圆锥曲线知识点与练习.doc

圆锥曲线第1课时椭圆与双曲线的几何性质班别 姓名 学号一、椭圆与双曲线的标准方程与性质椭圆双曲线定义1到两定点F1、F2的距离的和等于常数2 a(2 a | F1F2| )的动点M的轨迹叫椭圆。即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a定点F1、F2叫焦点，| F1F2| 叫焦距。到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2 a (2 a | F1F2| )的动点M的轨迹叫双曲线。即 | M F1 | - | M F 2 | = 2 a定点F1、F2叫焦点，| F1F2| 叫焦距。定义2到一个定点F1的距离和到一条定直线l的距离的比等于常数( 0 e 1)的动点M的轨迹叫双曲线。定点F1叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，e叫做双曲线的离心率。标准方程(a b 0 )(a b 0 )(a 0 , b 0 )(a 0 , b 0 )判断焦点位置方法谁的分母大，谁就做a 2，焦点在相应字母的坐标轴上。（a一定大于b ）（焦点始终在长轴所在的直线上）x 2项的系数为“+”，则焦点在x轴上，相应的项的分母为a 2；y 2项的系数为“+”，则焦点在y轴上，相应的项的分母为a 2。（ a不一定大于b ）（焦点始终在实轴所在的直线上）图形范围- a x a - b y b - b x b - a y a x - a或x ay - a或y a顶点坐标(a , 0 ) , (0 , b )(b , 0 ) , ( 0 , a )(a , 0 ) (0 , a )焦点坐标(c , 0 ) 焦距长2 c c 2 = a 2 b 2( 0 ,c ) 焦距长2 cc 2 = a 2 b 2(c , 0 ) 焦距长2 cc 2 = a 2 + b 2( 0 , c ) 焦距长2 cc 2 = a 2 + b 2轴长轴长| A 1 A 2 | = 2 a ，短轴长| B 1 B 2 | = 2 b 实轴长| A 1 A 2 | = 2 a，虚轴长| B 1 B 2 | = 2 b对称性关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称离心率 （ 0 e 1 ）准线方程x = y =x = y =渐近线方程y =y =通径长练习1、椭圆与双曲线方程特征1、已知方程，（1）若方程表示的图形是圆，则k的取值范围是_；（2）若方程表示的图形是椭圆，则k的取值范围是_；（3）若方程表示的图形是双曲线，则k的取值范围是_。2、若，则“”是“方程表示双曲线”的( ) （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件. （06年上海春季）3、若点M到两定点F 1 (1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距离之差等于2，则点的轨迹是（ ）(A) 双曲线 (B) 双曲线的一支 (C) 两条射线 (D) 一条射线 4、若点M到两定点F 1 ( 0 , 1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距离之和等于2，则点的轨迹是（ ）(A) 椭圆 (B) 直线F 1 F 2 (C) 线段F 1 F 2 (D) F 1 F 2的中垂线 5、已知圆锥曲线m x 2 + 4 y 2 = 4 m的离心率e为方程2 x 2 5 x + 2 = 0的两根，则满足条件的圆锥曲线有（ ）条(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6、已知三点P(5,2）,(6,0), (6,0），（）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（）设点P、关于直线yx的对称点分别为、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。（06年江苏）练习2、椭圆与双曲线的几何性质7、已知椭圆，请填写下表：长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程8、已知椭圆，请填写下表：长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程9、已知双曲线，请填写下表：实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程10、已知双曲线，请填写下表：实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程练习3、双曲线中与渐近线有关的问题（1）由双曲线方程求渐近线方程步骤：把双曲线的标准方程右边常数1换成0，则并化简可得到渐近线方程.（2）若已知渐近线方程为，变形得，则可设双曲线方程为，其中为待定系数.若能判断焦点的位置时，可进一步设双曲线方程为（焦点在x轴上）或（焦点在y轴上）. （3）与共渐近线双曲线的方程可设为.11、与双曲线有共同渐近线，并且过点M (3 , 2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 12、焦点为F ( 0 , 10 )，渐近线为4 x + 3 y = 0的双曲线方程为_ 13、焦距为10，渐近线为x2 y = 0的双曲线方程为_ 练习4、求椭圆与双曲线的离心率。14、(03年北京)直线过椭圆的左焦点和一个顶点B，该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 15、在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）(A) (B)2 (C) (D)216、过双曲线(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_17、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）(05年全国卷III)（A） （B） （C） （D）18、双曲线的中心在原点，实轴长为4，一条准线方程是x =，则双曲线的离心率是_19、已知双曲线的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（ ）（06年全国卷II）（A） (B) (C) (D)20、已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（ ）A. B. C. 2 D.4 （2006年广东卷）21、已知a b 0，e1 , e2分别为圆锥曲线和的离心率，则lg e1 +lg e2的值（ ）(A) 一定是正数 (B) 一定是负数 (C) 一定是零 (D) 以上答案均不正确 练习5、利用椭圆的第一定义，求焦点三角形的边长、周长和面积22、已知ABC的顶点B、C在椭圆 y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（ ） （2006年全国卷II）（A）2 （B）6 （C）4 （D）1222、已知双曲线的实轴长为2 a，AB为左支上过焦点F 1的弦，| AB| = m ，F2为双曲线的另一个焦点，则ABF2的周长是_ 23、如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_（06年四川卷）24、若双曲线(a 0 , b 0 )与椭圆( m n 0 )有相同的焦点F 1 , F 2，P是两曲线的一个交点，则| P F 1 | P F 2 | 等于（ ）(A) m a (B) ( m a ) (C) m 2 a 2 (D) 25、椭圆的焦点F 1, F 2在x轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为8，（1）求椭圆的标准方程； （2）设点M在椭圆上，且求F1MF2的面积。26、已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（ ）（A） （B） （C） （D）(05年全国卷III) 答案：（C） 圆锥曲线第1课时椭圆与双曲线的几何性质班别 姓名 学号一、椭圆与双曲线的标准方程与性质椭圆双曲线定义1到两定点F1、F2的距离的和等于常数2 a(2 a | F1F2| )的动点M的轨迹叫椭圆。即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a定点F1、F2叫焦点，| F1F2| 叫焦距。到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2 a (2 a | F1F2| )的动点M的轨迹叫双曲线。即 | M F1 | - | M F 2 | = 2 a定点F1、F2叫焦点，| F1F2| 叫焦距。定义2到一个定点F1的距离和到一条定直线l的距离的比等于常数( 0 e 1)的动点M的轨迹叫双曲线。定点F1叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，e叫做双曲线的离心率。标准方程(a b 0 )(a b 0 )(a 0 , b 0 )(a 0 , b 0 )判断焦点位置方法谁的分母大，谁就做a 2，焦点在相应字母的坐标轴上。（a一定大于b ）（焦点始终在长轴所在的直线上）x 2项的系数为“+”，则焦点在x轴上，相应的项的分母为a 2；y 2项的系数为“+”，则焦点在y轴上，相应的项的分母为a 2。（ a不一定大于b ）（焦点始终在实轴所在的直线上）图形范围- a x a - b y b - b x b - a y a x - a或x ay - a或y a顶点坐标(a , 0 ) , (0 , b )(b , 0 ) , ( 0 , a )(a , 0 ) (0 , a )焦点坐标(c , 0 ) 焦距长2 c c 2 = a 2 b 2( 0 ,c ) 焦距长2 cc 2 = a 2 b 2(c , 0 ) 焦距长2 cc 2 = a 2 + b 2( 0 , c ) 焦距长2 cc 2 = a 2 + b 2轴长轴长| A 1 A 2 | = 2 a ，短轴长| B 1 B 2 | = 2 b 实轴长| A 1 A 2 | = 2 a，虚轴长| B 1 B 2 | = 2 b对称性关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称离心率 （ 0 e 1 ）准线方程x = y =x = y =渐近线方程y =y =通径长练习1、椭圆与双曲线方程特征1、已知方程，（1）若方程表示的图形是圆，则k的取值范围是_；（2）若方程表示的图形是椭圆，则k的取值范围是_；（3）若方程表示的图形是双曲线，则k的取值范围是_。答案：（1） （2）1 k 2 且k （3）k 22、若，则“”是“方程表示双曲线”的( ) （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件. （2006年上海春卷）答案： A3、若点M到两定点F 1 (1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距离之差等于2，则点的轨迹是（ ）(A) 双曲线 (B) 双曲线的一支 (C) 两条射线 (D) 一条射线 答案：(D)4、若点M到两定点F 1 ( 0 , 1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距离之和等于2，则点的轨迹是（ ）(A) 椭圆 (B) 直线F 1 F 2 (C) 线段F 1 F 2 (D) F 1 F 2的中垂线 答案：(C)5、已知圆锥曲线m x 2 + 4 y 2 = 4 m的离心率e为方程2 x 2 5 x + 2 = 0的两根，则满足条件的圆锥曲线有（ ）条(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答案：(C)解：易知e = 2或 ，由e = 2得焦点在x轴上的双曲线一条，由得焦点在x轴上的椭圆一条或焦点在y轴上的椭圆一条，选(C)6、已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0）. （）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（）设点P、关于直线yx的对称点分别为、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。（06年江苏）解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为(ab0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为练习2、椭圆与双曲线的几何性质7、已知椭圆，请填写下表：长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程1086( 0 , 3 )y =8、已知椭圆，请填写下表：长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程1086(3 , 0)x =9、已知双曲线，请填写下表：实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程8102(0 , )10、已知双曲线，请填写下表：实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程8102(, 0)练习3、双曲线中与渐近线有关的问题（1）由双曲线方程求渐近线方程步骤：把双曲线的标准方程右边常数1换成0，则并化简可得到渐近线方程.（2）若已知渐近线方程为，变形得，则可设双曲线方程为，其中为待定系数.若能判断焦点的位置时，可进一步设双曲线方程为（焦点在x轴上）或（焦点在y轴上）. （3）与共渐近线双曲线的方程可设为.11、与双曲线有共同渐近线，并且过点M (3 , 2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 答案： (C)（晨练题十二练习4）12、焦点为F (, 0 )，渐近线为y =3 x的双曲线方程为_答案：（05年上海） (同步44页练习6)解：设所求的双曲线方程为，即 ，+ 9= 10 ， = 1 所求的双曲线方程为12、焦点为F ( 0 , 10 )，渐近线为4 x + 3 y = 0的双曲线方程为_ 答案：（晨练题十二练习1）解：设所求的双曲线方程为，即 ， 16+ 9= 100 ， = 4 所求的双曲线方程为 即13、焦距为10，渐近线为x2 y = 0的双曲线方程为_ 答案：或解：（1）当焦点在x轴上时，设所求的双曲线方程为，即 4+= 25 ， = 5 所求的双曲线方程为，即（2）当焦点在y轴上时，设所求的双曲线方程为，即 4+= 25 ， = 5 所求的双曲线方程为，即练习4、求椭圆与双曲线的离心率。14、(03年北京)直线过椭圆的左焦点和一个顶点B，该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 15、在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）(A) (B)2 (C) (D)2(06年山东文科)（五年131页练习2） 答案：(C)解： 由得 由得 = 得 16、过双曲线(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_(05年浙江)（五年131页练习12） 答案：2解：易知MNA为等腰直角三角形，且MAN为直角 = b 2 = a 2 + a c = c 2 a 2 = a 2 + a c = c 2 a c 2 a 2 = 0 = e 2 e 2 = 0= ( e 2 ) ( e + 1 ) = 0 = e = 217、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）(05年全国卷III)答案：（D）（A） （B） （C） （D）18、双曲线的中心在原点，实轴长为4，一条准线方程是x =，则双曲线的离心率是_答案：419、已知双曲线的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（ ）（06年全国卷II）答案： (A )（A） (B) (C) (D)20、已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（ ）A. B. C. 2 D.4 （2006年广东卷）答案：C21、已知a b 0，e1 , e2分别为圆锥曲线和的离心率，则lg e1 +lg e2的值（ ）(A) 一定是正数 (B) 一定是负数 (C) 一定是零 (D) 以上答案均不正确 答案：(B)解： ， lg e1