初高中数学衔接知识.doc

数 学学高中数学的几点建议： 1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同角度和数学规律，老师为备战高考而加的课外知识。 记录下来本章最有价值的思想方法和例题，以及还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。解答问题完整、推理严密。 3、熟记一些数学规律和数学结论，使自己平时的运算技能达到了自动化熟练程度。 4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。 5、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。 6、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化 7、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 初高中数学衔接教材现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值1、 概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离二、典型例题：例1 解不等式：解法一：由，得；若，不等式可变为，即，得，又x1，x-3；若，不等式可变为，即 又 综上所述，原不等式的解为或。解法二：如图111，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间1Ax-3CxP|x1|图111D5的距离|PA|，即|PA|x1|；所以的几何意义即为 ：|PA|4可知点P 在点C(坐标为-3)的左侧、或点P在 点D(坐标5)的右侧 或。1填空：（1）若，则x=_；若，则x=_.（2）如果，且，则b_；若，则c_.2选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则3解不等式： 4、化简：|x5|2x13|（x5）1.1.2. 乘法公式一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；必须记住（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 二、典型例题例1 计算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 已知，求的值解： 练 习 1填空：（1）（ ）； （2） ； (3 ) 2. 选择题： （1）若是一个完全平方式，则等于（ ） （A） （B） （C） （D） （2）不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式一、概念：一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，等是有理式1分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化为了进行分母有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等 一般地，与，与，与互为有理化因式分母有理化的方法：是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程2 二次根式的意义 二、典型例题例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）； （2）； （3）解： （1）； （2）； （3）例2计算：解一： 解二： 例3化简：解：原式 例 4 化简：（1）； （2） 解：（1）原式= = （2）原式=， 所以，原式练 习1填空：（1）_ _；（2）若，则的取值范围是_ _ （3）_ _； 2选择题：等式成立的条件是 （ ）（A） （B） （C） （D）3若，求的值4比较大小：2 （填“”，或“”）1.1.4分式一、概念： 分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式当M0时，分式具有下列性质：； 上述性质被称为分式的基本性质二、典型例题：例1若，求常数的值解： ， 解得 例2（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：；解：（1）证明：， （其中n是正整数）成立（2）由（1）可知 例3设，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20两边同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去；或e2 e2练习1填空题：对任意的正整数n， ()；2选择题：若，则 （ ）（A） （B） （C） （D）3正数满足，求的值习题11A 组1解不等式： 已知，求的值3（1）_；（2）_4，则_ _；5已知：，求的值B 组1选择题：（1）若，则 （ ） （A） （B） （C） （D）（2）计算等于 （ ）（A） （B） （C） （D）12 分解因式一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； 解：（1）如图121，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)12xx图1211211图1222611图123aybyxx图124 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图121中的两个x用1来表示（如图122所示）（2）由图123，得x24x12(x2)(x6)（3）由图124，得 2提取公因式法与分组分解法例2 分解因式： （1）； 解： = = = 3关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例3把下列关于x的二次多项式分解因式：（1） 解： 令=0，则解得， = =练习1选择题：多项式的一个因式为 （ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3； （3）x22x1； 3分解因式：（1） ； （2）； （3）； 4在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）； 2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式一、概念：我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为 一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根 x1x2；（3）当0时，方程没有实数根二、典型例题：例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1） x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； 解：（1）3241330，方程没有实数根 （2）该方程的根的判别式a241(1)a240， 所以方程一定有两个不等的实数根， （3）由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以， 当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21； 当a2时，0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1说明：在第3小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）1、 概念：1、若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根 ， 则有 ； 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理二、典型例题：例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值解法一：2是方程的一个根，522k260，k7 所以，方程就为5x27x60，解得x12，x2 所以，方程的另一个根为，k的值为7解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1，x1 由 （）2，得 k7 所以，方程的另一个根为，k的值为7例3 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m-1说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可（）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于等于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例4 已知两个数的和为4，积为12，求这两个数解法一：设这两个数分别是x，y， 则 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12， 即 x24x120， x12，x26 或 因此，这两个数是2和6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根 解这个方程，得 x12，x26所以，这两个数是2和6例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （3）x13x23解：x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()例6 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零， 求实数a的取值范围解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4， 由得 a a的取值范围是a4练习1选择题：（1）方程的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 （3）已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（4）下列四个说法： 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7； 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7； 方程3 x270的两根之和为0，两根之积为； 方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（5）关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或1（6）若关于x的方程x2(k21) xk10的两实根互为相反数，则k的值为 （ ） （A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若方程x23x10的两根分别是x1和x2，则 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3和1为根的一元二次方程是 （4）方程kx24x10的两根之和为2，则k （5）方程2x2x40的两根为，则22 （6）已知关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 （7）若m，n是方程x22005x10的两个实数根，则m2nmn2mn的值等于 3求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数4已知方程x23x10的两根为x1和x2，求(x13)( x23)的值22 二次函数2.2.1 二次函数yax2bxc的图像和性质1、 复习引申：问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？1、二次函数yax2(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函数yax2(a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？2、二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：3、 （1）当a0时，函数yax2bxc图象开口向上； 顶点坐标为，对称轴为直线x； 当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大； 当x时，函数取最小值y （2）当a0时，函数yax2bxc图象开口向下； 顶点坐标为，对称轴为直线x； 当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小； 当x时，函数取最大值y xyOxA图2.2-3xyOxA图2.2-4上述二次函数的性质可以分别通过图223和图224直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题二、典型例题：例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值）， 并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？解：y3x26x13(x1)24， 函数图象的开口向下； 对称轴是直线x1；xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图2.25 顶点坐标为(1，4)； 当x1时，函数y取最大值y4； 当x1时，y随着x的增大而增大； 当x1时，y随着x的增大而减小；说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例2 把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再 向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数yx2的图像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数yx2bxc的图像由于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y(x4)22的图像，即为yx28x14的图像，函数yx28x14与函数yx2bxc表示同一个函数，b8，c14说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律练习1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A）y2x2 （B）y2x24x2（C）y2x21 （D）y2x24x （2）函数y2(x1)22是将函数y2x2 （ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2填空题（1）二次函数y2x2mxn图象的顶点坐标为(1，2)，则m ，n （2）已知二次函数yx2+(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象（1）yx22x3； （2）y16 xx22.2.2 二次函数的三种表示方式一、复习引申：通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题二、典型例题：例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上， 并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3，1）， ，解得a 二次函数的解析式为，即y=例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2， 求此二次函数的表达式分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)， 可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0)， 展开，得 yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 ， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|2，即a解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1 又 顶点到x轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或2 于是可设二次函数为ya(x1)22，或ya(x1)22， 由于函数图象过点(1，0)， 0a(11)22，或0a(11)22a，或a 所以，所求的二次函数为y(x1)22，或y(x1)22例3 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式解：设该二次函数为yax2bxc(a0) 由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 解得 a2，b12，c8 所以，所求的二次函数为y2x212x8练习1选择题:（1）函数yx2x1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定 （2）函数y(x1)22的顶点坐标是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)2 填空：已知二次函数的图象经过与x轴交于点(1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可 设为ya (a0) 2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可例1 求把二次函数yx24x3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位解：二次函数y2x24x3的解析式可变为 y2(x1)21， 其顶点坐标为(1，1)（1） 把函数y2(x1)21的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后， 其函数图象的顶点坐标是(3，-2)，所以，平移后所得到的函数图象 对应的函数表达式就为 y2(x3)22（2） 把函数y2(x1)21的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后， 其函数图象的顶点坐标是(1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象 对应的函数表达式就为 y2(x1)22xyOx1A(1,1)A1(3,1)图2.27xyOy1A(1,1)B(1，3)图2.282对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状。因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题例2 求把二次函数y2x24x1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x1； （2）直线y1解：（1）如图227，把二次函数 y2x24x1的图象关于直线 x1作对称变换后，只改变图象 的顶点位置，不改变其形状 由于y2x24x12(x1)21， 可知，函数y2x24x1图象的顶 点为A(1,1)，所以，对称后所得到 图象的顶点为A1(3，-1)，所以， 二次 函数y2x24x1的图象关于 直线 x1对称后所得到图象的函 数解析式为y2(x3)21， 即y2x212x17（2）如图228，把二次函数y2x24x1的图象关于直线y1作对称变换后， 只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状 由于y2x24x12(x1)21，可知，函数y2x24x1图象的顶点为A(1,1)， 所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下， 所以，二次函数 y2x24x1的图象关于直线y1对称后所得到图象的函数解析式 为y2(x1)23，即y2x24x1三、配方法及其应用1、在求二次函数的图象的顶点坐标或求最大（小）值时需用到变形：，这种变形的过程就叫配方。具体过程为 用配方来解决最大（小）值等问题的方法叫作配方法，这是高中数学最重要的方法之一例1、将下列二次函数式配方：（1）（2） （3）解：（1） （2） （3） 例2、求下列二次函数的最大（或最小）值：（1）（2） （3）解：（1） 当时 y取最小值 （2） 当x=3时，y取最大值10 （3） 当x=-2时，y取最大值-3练习 将下列二次函数配方（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8