解析几何中的定点和定值问题.doc

解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。一、 定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。AByOx例1、已知A、B是抛物线y2=2px (p0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当、变化且+=时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。例2已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程；设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线与轴相交于定点【针对性练习1】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程；当时，求与的关系，并证明直线过定点【针对性练习2】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为（）求椭圆C的标准方程；（）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标例3、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。（I）求椭圆的标准方程； （）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围； （）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。二、 定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。例4、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，共线。（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。例5、已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）。（1）求椭圆C的方程； （2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。将第二问的结论进行如下推广：结论1.过椭圆上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值（常数）。结论2.过双曲线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值（常数）。结论3.过抛物线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值（常数）。例6、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.()求椭圆的标准方程和离心率；()若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.例7、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点()若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；()若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由例8、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为（）求椭圆的方程；（）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由三、 定直线问题例9、设椭圆过点，且焦点为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上例10、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。四、 其它定值问题例11、已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.例12、己知椭圆 （ab0）,过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、OxyP1Q1P2Q2A1A2B1B2Q1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则的方程为，原点O到直线的距离为，则与菱形内切的圆方程为。例13、已知P是双曲线上的一个定点，过点P作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点（异于P点），求证：直线P1P2的方向不变。探索定值：取P，过P点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线xPP1P2yO与曲线的另一个交点，其斜率 PP2的方程为把代入解得 （定值） 证明：设PP1的斜率为，则PP2的斜率为 ，PP1的方程为 PP2的方程为，与抛物 联立解得、 ，从而（定值） EX：过抛物线y2=2px（P0）上一定点（x0,y0）作两条直线分别交抛物线于A，B两点，满足直线PA、PB斜率存在且倾斜角互补，则AB的斜率为定值。推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。五、练习1、椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，三角形ABM的三个顶点都在椭圆上，其中M点为（1，1），且直线MA、MB的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求证：直线AB的斜率是定值。分析：（1）x2+2y2=3 （2）2、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.分析：M（，0） 3、已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y2=2mx（m0）于A、B两点，若A、B两点满足AQP=BQP，若其中Q点坐标为（-4，0），原点O为PQ中点。（1）证明：A、P、B三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以PA为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l的方程。分析：设点AB的坐标（2）l：x=3.4、 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。（1）求椭圆的方程。（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD,连结CM交椭圆于点P，证明：为值。（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于C的定点Q，使得以MP为直径的圆过直线DP，MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标。分析：（1）（2）由O、M、P三点共线，得，所以=4（3）设Q点（a，0），由，得a=0.5、设P为双曲线上任意一点，F1，F2是双曲线的左右焦点，若的最小值是-1，双曲线的离心率是。（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C的右焦点F2的直线交双曲线于A、B两点，过作右准线的垂线，垂足为C，求证：直线AC恒过定点。分析：（1） （2）先猜再证：（，0）换掉x1代入韦达定理得证。方法二：设AB：代入方程得：（）故AC：=又2my1y2=-（y1+y2）然后代入韦达定理得。6、在平面直角坐标系xOy中,RtABC的斜边BC恰在x轴上，点B(2,0)，C（2，0），且AD为BC边上的高。(I)求AD中点G的轨迹方程； (II)若过点(1,0)的直线l与(I)中G的轨迹交于两不同点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使恒为定值？若存在，求出点E的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由。分析：（1） （2）m= 定值为 不容易先猜出，只能是化简求出。7、已知直线l过椭圆E：的右焦点F,且与E相交于P，Q两点。（1） 设，求点R的轨迹方程。（2） 若直线l的倾斜角为60，求的值。（当l的倾斜角不定时，可证是定值。）分析： （2）可先猜再证:解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。四、 定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。AByOx例1、已知A、B是抛物线y2=2px (p0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当、变化且+=时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。解析： 设A（），B（），则，代入得 （1）又设直线AB的方程为，则，代入（1）式得直线AB的方程为直线AB过定点（-说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB，再从AB直线系中看出定点。例2【2010东城一模】已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程；设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线与轴相交于定点解析：由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或设点，则，直线的方程为，令，得，将代入整理，得 由得代入整理，得，所以直线与轴相交于定点【针对性练习1】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程；当时，求与的关系，并证明直线过定点解：点到，的距离之和是，的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，其方程为 将，代入曲线的方程，整理得 ，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以 设，则， 且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，由，得将、代入上式，整理得所以，即或经检验，都符合条件，当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点即直线经过点，与题意不符当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点，且不过点综上，与的关系是：，且直线经过定点点【针对性练习2】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。【针对性练习3】（2011年石景山期末理18）已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为（）求椭圆C的标准方程；（）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标解: （）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则 解得 椭圆C的标准方程为 4分（）由方程组 消去，得 6分由题意， 整理得： 7分设，则， 8分由已知， 且椭圆的右顶点为， 10分即 ，也即 ，整理得解得 或 ，均满足 11分当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；当时，直线的方程为 ，过定点， 故直线过定点，且定点的坐标为 13分例3、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。 （I）求椭圆的标准方程； （）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围； （）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。解法一： （I）设椭圆方程为，由题意知故椭圆方程为 （）由（I）得，所以，设的方程为（）代入，得 设则,由，当时，有成立。（）在轴上存在定点，使得、三点共线。依题意知，直线BC的方程为， 令，则的方程为、在直线上，在轴上存在定点，使得三点共线。解法二：（）由（I）得，所以。设的方程为 代入，得设则 当时，有成立。 （）在轴上存在定点，使得、三点共线。 设存在使得、三点共线，则， ， 即 ，存在，使得三点共线。五、 定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。例4、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，共线。（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。解析：（1）设椭圆方程为 （ab0），A(x1,y1)，B(x2,y2) ，AB的中点为N(x0,y0)，两式相减及得到，所以直线ON的方向向量为， ，即，从而得 （2）探索定值 因为M是椭圆上任意一点，若M与A重合，则，此时，证明 ，椭圆方程为，又直线方程为又设M（x，y），则由得，代入椭圆方程整理得又 ，例5、已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）。（1） 求椭圆C的方程； （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解析：（1）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。 （2）设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以 ， 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得， 所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 将第二问的结论进行如下推广：结论1.过椭圆上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值（常数）。证明：直线AE的方程为，则直线AF的方程为， 联立和，消去y可得 结论2.过双曲线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值（常数）。结论3.过抛物线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值（常数）。例6、【2010巢湖市第一学期期末质检】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.()求椭圆的标准方程和离心率；()若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解析：()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得. 所以椭圆的标准方程为. 离心率 (),设由得化简得，即故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为 例7、【2010湖南师大附中第二次月考】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点()若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；()若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由解析：() 设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，即，故抛物线C的方程是 ()设圆心()，点A，B. 因为圆过点P(2，0)，则可设圆M的方程为. 令，得.则，. 所以. ，设抛物线C的方程为，因为圆心M在抛物线C上，则. 所以. 由此可得，当时，为定值故存在一条抛物线，使|AB|为定值4. 例8、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为 （）求椭圆的方程； （）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由解析：（I）设椭圆E的方程为,由已知得：。2分椭圆E的方程为。3分（）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：。5分当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则由得7分所以9分对于任意的值，为定值，所以，得，所以；11分当直线的斜率不存在时，直线由得综上述知，符合条件的点存在，起坐标为13分法二：假设存在点，又设则：=.5分当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由得7分9分设则11分当直线的斜率为0时，直线，由得：综上述知，符合条件的点存在，其坐标为。13分六、 定直线问题例9、设椭圆过点，且焦点为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上解析： (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)设点，由题设，均不为零。且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 ，即点总在定直线上例10、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（）设椭圆的方程为。1分，。4分椭圆的方程为。5分（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分,若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分设与交于点由得设与交于点由得10，12分，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分解法二：（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分取得，直线的方程是直线的方程是交点为若交点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法证明时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证即证式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。解法三：（）由得即。记，则。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分五、 其它定值问题例11、已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.解析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得 切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设A、B两点的坐标分别为，则， 的大小为.例12、己知椭圆 （ab0）,过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、OxyP1Q1P2Q2A1A2B1B2Q1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则的方程为，原点O到直线的距离为，则与菱形内切的圆方程为。证明：设直径P1P2的方程为 则Q1Q2的方程为 解得 同理OQ22=，作OHP2Q2 则 又四边形P1Q1P2Q2是菱形，菱形P1Q1P2Q2必外切于圆.例13、已知P是双曲线上的一个定点，过点P作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点（异于P点），求证：直线P1P2的方向不变。探索定值：取P，过P点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线xPP1P2yO与曲线的另一个交点，其斜率 PP2的方程为把代入解得 （定值） 证明：设PP1的斜率为，则PP2的斜率为 ，PP1的方程为 PP2的方程为，与抛物 联立解得、 ，从而（定值） EX：过抛物线y2=2px（P0）上一定点（x0,y0）作两条直线分别交抛物线于A，B两点，满足直线PA、PB斜率存在且倾斜角互补，则AB的斜率为定值。推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。五、练习1、（2008唐山三模）椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，三角形ABM的三个顶点都在椭圆上，其中M点为（1，1），且直线MA、MB的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求