高中数学竞赛讲义(免费).doc

高中数学高中数学竞赛资竞赛资料料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年全日制普通高 级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适 当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几 个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、 平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三 角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函 数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因 式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3. 初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯 函数x，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。 容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 三、高中数学竞赛基础知识 第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字 母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合 A 中，称属xx 于 A，记为，否则称不属于 A，记作。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分别AxxAx 表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集， 用来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示 集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。 例如有理数，分别表示有理数集和正实数集。0xx 定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素， 则 A 叫做 B 的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是BA ZN B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不 属于 A，则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集，.BxAxxBA且 定义 4 并集，.BxAxxBA或 定义 5 补集，若称为 A 在 I 中的补集。, 1 AxIxxACIA且则 定义 6 差集，。,BxAxxBA且 定义 7 集合记作开区间，集合,baRxbxax),(ba 记作闭区间，R 记作,baRxbxax,ba).,( 定理 1 集合的性质：对任意集合 A，B，C，有： （1） （2）；);()()(CABACBA)()()(CABACBA （3） （4）);( 111 BACBCAC).( 111 BACBCAC 【证明】这里仅证（1） 、 （3） ，其余由读者自己完成。 （1）若，则，且或，所以或)(CBAxAxBxCx)(BAx ，即；反之，则)(CAx)()(CABAx)()(CABAx 或，即且或，即且，即)(BAx)(CAxAxBxCxAx)(CBx ).(CBAx （3）若，则或，所以或，所以BCACx 11 ACx 1 BCx 1 AxBx ，又，所以，即，反之也有)(BAxIx)( 1 BACx)( 111 BACBCAC .)( 111 BCACBAC 定理 2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法n 1 m 中有种不同的方法，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有 2 mn n m 种不同的方法。 n mmmN 21 定理 3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不n 1 m 2 m 同的方法，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有n n m 种不同的方法。 n mmmN 21 二、方法与例题 1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例 1 设，求证：, 22 ZyxyxaaM （1）；)( ,12ZkMk （2）；)( ,24ZkMk （3）若，则 MqMp,.Mpq 证明（1）因为，且，所以Zkk1, 22 ) 1(12kkk.12Mk （2）假设，则存在，使，由于和)(24ZkMkZyx, 22 24yxkyx 有相同的奇偶性，所以是奇数或 4 的倍数，不可能等于yx )( 22 yxyxyx ，假设不成立，所以24 k.24Mk （3）设，则Zbayxbaqyxp, 2222 )( 2222 bayxpq 22222222 aybxbyaaMyaxbybxa 22 )()( （因为） 。ZyaxbZyaxa, 2利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则 A=B。BA AB 例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合 M 满足 ，求集合 M（用 A，B 表示） 。BAMBABAMBMA, 【解】先证，若，因为，所以MBA)()(BAxBAMA ，所以； MxMAx,MBA)( 再证，若，则1）若，则)(BAMMx.BAMBAxAx ；2）若，则。所以BAMAxBxBAMBx).(BAM 综上，.BAM 3分类讨论思想的应用。 例 3 ，若02,01,023 222 mxxxCaaxxxBxxxA ，求CCAABA,.,ma 【解】依题设，再由解得或，2 , 1A01 2 aaxx1 ax1x 因为，所以，所以，所以或 2，所以或 3。ABAAB Aa111a2a 因为，所以，若，则，即，CCAAC C08 2 m2222m 若，则或，解得CC1C2. 3m 综上所述，或；或。2a3a3m2222m 4计数原理的应用。 例 4 集合 A，B，C 是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集， （1）若，IBA 求有序集合对（A，B）的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。 【解】 （1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于IBA, 其中一个子集，10 个元素共有 310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以 集合对有 310个。 （2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步， 1 或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，第 10 步，0 也有两种， 由乘法原理，子集共有个，非空真子集有 1022 个。1024210 5配对方法。 例 5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非, 3 , 2 , 1nIk k AAA, 21 空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。k 【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同 1 2 n 在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，k 1 2 n kk 若有一对子集未出现，设为 C1A 与 A，并设，则，从而可以在 1 AAACA 11 个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上，。kAC1 1 2 n k 1 2 n k 6竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理；用表示集合 A 的元素个数，则A,BABABA ，需要xy 此结论可CBACBCABACBACBA 以推广到个集合的情况，即n n i kji jinkji jii n i i AAAAAAA 111 .) 1( 1 1 n i i n A 定义 8 集合的划分：若，且，IAAA n 21 ),1 (jinjiAA ji 则这些子集的全集叫 I 的一个-划分。n 定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1mn) 1( nn 个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有1mmn 一个抽屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。 【解】 记，（2（2,1001,100, 3 , 2 , 1xxxxAI记为整除能被且 ，由容斥原理，5 ,1001,3 ,1001xxxCxxxB 3 100 2 100 CBAACCBBACBACBA ，所以不能被 2，3，5 整除的数有74 30 100 15 100 10 100 6 100 5 100 个。26CBAI 例 7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7，问 S 中最 多含有多少个元素？ 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有 一个属于 S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有 这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个 数。又因为 2004=18211+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 个元素，另一方面，当 时，恰有，且 S 满足题目条,2004,10, 7 , 4 , 2 , 1,11NkrttkrrS912S 件，所以最少含有 912 个元素。 例 8求所有自然数，使得存在实数满足：)2( nn n aaa, 21 . 2 ) 1( , 2 , 11 nn njiaa ji 【解】 当时，；当时，；当时， 2n1, 0 21 aa3n3, 1, 0 321 aaa4n 。下证当时，不存在满足条件。1, 5, 2, 0 4321 aaaa5n n aaa, 21 令，则 n aaa 21 0. 2 ) 1( nn an 所以必存在某两个下标，使得，所以或ji 1 nji aaa 111 1 nnn aaaa ，即，所以或， 2 1aaa nn 1 2 a1, 2 ) 1( 1 nnn aa nn a 2 ) 1( nn an 。1 2 a （）若，考虑，有或，1, 2 ) 1( 1 nnn aa nn a2 n a 2 2 nn aa 2 2aaa nn 即，设，则，导致矛盾，故只有2 2 a2 2 nn aa 121 nnnn aaaa . 2 2 a 考虑，有或，即，设，则3 n a 2 3 nn aa 3 3aaa nn 3 3 a 2 3 nn aa ，推出矛盾，设，则，又推出矛 0221 2aaaa nn 3 3 a 231 1aaaa nn 盾， 所以故当时，不存在满足条件的实数。4, 22 naan5n （）若，考虑，有或，即1, 2 ) 1( 2 a nn an2 n a 1 2 nn aa 3 2aaa nn ，这时，推出矛盾，故。考虑，有2 3 a 1223 aaaa2 1 nn aa3 n a 或，即=3，于是，矛盾。因此 2 3 nn aa nn aa3 3 a 3 a 123 nn aaaa ，所以，这又矛盾，所以只有，所以3 2 nn aa 1221 1aaaa nn 22 aan 。故当时，不存在满足条件的实数。4n5n 例 9 设 A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在 A 中取三个数，B 中取两个 数组成五个元素的集合，求的最小值。 i A.201 , 2,20, 2 , 1jiAAi ji n 【解】 .16 min n 设 B 中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（ i Ak4kmk ） ，则在出现的所有中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它是4k.123 km i A 1，就有集合1，其中， 121 ,bmaa, 1, 1 365243 bmaabmaa61 ,iAai 为满足题意的集合。必各不相同，但只能是 2，3，4，5，6 这 5 个数，这不可能，所以 i a . 4k 20 个中，B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以。当时，如 i A16n16n 下 20 个集合满足要求： 1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10， 1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9， 1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11， 2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13， 3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。 例 10 集合1，2，3n可以划分成个互不相交的三元集合，其中，n,zyxzyx3 求满足条件的最小正整数. n 【解】 设其中第 个三元集为则 1+2+i, 2 , 1,nizyx ii n i i zn 1 ,43 所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有 n i i z nn 1 4 2 ) 13(3 nn388nn ，所以，当时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，138n5n5n 9，12，7，10，14，8满足条件，所以的最小值为 5。n 第二章 二次函数与命题 一、基础知识 1二次函数：当0 时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴a 为直线 x=-，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=-，下同。 a b 2a b 2 2二次函数的性质：当 a0 时，f(x)的图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量 x 增大 函数值减小（简称递减） ，在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及 ax2+bx+c0 时，方程有两个不等实根，设 x1,x2(x15”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑 联结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由 复合命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合 命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 pq 否则记作 pq.在命题“若 p 则 q”中， 如果已知 pq,则 p 是 q 的充分条件；如果 qp，则称 p 是 q 的必要条件；如果 pq 但 q 不p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不q 但 pq，则 p 称为 q 的必要 非充分条件；若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题 1待定系数法。 例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是 ，求满足 f()=,f()=,f(1)=1 的二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a0), 则由已知 f()=,f()= 相减并整理得（-）（+）a+b+1=0， 因为方程 x2-x+1=0 中0， 所以 ，所以(+)a+b+1=0. 又 +=1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1， 所以 c-1=1，所以 c=2. 又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f()= 得 a2-(a+1)+2=, 所以 a2-a+2=+=1，所以 a2-a+1=0. 即 a(2-+1)+1-a=0,即 1-a=0， 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 2方程的思想。 例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4f(1)=a-c-1, 所以 1-f(1)=c-a4. 又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1), 3 8 3 5 所以(-1)+f(3)5+4, 3 8 3 5 3 8 3 5 所以-1f(3)20. 3利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程 f(f(x) =x 也无实根。 【证明】若 a0，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口 向上，所以对任意的 xR,f(x)-x0 即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。 所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 无实根。 注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4利用二次函数表达式解题。 例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2满足 0x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20， 所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 6定义在区间上的二次函数的最值。 例 6 当 x 取何值时，函数 y=取最小值？求出这个最小值。 22 24 ) 1( 5 x xx 【解】 y=1-,令u,则 0-2 时，x2+bx 在0，-(b+1)上是减函数， 2 b 所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=-,b=-. 2 1 2 3 综上，b=-. 2 3 7.一元二次不等式问题的解法。 例 8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。 12 0 22 ax aaxx 【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a0，则 x10，）当 01-a，由得 x1-2a， 2 1 所以不等式组的解集为 1-a0，则由知0，所以成立，所以成立。 综上，充分性得证。 9常用结论。 定理 1 若 a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|, 所以|a+b|a|+|b|（注：若 m0，则-mxm 等价于|x|m）. 又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,bR, 则 a2+b22ab；若 x,yR+,则 x+y.2 xy (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 第三章 函数 一、基础知识 定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: AB 为一个映射。 定义 2 单射，若 f: AB 是一个映射且对任意 x, yA, xy, 都有 f(x)f(y)则称之为单射。 定义 3 满射，若 f: AB 是映射且对任意 yB，都有一个 xA 使得 f(x)=y，则称 f: AB 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射，若 f: AB 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1构成的映射，记作 f-1: AB。 定义 5 函数，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的 定义域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。 集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有 意义的未知数的取值范围，如函数 y=3-1 的定义域为x|x0,xR.x 定义 6 反函数，若函数 f: AB（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: AB 叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如： 函数 y=的反函数是 y=1-(x0). x1 1 x 1 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义 7 函数的性质。 （1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x10)；（1）向右平 移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下 平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函 数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称； （7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。 定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减” 。例如 y=, u=2-x 在 x2 1 （-,2）上是减函数，y=在（0，+）上是减函数，所以 y=在（-,2）上是增函 u 1 x2 1 数。 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题 1数形结合法。 例 1 求方程|x-1|=的正根的个数. x 1 【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=的图象，由图象可知两者有 x 1 唯一交点，所以方程有一个正根。 例 2 求函数 f(x)=的最11363 2424 xxxxx 大值。 【解】 f(x)=，记点 P(x, x-2)，A（3，2） ， 222222 )0() 1()3()2(xxxx B（0，1） ，则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。 因为|PA|-|PA|AB|=,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2的交点10) 12(3 22 时等号成立。 所以 f(x)max=.10 2.函数性质的应用。 x y x 1 1 x 例 3 设 x, yR，且满足，求 x+y. 1) 1(1997) 1( 1) 1(1997) 1( 3 2 yy xx 【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（-，+）上递增。事实上，若 a0，所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0，所以 x=1. 第四章 几个初等函数的性质 一、基础知识 1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为 （0，+） ，当 00, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为 （0，+） ，值域为 R，图象过定点（1，0） 。当 00, N0） ； 1）ax=Mx=logaM(a0, a1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N； 3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；， N M 5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1). n M n 1 a b c c log log 5. 函数 y=x+（a0）的单调递增区间是和，单调递减区间为 x a a,a 和。 （请读者自己用定义证明） 0 , aa, 0 6连续函数的性质：若 a0 且 f(1)0（因为-10， 所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10. 例 2 （柯西不等式）若 a1, a2,an是不全为 0 的实数，b1, b2,bnR，则 （）（）()2，等号当且仅当存在R，使 ai=, i=1, 2, , n n i i a 1 2 n i i b 1 2 n i iib a 1 i b 时成立。 【证明】 令 f(x)= （）x2-2()x+=, n i i a 1 2 n i iib a 1 n i i b 1 2 n i ii bxa 1 2 )( 因为0，且对任意 xR, f(x)0， n i i a 1 2 所以=4()-4（）()0. n i iib a 1 n i i a 1 2 n i i b 1 2 展开得（）()()2。 n i i a 1 2 n i i b 1 2 n i iib a 1 等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在，使 ai=, i=1, 2, , n。 i b 例 3 设 x, yR+, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2，求 u=的最小值。 y y x x 11 【解】u=xy+xy+2 y y x x 11 xyx y y x1 xy 1 x y y x =xy+2. xy 1 令 xy=t，则 01. 又 abc，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得 ， b x c x x a a a a a log log2 log log log 因为 ac0, ac1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单 调性的应用和未知数范围的讨论。 例 7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为=1。设 f(x)= , 则 f(x)在(- xxx 6 5 3 2 2 1 xxx 6 5 3 2 2 1 ,+)上是减函数，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3. 例 8 解方程组：（其中 x, yR+）. 3 12 xy yx yx yx 【解】 两边取对数，则原方程组可化为 . 3lg)( lg12lg)( glxyyx yxyx 把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得 x+y=6， 代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0. 又 y0，所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 . 2 4 ; 1 1 2 2 1 1 y x y x 例 9 已知 a0, a1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。 【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足. 0 0 )( 22 222 ax akx axakx 若、同时成立，则必成立， 故只需解. 0 )( 222 akx axakx 由可得 2kx=a(1+k2)， 当 k=0 时，无解；当 k0 时，的解是 x=，代入得k. k ka 2 )1 ( 2 k k 2 1 2 若 k1，所以 k0，则 k20，存在 M，对任意的 nM(nN), 都有|an-A|0 且, 2 2 n n x x 2 2 lg2 2 2 lg 1 1 n n n n x x x x 所以是首项为，公比为 2 的等比数列。 2 2 lg n n x x 22 22 lg 所以，所以， 1 2 2 2 lg n n n x x 22 22 lg 2 2 n n x x 1 2 22 22 n 解得。2 n x 11 11 22 22 )22()22( )22()22( nn nn 注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。 第六章 三角函数 一、基础知识 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向， 则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任 意的。 定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所 对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|= ,其中 r 是圆的半径。 r L 定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重 合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y） ，到原点的距离为 r, 则正弦函数 sin=,余弦函数 cos=,正切函数 tan=，余切函数 cot=，正割函 r y r x x y y x 数 sec=,余割函数 csc= x r . y r 定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=,sin=，cos= cot 1 csc 1 ；商数关系：tan=；乘积关系： sec 1 sin cos cot, cos sin tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2. 定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+) =cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(- )=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, 2 cos=sin, tan=cot（奇变偶不变，符号看象限） 。 2 2 定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间 上为增函数，在区间上为减函数，最小正周 2 2 , 2 2 kk 2 3 2 , 2 2kk 期为 2. 奇偶数. 有界性：当且仅当 x=2kx+时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k-时, 2 2 y 取最小值-1。对称性：直线 x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值 2 域为-1，1。这里 kZ. 定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。 对称性：直线 x=k 均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当 0 , 2 k x=2k 时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 kZ. 定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(xk+)在开区间(k-, k+)上为增 2 2 2 函数, 最小正周期为 ，值域为（-，+） ，点（k，0） ， （k+，0）均为其对称中心。 2 定理 6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin() =sincoscossin; tan()=. )tantan1 ( )tan(tan 定理 7 和差化积与积化和差公式: sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos, 2 2 2 2 cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin, 2 2 2 2 sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-), 2 1 2 1 coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-). 2 1 2 1 定理 8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=. )tan1 ( tan2 2 定理 9 半角公式:sin=,cos=, 2 2 )cos1 ( 2 2 )cos1 ( tan= 2 )cos1 ( )cos1 ( . sin )cos1 ( )cos1 ( sin 定理 10 万能公式: , , 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 . 2 tan1 2 tan2 tan 2 定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b20，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点 (a, b)的一个角为 ，则 sin=,cos=，对任意的角 . 22 ba b 22 ba a asin+bcos=sin(+).)( 22 ba 定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有，其中 a, b, c 分别是R C c B b A a 2 sinsinsin 角 A，B，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的 对边。 定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得 y=sin(x+)的图象（相位变换） ；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=sin( 1 x )的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象0 （振幅变换） ；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向 右平移个单位得到 y=Asinx 的图象。 定义 4 函数 y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x-1, 1)， 2 , 2 x 函数 y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1, 1). 函数 y=tanx 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的 2 , 2 x 反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x-, +). 定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。 方程 cosx=a 的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是 x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=. 2 2 定理 16 若，则 sinxsin(cosx). 若，则因为 sinx+cosx=(sinxcos+sincosx) 2 , 0 x2cos 2 2 sin 2 2 2 xx 4 4 =sin(x+)，则 x0，由 -0 得 cos0, 2 2 2 2 所以1。又 00. 22 0 2 2 所以 sin（1+cos）=2sincos2= 2 2 2 2 cos 2 cos 2 sin22 222 = 3 222 3 2 cos 2 cos 2 sin2 2 . 9 34 27 16 当且仅当 2sin2=cos2, 即 tan=时，sin(1+cos)取得最大值。 2 2 2 2 2 2 9 34 例 7 若 A，B，C 为ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因为 sinA+sinB=2sincos, 2 BA 2 sin2 2 BABA sinC+sin, 2 3 sin2 2 3 cos 2 3 sin2 3 CCC 又因为， 3 sin2 4 3 cos 4 3 sin2 2 3 sin 2 sin CBACBAC BA 由，得 sinA+sinB+sinC+