有理数域上多项式不可约的判定-论文.doc

毕业设计(论文)有理数域上多项式不可约的判定 系 别 ：数学与物理系专业（班级）：数学与应用数学2012级2班作者（学号）：赵伟（51205012006）指导教师：刘晓敏（讲师）完成日期： 2016年4月22日蚌埠学院教务处制目 录 中文摘要1英文摘要21 引言31.1 本课题的作用,意义31.2 国内外的发展趋向和发展趋势以及尚待研究的问题32 有理数域上的多项式42.1 不可约多项式的概念42.2 本原多项式42.3 有理数域上多项式的等价53 有理数域上多项式不可约的判别方法63.1 有理根判别法63.2 因式分解唯一性判别方法63.3 艾森斯坦因(Eisenstein)判别法及推广73.3.1艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法73.3.2艾森斯坦因(Eisenstein)间接判法83.3.3通过艾森斯坦因(Eisenstein)判别法派生出的一种判别法93.3.4艾森斯坦因判别法的推广 113.4 反证法113.5 克朗奈克判别法123.6 综合法134 其他特殊多项式不可约的判别方法144.1 奇次多项式的判定方法144.2 形如的判定方法145 结论16谢辞17参考文献18蚌埠学院本科毕业设计（论文）有理数域上多项式不可约的判定摘 要:对于判断有理数域上的不可约多项式的问题,最终都等价地转化为判断整数域上不可约多项式的问题.对于判断整系数不可约多项式,有经典的艾森斯坦因判别法,但这个判别法只是判别多项式不可约的一个充分条件,这就限制了它的使用范围,同时还存在着大量的多项式不能用艾森斯坦因判别法判别.本文主要把前人研究整系数不可约多项式所得的成果进行总结和归纳,在此基础上做了一些研究和探讨，给出了有理根判别法、反证法以及克朗奈克等判别方法,拓宽了判别多项式不可约的范围，同时使多项式不可约的判定更加系统化.关键词:有理数域;多项式;不可约;判别法The Judgement of Irreducible Polynomials on Rational Field Abstract:For judgment irreducible rational polynomial problem domain,eventually equivalently transformed into irreducible polynomials judgment on the issue integer field for the entire judgment coefficient irreducible classic Eisenstein discrimination law, but this discrimination discrimination law is a sufficient condition for a polynomial irreducible, which limits the scope of its use, but there are still a lot of discrimination because of polynomial method can not distinguish by Eisenstein. in this paper, the whole previous studies irreducible polynomial coefficients obtained review and summarize achievements, on this basis, do some research and discussion, given the rational root discrimination law, as well as discrimination method reductio ad absurdum kroner Naik et al., to broaden the scope of discrimination irreducible polynomial, while the polynomials Irreducibility more systematic.Key words:Rational Field; polynomial; irreducible; discrimination law1 引 言1.1 本课题的作用,意义随着经济的不断深入发展,以及改革开放带来的机遇与挑战,当代社会迎来一个快速发展的机遇.在互联网大数据的时代背景下,数字在人们工作和学习中扮演着重要的角色.在多项式中又以其不可约的判定方式最为重要.然而一个多项式在数系定义在不同的不同数域情况下得到的有关可约性的性质是有差异的(在后文中会给出相关的介绍).本课题在探讨多项式可约性的的判定方式时,是放在有理数域上进行研究的.我们将探讨总结几种定义判定方式,使我们更好地更迅速地解决遇到有关多项式的问题.1.2 国内外的发展趋向和发展趋势以及尚待研究的问题艾森斯坦因法,有理根判别法,奇次多项式判别法等等都可为判定定义在有理数域上的多项式是否可约.其中艾森斯坦因判别法最为经典.但是国内外研究发现,艾森斯坦因判别法,有着自身不足的地方,当满足判别法的质数不存在时,我们不能判断这个多项式是否可约.这时须要我们总结更多的关于多项式在有理数域上不可约的判定方法.需要通过我们归纳总结以后,得到一个较为全面的解决多项式不可约的方法,使得在理数域上多项式不可约的判定更加系统化.在遇到特殊的有理数系上的不可约多项式时,可以找到对应的判定方法快捷准确滴解决多项式不可约的判定问题.2 有理数域上的多项式在介绍和总结多项式在有理数域上不可约的相关判别方式之前,我们需要先了解一下相关概念等知识.2.1 不可约多项式的概念过去我们都知道一个多项式可进行因式分解,即分解成几个因式乘积的形式,其实我们仅仅是在有理数域上考虑这个多项式是否能进行因式分解,却并没有进一步讨论和研究这个问题,也没有严格地讨论和证明它们是否真的不可再分.其实不可再分的概念,是相对的,是相对于系数的的数域而言的,并非绝对.用以下例子加以说明对进行分解,可分解为 正如上面所说的那样,我们考虑这个多项式所在的数系仅仅是而是有理数域,但是若是将放在实数域上,则还可以因式分解为为 并且在复数域上,还可以再进一步因式分解为由上述分析可以得出结论,必须在给定的数域进行分析,所谓的不可再分只是相对的的,只有明确系数域后,才有确切的涵义.所以多项式是否可约与数域紧密相关.将数域作为选定一个系数域,作为多项环,则关于多项环在数域上的多项式的因式分解的不可约定义如下:定义 数域上的次数大于或等于1的多项式称为域上的不可约多项式,如果它不能表示成数域上两个次数比的次数低的多项式的乘积.2.2 本原多项式 设是有理数域上的一个多项式,取一整数b,前提条件是总是一个系数为整数的多项式式,若的每一项系数都有公因子,那么公因子可以提出来,得到,也就是,其中是有理数域上的一整系数多项式,而且的每一项系数都只有这样的公约数,例如一多项式.定义 若一个系数非0且为整数的多项式,该多项式的系数除了没有其他的公因子,即该多项式的所有系数都是互质的,则该多项式被称作为一个本原多项式.2.3 有理数域上多项式的等价设是有理数域上的任意一个非0的有理系数多项式,通过上述分析可知,都可以写成,其中为有理数域上任意一个数,是一个本原多项式，那么称与等价,即讨论有理数域上任意一个系数非0的多项式的问题最终都等价地转换为讨论该多项式的一个本原多项式的问题.3 有理数域上多项式不可约的判别方法3.1 有理根判别法利用是否有有理根的判别方式判定多项式在有理数域上不可约其实很简单,其前提条件是针对次数小于或者等于三次的多项式.有理根判别法顾名思义只需验证该多项式是否有有理根,如果有有理根,则在有理数域上可约.例1 判别多项式在Q上不可约.解 的最高次项的次数是2,所以可以运用有理根判别法.由有理根判别法,若可约,则一定有有理根,又的可能有理根是:士1,士7.因为,所以士1、士7均不是的有理根,故在有上不可约.例 证明在有理数域上不可约.解 的最高次项的次数是3,所以可以运用有理根判别法.又士1、士107是可能存在的有理根,而，所以士1、士107都不是的有理根,故在上不可约.当然有理数域上多项式的次数大于3，不能用上述判定方式.例2 设是有理数域上的一个多项式,试证明在有上不可约.解 我们通过前面关于有理根的相关分析和研究,知道士1、士4是可能存在的有理根,但是，.所以运用有理根判别法,我们会得出在上是不可约的结论.但是是有理数域上可约的多项式,因为.因此针对次数大于或者等于4的整系数多项式,有理根判别法不适用,这就需要给出其他的判别方法进行判定.3.2因式分解唯一性判别方法定理 因式分解的唯一性定理定理 数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.把多项式分解成实数域上次数比它小的几个不可约的因式乘积的形式,而将有理数域看做成实数域上的一部分.如果该多项式不可约的因式全都是有理数,由因式分解的唯一性定理确定了关于该多项式的不可约因式是唯一的的,可以得知,该多项式在上必然可约.例4 证明在有理数域上不可约.解 ，结合因式分解的唯一性定理可以知道,若在有理数域上具有可约性,必须是该等式,但由于上述等式右边系数不都是有理数,故在有理数域上不可约.例5 证明在有理数域上不可约.解 ,结合因式分解的唯一性定理可以知道,若在有理数域上具有可约性,必须该等式,但由于上述等式右边系数不都是有理数,故在有理数域上不可约.3.3 艾森斯坦因(Eisenstein)判别法及推广3.3.1 艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法 定理 设是一个整系数多项式,若有一个素数使得(1)不整除最高次项的系数;(2)整除其他各项的系数;(3)不整除常数项.那么多项式在有理数域上不可约.证明 反证法 假设是有理数域上的一个非0的多项式,那么就可以写成如下形式: 所以 ,.由被整除,得到或能被整除.可是不能被整除,故和不能被同时整除.所以不妨假设不能被能整除,但不能被整除.另一方面,因为不能被不整除,所以不能被整除,假定,中首先不能被整除的是.比较一下中的系数,得出等式 式中能整除,故必须整除.可是是一个质数,故至少能整除与中一个.这是与前面所述矛盾.所以在有理数域上是不可约.例6 证明在上不可约.证明 若取,则有: （1）不能被整除; （2）,可以被整除; （3）不能被整除.故在有理数域上不可约.例7 在任意的情况下,证明在有理数域上不可约.解 取,则有:(1) 不能被整除;(2) ，不能被整除;(3) 不能被整除.故在有理数域上不可约.3.3.2艾森斯坦因(Eisenstein)间接判别法有一类上的多项式不适合用艾森斯坦来判别,因为有些并不能满足定理的条件,所以想到多项式的等价替换,我们可以尝试对其做适当替换,给出艾森斯坦因间接判别法.定理 有理系数多项式在有理数域上不可约的充分必要条件是：对于任意有理数和,多项式在有理数域上不可约.证明 (充分性) 反证法.已知在上不可约.若在上可约,那么可以设,（为上多项式),于是,这与不可约矛盾,故在有理数域上不可约.(必要性) 反证法.已知不可约.如果在上可约,即（是上多项式.）在上式中用代替，有 ,这说明在有理数域上是可约的,与已给条件矛盾.所以在上不可约.所以对于一些在有理数域上的多项式,当不能直接用艾森斯坦因判别方式判定该多项式可约性时,可通过适当的替换后,再用艾森斯坦因判别方式来判断.例8 证明在有理数域上不可约.证明 取,则有不被整除,能被整除,不被整除.这些都符合前面给出的艾森斯坦因判定方式的几个条件，故通过前面的分析我们可得出结论在有理数域上不可约,故在有理数域上不可约.例9 证明在有理数域不可约.证明 令,显然,倘若在上不可约,则没有有理根,令,代入则 由于(1) 5整除120,240,125,3;(2) 5不整除24;(3) 不整除30 故由艾森斯坦因间接判别方式可以证明出在有理数域上不可约,故在有理数域上不可约.艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法和间接判别法是判定多项式在上非常常用的方法,但是,这种方法是有局限性的,因为不一定每次都能找到适合的数字,使得成立,故我们给出如下的一种判别式.3.3.3 通过艾森斯坦因(Eisenstein)判别法派生出的一种判别法定理 设有理数域上是一个整系数多项式.若存在一个质数,使得(1)不整除常数项;(2)整除其他各项的系数;(3)不整除最高次项系数.则在有理数域上不可约.证明 若可约,那么可以写成:.设 其中 .于是 .因,而不能被整除.和其中的一个能被整除.可以假设能被整除而不能被整除.可以说的所有系数不能被整除,否则会与 (1)矛盾.设不能整除的最后一个系数为.参考等式 通过假设 因此,从而,或,这与假设矛盾.例10 证明在有理数域上不可约.证明 不可以用艾森斯坦因(Eisenstein)来判定,因为无法找到一个质数使得(1) 最高次项的系数被整除;(2) 其他各项的系数都能被整除;(3) 常数项不被整除.三个条件都满足.但存在质数,满足(1) 2不能被3整除;(2) 3,9,12,6能被3整除;(3) 3不能被整除.故在有理数域上不可约.例11 证明在有理数域上不可约.证明 不可以用艾森斯坦因判别方式,因为无法找到一个质数使得(1) 最高次项的系数被整除;(2) 其他各项的系数都能被整除;(3) 常数项不被整除.三个条件都满足.但存在质数,满足(1) 4不能被3整除;(2) 3,12,6能被3 整除;(3) 3不能被整除.故在有理数域上不可约.一类特殊的多项式并满足用上述判定方式的判别条件,但是这类的多项式也可能是不可约的.同样的情况也适用于直接判别法和派生出的判别法.针对这类情况,引出艾森斯坦因(Eisenstein)推广法的推广.3.3.4艾森斯坦因判别法的推广定理 设整系数多项式,假如有质数使得:(1) 不能整除; (2) 整除;(3) 不能整除;(4) 不能整除,其中整除,且,故在有理数域上不可约.例12 证明多项式在上不可约.证明 因为,取,则有:(1) 不能被整除;(2) 被整除,被整除;(3) 不能被整除;(4)不能被整除.故在Q上不可约.上面的几种判别方式都有局限性的,下面我们将给出其他方法用于判定.3.4 反证法 我们在没有找到艾森斯坦因判别法中质数时,经常运用反证法来证明.例13 证明在上不可约,其中是个整数.证明 反证法,若多项式在上可约,则一定存在系数为整数的多项式,有.,由,可得:,或者,则是等于0,此时首项系数为,与题设条件矛盾,故在上不可约.3.5 克朗奈克判别法定理 设,则在有限步下能分解成不可约多项式的乘积 克朗奈克判别法.(只考虑是系数定义在整系数域上的多项式.)证明 令,且.下面对用第二数学归纳法证.当时定理显然成立.假设定理对于小于的整系数多项式已经成立).那么对于次整系数多项式,若可分解,设其为,则必有一个次数的因式,所以考虑在有限步下作出的次数的因式的方法.对此,设,取个互不相同的整数并计算它们的函数值再将析因,各取其中的一个因数,记作.这样得到了个数对.根据拉格朗日插值公式,它们唯一地确定了一个次数不超过的多项式.因为不全为0.显然它可以是整系数的.作出这样的多项式并用它去除.由于的因数个数是有限的,设它为,那么这样的不同的至多是个.因此上述所构造的及用除的步骤是有限的.若对于所有这样的都有不整除则断言是不可约的.因为若不然,则有,其中不妨设.这时,整除,因而由的因数唯一决定,与我们的假设相矛盾,故这时定理成立.又若有某个整除,则得,其中.因而由归纳假定,也存在着一种方法(在一般情况下就是前面所述的求的方法).在有限步下把它们分解为不可约多项式的乘积,故这时定理也真.因此,根据第二归纳法原理,定理成立.显然,以上证明不仅给出了将次数大于1的整系数多项式分解为Q上的不可约多项式的乘积的一般方法,而且这种做法包括了Q上不可约多项式的判别.例14 证明在有理数域上不可约.证明 ,取,则,从而 的因子是0,的因子是1的因子是1,2.令,;应用插值多项式知:;由带余除法可知,不整除,不整除,从而在Q上不可约.但是,由于这种做法比较麻烦,其实用价值依赖于计算机技术.3.6 综合法在遇到一些特殊的多项式时,如果发现用前面所给的一种方法判定较为复杂时,可以同时使用前面方法中的几种方法来判定多项式不可约的问题.例15 证明在有理数域上不可约.证明 的有理根只有两个,分别是和，但是,所以没有一次因式,所以若可约,则只能表示成两个因式乘积的形式.令,其中和都为整数. 比较等式两边的系数,得,.即,则,与为整数矛盾.故在有理数域上不可约.4 其他特殊多项式不可约的判别方法4.1 奇次多项式的判定方法定理 对于整系数多项式若存在素数使(1) |(2) |(3) ；(4) .那么,在有理数域上不可约.例16 证明在有理数域上不可约.证明 不可以用艾森斯坦因(Eisenstein)来判定在有理数域上是否可约,因为无法找到一个质数使得(1) 最高次项的系数被整除;(2) 其他各项的系数都能被整除;(3) 常数项不被整除三个条件都满足.但可找到素数,满足定理4.1的四个条件,(1) 4能被2整除; (2) 16能被2整除,6能被2整除; (3) 73不能被2整除;(4) 6不能被整除.故在有理数域上不可约.需要注意的是奇次的判定方法有局限性,而不是必要条件.当某一多项式不适合上述判定法时,我们需要转换其他的判定法进行可约性验证.4.2 形如的判定方法有一些多项式很特别,我们可以不用前面介绍的判定法,就可以对这类多项式在有理数域上的可约性进行快速判定.给出下面一种判定方式,更简单地更快速地判定一类定义在上多项式不可约的相关问题定理 对于整系数多项式,如果为奇数,则在有理数域上不可约.证明 假设可约,则存在整数,使得 即有 由为奇数,可得为奇数故为奇数从而为奇数,进而为偶数,这与为奇数矛盾.得证. 例17 证明在上不可约.证明 因,为奇数,故在有理数域上不可约.当abc的乘积不为奇数的时候,不能用这种方式判定多项式在上可约性.例18 证明多项式在有理数域上不可约.解 .由于,14是偶数,故用上面给出的判定方法无法知道在有理数域上是否可约.其实很简单,运用前面给出的有理根判别方法,的最高次项的次数是2，所以可以运用有理根判别法.由有理根判别法,若可约,则一定有有理根,又的可能有理根是: -1、1、-7、7.因为,所以-1、1、-7、7均不是的有理根,故在有理数域上不可约.5 结 论对于系域定义在有理数域上的多项式,其不可约的判定方法有多种,本文给出了其中的几种判定方式.可是其中几种判别方式有着一些不足的地方.但是通过我们归纳总结以后,得到一个较为全面的解决多项式不可约的方式,几种判定方法之间形成互补关系,使得定义在有理数域上的多项式可约性的相关判定越发全面准确,在遇到特殊的定义在有理数域上的不可约多项式时,找到对应的判定方式，便于快捷准确地解决多项式不可约的判定问题.谢 辞时光荏苒,美好的大学四年时间过得飞快,眼看着到了和母校说再见的时候,无论我在社会上去的怎样的成就,我都不会忘记我的母校,忘不了我生活了四年的母校蚌埠学院.我十分感谢母校四年来对我的栽培,让我健康成长;四年来为我提供了优质的生活学习环境,为我们走入社会打下坚定地基础.再此我也向学校的领导和主任报以衷心的感谢,感谢四年来你们对我们广大学子的关心,多次操心于开展各种活动促进我们德智体美全面发展,再次我想说你们辛苦了!其次,特别感谢我的指导刘晓敏老师.在毕业论文的设