为1，ADOC=1，（）x=1，解得k=，故选：B5如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且ODE的面积是9，则k=（ ）A B C D12【答案】C解：四边形OCBA是矩形，AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为（a，b），BD=3AD，D（，b），点D，E在反比例函数的图象上，=k，E（a，），SODE=S矩形OCBASAODSOCESBDE=ab（b）=9，k=，故选C6如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x0）的图象上，则点E的坐标是（ ）A B C D【答案】A解：正方形OABC中，点B在反比例函数上，设点B的坐标为（），则（负值舍去），设点E的横坐标为，则纵坐标为，代入反比例函数中，则解得（负值舍去），则点E的坐标为故选A7下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）A B、 C、 D、【答案】C解：A项阴影部分面积=3，B项阴影部分面积=3，C项阴影部分面积，D项阴影部分面积=3，故选C8（2015本溪）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（2，0），与x轴夹角为30，将ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（k0）上，则k的值为（ ）A4 B2 C D【答案】D解：设点C的坐标为（x，y），过点C作CDx轴，作CEy轴，将ABO沿直线AB翻折，CAB=OAB=30，AC=AO=2，ACB=AOB=90，CD=y=ACsin60=2=，ACB=DCE=90，BCE=ACD=30，BC=BO=AOtan30=2=，CE=x=BCcos30=1，点C恰好落在双曲线y=（k0）上，k=xy=1=，故选D9如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（） A4 B3 C2 D1【答案】B解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则SOCE=，SOAD=，过点M作MGy轴于点G，作MNx轴于点N，则SONMG=|k|，又M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO=4SONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，k0，则+6=4k，k=2故选B10下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）【答案】C解：A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：xy=3，B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：3，C、如图：根据反比例函数系数k的几何意义，以及梯形面积求法可得出：阴影部分面积为：，D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：16=3，阴影部分面积最大的是4故选：C11如图，点A（3，n）在双曲线y=上，过点A作ACx轴，垂足为C线段OA的垂直平分线交OC于点M，则AMC周长的值是（ ） A3 B4 C5 D6【答案】B解：根据反比例函数的性质可得点A的坐标为（3，1），则AC=1，OC=3，根据中垂线的性质可得：AM=OM，则AMC的周长=AM+MC+AC=OM+MC+AC=OC+AC=412如图，是直角三角形，=，点在反比例函数的图象上若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】A解：过点A，B作ACx轴，BDx轴，分别于C，D设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m， AOB=90， AOC+BOD=90， DBO+BOD=90， DBO=AOC， BDO=ACO=90， BDOOCA， OB=2OA， BD=2m，OD=2n， 因为点A在反比例函数的y=图象上，则mn=1， 点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（-2n，2m），k=-2n2m=-4mn=-4 故选A考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.相似三角形的判定与性质13如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（ ）A、x1 B、x2C、1x0或x2 D、x1或0x2【答案】D【解析】试题分析：由一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，知图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是x-1，或0x2故选D考点：一次函数与反比例函数的图象14如图，在x轴的上方，直角BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若BOA的两边分别与函数y=、y=的图象交于B、A两点，则OAB的大小的变化趋势为（ ）A逐渐变小 B逐渐变大 C无法确定 D保持不变【答案】D【解析】试题解析：如图，分别过点A、B作ANx轴、BMx轴；AOB=90，BOM+AON=AON+OAN=90，BOM=OAN，BMO=ANO=90，BOMOAN，；设B（-m，），A（n，），则BM=，AN=，OM=m，ON=n，mn=，mn=；AOB=90，tanOAB=；BOMOAN，由知tanOAB=为定值，OAB的大小不变，故选D考点：1相似三角形的判定与性质；2反比例函数图象上点的坐标特征15如图，过点O作直线与双曲线（k0）交于A、B两点，过点B作BCx轴于点C，作BDy轴于点D在x轴上分别取点E、F，使点A、E、F在同一条直线上，且AE=AF设图中矩形ODBC的面积为S1，EOF的面积为S2，则S1、S2的数量关系是（A）S1=S2 （B）2S1=S2 （C）3S1=S2 （D）4S1=S2【答案】B【解析】试题解析：设A点坐标为（m，-n），过点O的直线与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关与原点对称，则B的坐标为（-m，n）；矩形OCBD中，易得OD=n，OC=m；则S1=mn；在RtEOF中，AE=AF，故A为EF中点，由中位线的性质可得OF=2n，OE=2m；则S2=OFOE=2mn；故2S1=S2故选B考点：反比例函数系数k的几何意义16如图，点A是反比例函数y=（x0）的图象上任意一点，ABx轴交反比例函数y=-的图象于点B，以AB为边作ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD为（ ）A2 B3 C4 D5【答案】D【解析】试题解析：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b把y=b代入y=得，b=，则x=，即A的横坐标是；同理可得：B的横坐标是：-则AB=-（-）=则SABCD=b=5故选D考点：反比例函数综合题17（2015秋滦县期末）如图，函数y=和y=的图象分别是l1和l2，设点P在l1上，PCx轴，垂足为C，交l2于点A，PDy轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（ ）A8 B9 C10 D11【答案】A【解析】试题分析：设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出APB=90，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可解：点P在y=上，|xp|yp|=|k|=1，设P的坐标是（a，）（a为正数），PAx轴，A的横坐标是a，A在y=上，A的坐标是（a，），PBy轴，B的纵坐标是，B在y=上，代入得：=，解得：x=3a，B的坐标是（3a，），PA=|（）|=，PB=|a（3a）|=4a，PAx轴，PBy轴，x轴y轴，PAPB，PAB的面积是：PAPB=4a=8故选A考点：反比例函数系数k的几何意义第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）18如图，点，点，都在函数的图象上，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3都在轴上，已知点P1的坐标为（1，1），则点P3的坐标为 【答案】【解析】试题分析：如图，作轴于，作轴于，作轴于，都是等腰直角三角形，设点的坐标为（1,1），则解得或（舍）解得或，考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、等腰直角三角形19如图所示，点、在轴上，且，分别过点、作轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点、，分别过点作轴的平行线，分别与轴交于点，连接，那么图中阴影部分的面积之和为，则的值为 【答案】4【解析】试题分析：本题利用特殊值法进行求解，首先假设=1，然后用含k的代数式分别得出，的坐标，从而求出各个面积，根据题意列出方程求出k的值.考点：反比例函数的性质评卷人得分三、计算题（题型注释）评卷人得分四、解答题（题型注释）20如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究AOF与EOC的数量关系，并证明【答案】（1）y=；（2）（2，4）（3）AOF=EOC见解析【解析】试题分析：（1）设反比例函数的解析式为y=，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论；（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y=x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标；（3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知OAFOCG，EGBHGC（ASA），故可得出EG=HG设直线EG的解析式为y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直线EG的解析式，故可得出H点的坐标，在RtAOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OH=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论解：（1）设反比例函数的解析式y=，反比例函数的图象过点E（3，4），4=，即k=12反比例函数的解析式y=；（2）正方形AOCB的边长为4，点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4点D在反比例函数的图象上，点D的纵坐标为3，即D（4，3）点D在直线y=x+b上，3=4+b，解得b=5直线DF为y=x+5，将y=4代入y=x+5，得4=x+5，解得x=2点F的坐标为（2，4）（3）AOF=EOC证明：在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点HAO=CO=4，OAF=OCG=90，AF=CG=2，OAFOCG（SAS）AOF=COGEGB=HGC，B=GCH=90，BG=CG=2，EGBHGC（ASA）EG=HG设直线EG：y=mx+n，E（3，4），G（4，2），解得，直线EG：y=2x+10令y=2x+10=0，得x=5H（5，0），OH=5在RtAOE中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5OH=OEOG是等腰三角形底边EH上的中线OG是等腰三角形顶角的平分线EOG=GOHEOG=GOC=AOF，即AOF=EOC考点：反比例函数综合题21如图，已知点A（4，0），B（0，4），把一个直角三角尺DEF放在OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动其中EFD=30，ED=2，点G为边FD的中点（1）求直线AB的解析式；（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=（k0）的解析式；（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由【答案】（1）y=-x+4；（2）y=；（3）y=【解析】试题分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入，组成方程组，解方程组求出k、b的值即可；（2）由RtDEF中，求出EF、DF，在求出点D坐标，得出点F、G坐标，把点G坐标代入反比例函数求出k即可；（3）设F（t，-t+4），得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解析式为y=，用待定系数法求出t、m，即可得出反比例函数解析式试题解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，A（4，0），B（0，4），解得：，直线AB的解析式为：y=-x+4；（2）在RtDEF中，EFD=30，ED=2，EF=2，DF=4，点D与点A重合，D（4，0），F（2，2），G（3，），反比例函数y=经过点G，k=3，反比例函数的解析式为：y=；（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：点F在直线AB上，设F（t，-t+4），又ED=2，D（t+2，-t+2），点G为边FD的中点G（t+1，-t+3），若过点G的反比例函数的图象也经过点F，设解析式为y=，则，整理得：（-t+3）（t+1）=（-t+4）t，解得：t=，m=，经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y=考点：反比例函数综合题22如图，已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y=的图象与线段AB交于M点，且AM=BM，过点M作MCx轴于点C，MDy轴于点D（1）求证：MC=MD；（2）求点M的坐标；（3）求直线AB的解析式【答案】（1）见解析；（2）点M的坐标为（，）（3）y=x+4【解析】试题分析：（1）先根据AM=BM得出点M为AB的中点，再根据MCx轴，MDy轴，故MCOB，MDOA得出点C和点D分别为OA与OB中点，根据OA=OB即可得出结论；（2）由（1）知，MC=MD，设点M的坐标为（a，a）把M （a，a）代入函数y=中求出a的值即可；（3）根据点M的坐标得出MC，MD的长，故可得出A、B两点的坐标，利用待定系数法即可得出直线AB的解析式（1）证明：AM=BM，点M为AB的中点MCx轴，MDy轴，MCOB，MDOA，点C和点D分别为OA与OB中点，OA=OB，MC=MD（2）解：由（1）知，MC=MD，设点M的坐标为（a，a）把M （a，a）代入函数y=中，解得a=2点M的坐标为（，）（3）解：点M的坐标为（，），MC=，MD=，OA=OB=2 MC=，A（，0），B（0，）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（，0）和点B（0，）分别代入y=kx+b中，解得，直线AB的解析式为y=x+4考点：反比例函数综合题23如图，已知反比例函数和一次函数y=2x1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=（2）点A的坐标为（1，1）；（3）符合条件的点有4个，分别是（，0），（，0），（2，0），（1，0）【解析】试题分析：（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可（3）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决解：（1）由题意得得k=2反比例函数的解析式为y=（2）由，解得，点A在第一象限，点A的坐标为（1，1）（3），OA与x轴所夹锐角为45，当OA为腰时，由OA=OP1得P1（，0），由OA=OP2得P2（，0）；由OA=AP3得P3（2，0）当OA为底时，OP4=AP4得P4（1，0）符合条件的点有4个，分别是（，0），（，0），（2，0），（1，0）考点：反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质24如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使kx+b成立的x的取值范围；（3）求AOB的面积【答案】（1）y=2x+8；（2）0x1或x3；（3）8【解析】试题分析：（1）先把A、B点坐标代入y=求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（2）根据图象可以直接写出答案；（3）分别过点A、B作AEx轴，BCx轴，垂足分别是E、C点直线AB交x轴于D点SAOB=SAODSBOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果解：（1）点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x0）的图象上，m=1，n=2，即A（1，6），B（3，2）又点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，解得，则该一次函数的解析式为：y=2x+8；（2）根据图象可知使kx+b成立的x的取值范围是0x1或x3；（3）分别过点A、B作AEx轴，BCx轴，垂足分别是E、C点直线AB交x轴于D点令2x+8=0，得x=4，即D（4，0）A（1，6），B（3，2），AE=6，BC=2，SAOB=SAODSBOD=4642=8考点：反比例函数与一次函数的交点问题25（2015秋娄星区期末）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，3），B（3，n）两点（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b的解集 ；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，求ABC的面积【答案】（1）y=，y=x+1；（2）x2或3x0（3）5【解析】试题分析：（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出一次函数的解析式；（2）根据A、B的 坐标结合图象得出即可（3）设AB与x轴交点为D，根据一次函数的解析式即可求得D的坐标，根据SABC=SACD+SBDC就可求得三角形的面积解：（1）从图象可知A的坐标是（2，3），B的坐标是（3，n），把A的坐标代入反比例函数的解析式得：k=6，即反比例函数的解析式是y=，把B的坐标代入反比例函数的解析式得：n=2，即B的坐标是（3，2），把A、B的坐标代入一次函数的解析式得：，解得：k=1，b=1即一次函数的解析式是y=x+1；（2）由图象可知使一次函数的值大于反比例函数的值的x取值范围是x2或3x0不等式kx+b的解集为x2或3x0（3）设AB与x轴交点为D，则D（1，0），则SABC=SACD+SBDC=5考点：反比例函数与一次函数的交点问题26（2005沈阳）如图，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线（x0）分别交于点C、D，且C点的坐标为（1，2）（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；（2）求出点D的坐标；（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1y2？【答案】（1）y1=x+3，；（2）（2，1）；（3）当2x1时，y1y2【解析】试题分析：（1）因为两个函数的图象都过C点，将C点坐标代入求得m、k的值，所以易求它们的解析式；（2）解由两个函数的解析式组成的方程组，得交点坐标D；（3）看在哪些区间y1的图象在上方解：（1）y1=x+m与过点C（1，2），m=3，k=2，y1=x+3，；（2）由题意，解得：，或，D点坐标为（2，1）；（3）由图象可知：当2x1时，y1y2考点：反比例函数综合题27（2014汕头）如图，已知A（4，），B（1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m0，m0）图象的两个交点，ACx轴于C，BDy轴于D（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若PCA和PDB面积相等，求点P坐标【答案】（1）当4x1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）y=x+，2；（3）（，）【解析】试题分析：（1）观察函数图象得到当4x1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t，t+），利用三角形面积公式可得到（t+4）=1（2t），解方程得到t=，从而可确定P点坐标解：（1）当4x1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（4，），B（1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=x+，把B（1，2）代入y=得m=12=2；（3）设P点坐标为（t，t+），PCA和PDB面积相等，（t+4）=1（2t），即得t=，P点坐标为（，）考点：反比例函数与一次函数的交点问题28如图，已知反比例函数（x0，k 是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m1，AMx 轴，垂足为 M，BNy轴，垂足为N，AM与BN的交点为C（1）写出反比例函数解析式；（2）求证ACBNOM；（3）若ACB与NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式【答案】（1）y=；（2）证明见解析；（3）B（3，），AB的解析式为y=-x+【解析】试题分析：（1）把 A 点坐标代入可得k的值，进而得到函数解析式；（2）根据A、B两点坐标可得AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，则，再根据反比例函数 解析式可得=n，则，而，可得，再由ACB=NOM=90，可得ACBNOM；（3）根据ACB 与NOM 的相似比为2可得m-1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可试题解析：（1）（x0，k 是常数）的图象经过点A（1，4），k=4，反比例函数解析式为y=；（2）点 A（1，4），点 B（m，n），AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，B（m，n）在y=上，=n，而，ACB=NOM=90，ACBNOM；（3）ACB 与NOM 的相似比为 2，m-1=2，m=3， B（3，），设AB所在直线解析式为 y=kx+b，解得，AB的解析式为y=-x+考点：反比例函数综合题29如图，反比例函数的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m1，AMx轴，垂足为M，BNy轴，垂足为N，AM与BN的交点为C（1）写出反比例函数解析式； （2）求证：ACBNOM； （3）若ACB与NOM的相似比为2，求出B点的坐标【答案】（1），（2）证明见解析，（3）【解析】试题分析：（1）把点A（1，4）代入求出k的值即可；（2）根据点B（m，n），A（1，4）用m、n表示出个线段的长，证明，且，即可得出结论；（3）根据ACB与NOM的相似比为2，求出m的值，从而得出点B的坐标，用待定系数法求函数解析式即可试题解析：（1）的图象经过点A（1，4），k=4反比例函数解析式为（2） B（m，n），A（1，4），AC=4n，BC=m1，ON=n，OM=1点B（m，n）在上，又又ACB =NOM=90， ACBNOM（3） ACB与NOM的相似比为2，m1 =2m=3B点坐标为设AB所在直线的解析式为y=kxb， ，解得AB所在直线的解析式为考点：1反比例函数的性质2待定系数法求函数解析式3相似三角形的判定与性质30（2015乐山）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC若ABC的面积为2（1）求k的值；（2）x轴上是否存在一点D，使ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）k=2（2）点D的坐标为（5，0）或（5，0）或（，0）或（，0）【解析】试题分析：（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故BOC的面积等于AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知AOC的面积等于|k|，从而求出k的值；（2）先将y=2x与y=联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：当ADAB时，求出直线AD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；当BDAB时，求出直线BD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；当ADBD时，由O为线段AB的中点，可得OD=AB=OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标解：（1）反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，A、B两点关于原点对称，OA=OB，BOC的面积=AOC的面积=22=1，又A是反比例函数y=图象上的点，且ACx轴于点C，AOC的面积=|k|，|k|=1，k0，k=2故这个反比例函数的解析式为y=；（2）x轴上存在一点D，使ABD为直角三角形将y=2x与y=联立成方程组得：，解得：，A（1，2），B（1，2），当ADAB时，如图1，设直线AD的关系式为y=x+b，将A（1，2）代入上式得：b=，直线AD的关系式为y=x+，令y=0得：x=5，D（5，0）；当BDAB时，如图2，设直线BD的关系式为y=x+b，将B（1，2）代入上式得：b=，直线AD的关系式为y=x，令y=0得：x=5，D（5，0）；当ADBD时，如图3，O为线段AB的中点，OD=AB=OA，A（1，2），OC=1，AC=2，由勾股定理得：OA=，OD=，D（，0）根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（，0）故x轴上存在一点D，使ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（5，0）或（，0）或（，0）考点：反比例函数与一次函数的交点问题31如图，已知反比例函数和一次函数y=2x1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点（1）求反比例函数的解析式；（2）如下图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由【答案】（1）反比例函数的解析式为y=（2）点A的坐标为（1，1）（3）（，0），（-，0），（2，0），（1，0）【解析】试题分析：（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可（3）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决试题解析：（1）由题意得 -得：k=2反比例函数的解析式为y=（2）由，解得，点A在第一象限，点A的坐标为（1，1）（3）OA=，OA与x轴所夹锐角为45，当OA为腰时，由OA=OP1得P1（，0），由OA=OP2得P2（-，0）；由OA=AP3得P3（2，0）当OA为底时，OP4=AP4得P4（1，0）符合条件的点有4个，分别是（，0），（-，0），（2，0），（1，0）考点：反比例函数综合题32如图，已知反比例函数和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点。（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上， 求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。【答案】（1）y=；（2）（1，1）；（3）符合条件的点有4个，分别是（，0），（-，0），（2，0），（1，0）【解析】试题分析：（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式；（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可；（3）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决试题解析：（1）由题意得 ，-得：k=2，反比例函数的解析式为y=；（2）由，解得，点A在第一象限，点A的坐标为（1，1）；（3）OA=，OA与x轴所夹锐角为45，当OA为腰时，由OA=得（，0），由OA=得（-，0）；由OA=得（2，0）当OA为底时，=得（1，0）符合条件的点有4个，分别是（，0），（-，0），（2，0），（1，0）考点：反比例函数综合题33如图是函数与函数在第一象限内的图象，点是的图象上一动点，轴于点A，交的图象于点，轴于点B，交的图象于点（1）求证：D是BP的中点；（2）求出四边形ODPC的面积【答案】（1）证明见试题解析；（2）3【解析】试题分析：（1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案试题解析：（1）点P在函数上，设P点坐标为（，m），点D在函数上，BPx轴，设点D坐标为（，m），由题意，得BD=，BP=2BD，D是BP的中点；（2）S四边形OAPB=m=6，设C点坐标为（x，），D点坐标为（，y），SOBD=，SOAC=，S四边形OCPD=S四边形PBOASOBDSOAC=3考点：反比例函数与一次函数的交点问题34如图，已知反比例函数和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）A（1，1）；（3）（，0），（，0），（2，0），（1，0）【解析】试题分析：（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可（3）应先求出OA的距离，然后由：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论试题解析：（1）由题意得，得：k=2，反比例函数的解析式为；（2）由，解得：，点A在第一象限，点A的坐标为（1，1）；（3）OA=，OA与x轴所夹锐角为45，当OA为腰时，由OA=OP1得P1（，0），由OA=OP2得P2（，0）；由OA=AP3得P3（2，0）；当OA为底时，OP4=AP4得P4（1，0），符合条件的点有4个，分别是（，0），（，0），（2，0），（1，0）考点：1反比例函数综合题；2分类讨论；3存在型35如图，已知点A的坐标（，3），ABx轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=（k0）的图象与线段OA、AB分别交于C、D两点，若AB=3BD以C点为圆心，2CA长为半径作圆C（1）求k的值；（2）求点C坐标；（3）判断C与x轴的位置关系【答案】（1）；（2）C（1，）；（3）C与x轴相交【解析】试题分析：（1）根据A（，3），AB=3BD求出点D的坐标，故可得出k的值；（2）由（1）中k的值求出反比例函数的解析式，用待定系数法求出直线OA的解析式，把反比例函数与一次函数的解析式组成方程组即可求出C点坐标；（3）由（2）中C点坐标可求出点C与x轴的距离及CA的长，由圆与直线的位置关系即可得出结论试题解析：（1）A（，3），AB=3，AB=3BD，BD=AB=3=1，D（，1）点D在反比例函数y=（k0）的图象上，1=，解得k=；（2）k=，反比例函数的解析式为y=，设直线OA的解析式为y=kx，A的坐标（，3），k=3，解得k=，直线OA的解析式为y=x，解得x=1或x=-1（舍去），C（1，）；（3）C（1，），点C到x轴的距离为，A（，3），OA=2，OC=2，CA=OA-OC=2-2，2CA=4-4，4-4-=3-40，C与x轴相交考点：反比例函数综合题36如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标【答案】（1）反比例函数的解析式是；（2）点P的坐标是（0，4）或（0，4）【解析】试题分析：（1）求出，将代入求出，得出M的坐标，将M坐标代入反比例函数解析式即可求出答案；（2）利用，求出OP的值，即可求出P点坐标试题解析：（1），四边形OABC是矩形，将代入得，将M坐标代入，反比例函数的解析式是由题意得，点P的坐标是（0，4）或（0，4）考点：反比例函数综合题37如图，已知A（4，），B（1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m0，m0）图象的两个交点，ACx轴于C，BDy轴于D（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若PCA和PDB面积相等，求点P坐标【答案】（1）4x1;（2）y=x+，m=-2；（3）P点坐标是（，）【解析】试题分析：（1）一次函数图象都在反比例函数图象上方，观察函数图象即可得-4x-1；（2）利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；（2）设P（x，x+），根据PCA和PDB面积相等列出方程解方程即可试题解析：解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，4x1，当4x1时，一次函数大于反比例函数的值； （2）设一次函数的解析式为y=kx+b，y=kx+b的图象过点（4，），（1，2），则，解得一次函数的解析式为y=x+，反比例函数y=图象过点（1，2），m=12=2； （3）连接PC、PD，如图，设P（x，x+）由PCA和PDB面积相等得（x+4）=|1|（2x），x=，y=x+=，P点坐标是（，）考点：反比例函数、一次函数的综合题38如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）双曲线y=（x0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是y轴上一点，且FBC与DEB相似，求直线FB的解析式【答案】（1）3，（2，）；（2）y1=；y2=x；y3=;y4=【解析】试题分析：（1）根据B的坐标，以及四边形ABCO为矩形，确定出BC中点D坐标，代入反比例解析式求出k的值；根据E在反比例图象上，且B与E横坐标相同，确定出E坐标即可；（2）分类讨论，即可确定出直线FB解析式试题解析：（1）矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，BCx轴， BAy轴，BCx轴，点B的坐标为（2，3），BC=2，点D为BC的中点，CD=1，点D的坐标为（1，3），代入双曲线y=（x0）得k=13=3；BAy轴，点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，点E在双曲线y=上，y=点E的坐标为（2，）；（2）点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），BD=1，BE=，BC=2当点F在点C的下方时，若FBCDEB，则即：FC=OF=3-=点F1的坐标为（0，）设直线F1B的解析式y1=kx+b（k0）则解得：k=，b=直线F1B的解析式y1= 若FBCEDB，则即：FC=3OF=3-3=0点F2的坐标为（0，0）