初二数学上册各章节知识点例题.doc

_初二数学高分速成（上册）第十一章 全等三角形1一、全等三角形及其判定1（一）知识总结1（二）例题精讲1知识点一：全等三角形的性质1知识点二：三角形全等的判定2知识点三：三角形全等的开方性探索4二、证明三角形全等的常见思路4（一）规律总结4（二）例题精讲5考点一：已知一边与其一邻角对应相等5考点二：已知两边对应相等6考点三：已知两角对应相等8三、角的平分线的性质10（一）知识总结10（二）例题精讲10知识点一：(尺规作图)作角平分线10知识点二：角平分线的性质定理11知识点三：角平分线的逆定理12四、角平分线类问题常用思路13（一）规律总结13（二）例题精讲13考点一：利用“角平分线的对称性”求解13考点二：利用“角平分线的性质”求解15第十二章 轴对称图形16一、轴对称图形 知识总结16（一）知识总结16（二）例题精讲17知识点一：轴对称17知识点二：作轴对称图形18知识点三：等腰三角形20二、轴对称应用及等腰三角形的方法规律总结21（一）规律总结21（二）例题精讲21考点一：证明一个三角形是等腰三角形的方法21考点二：巧用“三线合一”证题及轴对称应用22第十三章 实数及其运算24一、实数及其运算24（一）知识总结24（二）例题精讲24知识点一：平方根、算术平方根的概念及表示方法24知识点二：平方根、算术平方根的性质25知识点三：立方根的概念与性质25知识点四：有理数、无理数、实数的概念26知识点五：实数的运算27二、实数运算中常见错误及原因分析28（一）规律总结28（二）例题精讲28考点一：忽视公式适用的条件28考点二：忽视结果的化简29考点三：与算术平方根的乘除运算混淆29第十四章 一次函数30一、一次函数及其图像 知识总结30（一）知识总结30（二）例题精讲31知识点一：变量与函数31知识点二：一次函数与正比例函数的意义32知识点三：待定系数法求一次函数的解析式33二、一次函数及其图像 规律总结34（一）规律总结34（二）例题精讲34考点一：考定义34考点二：求解析式34考点三：考查函数的性质35三、用函数观点看方程（组）与不等式一次函数36（一）知识总结36（二）例题精讲37知识点一：一次函数与一元一次方程37知识点二：一次函数与一元一次不等式38知识点三：一次函数与二元一次方程(组)40四、用一次函数解决问题的方法技巧41（一）规律总结41（二）例题精讲42考点一：利用一次函数求一元一次方程的解42考点二：利用一次函数式求一元一次不等式的解集42考点三：利用一次函数解二元一次方程组43第十五章 整式的乘除与因式分解45一、整式的乘除45（一）知识总结45（二）例题精讲45知识点一：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算45知识点二：整式的乘法运算46知识点三：整式的乘法公式（平方差公式及完全平方公式）46知识点四：整式的除法47二、学习乘法公式应注意的问题48（一）规律总结48（二）例题精讲48考点一：注意掌握公式的结构特点48考点二：注意创造条件使用公式49考点三：注意乘法公式的逆用49三、因式分解基础知识与分解方法50（一）知识总结50（二）例题精讲51知识点一：提公因法分解因式51知识点二：公式法分解因式52知识点三：巧用因式分解的解题52四、选择合适的方法因式分解53（一）规律总结53（二）例题精讲53考点一：拆项、添项法分解因式53考点二：换元法分解因式54考点三：整体思想分解因式55-可编辑修改-初二数学高分速成讲义第十一章 全等三角形一、全等三角形及其判定（一）知识总结（二）例题精讲知识点三：三角形全等的开方性探索 知识点二：三角形全等的判定知识点一：全等三角形的性质知识点一：全等三角形的性质A、夯实基础例1: 已知：如图，OADOBC，且O70，C25，则OAD_度. 【解析】此题可根据全等三角形的对应角相等得 OADOBC OAD=OBC=1807025=85.【解答】85B、双基固化例2: 如图，ABCDEF,则有下列判断正确的是( )。A.AB=DF B.AC=DFC.A=F D.B=D【解析】本题根据全等三角形的对应边相等,对应角相等判断即可.【解答】B.C、能力提升例3: 如图,ABCAED,B和E是对应顶点,写出图中相等的线段和相等的角. 【解析】根据全等三角形的对应边相等,对应角相等判断即可.关键要做到不重不漏.【解答】相等的线段有:AB=AE,AC=AD,BC=DE，BD=EC 相等的角有:B=E,BAC=EAD,ACB=ADE。知识点二：三角形全等的判定A、夯实基础例4: 如图，AE=CF，AFD=CEB，DF=BE，AFD与 CEB全等吗？为什么？【解答】AFD CEB理由：AE=CFAEFE=CFEF，即AF=CE在AFD和 CEB中AF=CEAFD=CEB，DF=BE AFDCEB（SAS） B、双基固化例5: （2010年福州）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC=EF，ABDE，A=D。 求证：ABCDEF。【解答】证明： ABDE， B=DEF 在ABC和DEF中， B=DEF A=D BC=EF ABCDEF（AAS）C、能力提升例6: （2010年宁德市）如图，已知AD是ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使AEDAFD，需添加一个条件是：_，并给予证明. 【解答】解法一：添加条件：AEAF 证明：在AED与AFD中， AEAF，EADFAD，ADAD， AEDAFD（SAS）.解法二：添加条件：EDAFDA证明：在AED与AFD中， EADFAD，ADAD，EDAFDA， AEDAFD（ASA）. 知识点三：三角形全等的开方性探索 A、夯实基础例7: 如图，已知ABC和DCB中，AB=DC，请补充一个条件_，使ABC DCB。【解析】已知两边：（1）找夹角： ABC=DCB （SAS）；（2）找第三边：AC=DB （SSS）；（3）找直角：A=D=90（HL）。【解答】 ABC=DCB或AC=DB或A=D=90。B、双基固化例8:如图，已知C= D，要使ABC ABD，需要添加的一个条件是_ 。【解析】已知一边一角（边与角相对），找任一角，CAB=DAB或者CBA=DBA。【解答】CAB=DAB 或者CBA=DBA C、能力提升例9: 如图，已知B=E，要使ABC AED，需要添加的一个条件是_ 。【解析】已知两角：（1）找夹边：AB=AE（ASA）；（2）找一角的对边：AC=AD或DE=BC(AAS)。【解答】AB=AE或AC=AD或DE=BC 二、证明三角形全等的常见思路（一）规律总结（二）例题精讲考点一：已知一边与其一邻角对应相等 考点二：已知两边对应相等考点三：已知两角对应相等 考点一：已知一边与其一邻角对应相等 A、夯实基础例1、已知：如图， AC=DB, 1=2. 求证: A=D。【解答】证明：在ABC和DCB中 AC=DB 1=2 BC=CB ABCDCB （SAS） A=D B、双基固化例2、已知：如图，点在上，求证：ABCDEF【解答】证明：（已知），即在和中，（全等三角形对应边相等）C、能力提升例3、已知：如图，D是的边AB上一点，交于点，求证：ABCDEF【解答】证明：（已知），（两直线平行，内错角相等）在和中， （全等三角形对应边相等）考点二：已知两边对应相等A、夯实基础例4、已知：如图，AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上，AD=BF,求证：E=C.【解答】证明： AD=FB AD+DB=BF+DB，即AB=FD在ABC和FDE中AC=FEBC=DEAB=FD ABCFDE(SSS) E=CB、双基固化例5、已知：如图，点在上，求证：ABCDE12【解答】证明：（已知），（邻补角定义），在和中，C、能力提升例6、已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，求证：，MADNCB【解答】证明：（已知），即在和中，（全等三角应角相等），（同位角相等，两直行）考点三：已知两角对应相等 A、夯实基础例7、已知：如图，点在同一条直线上，求证：【解答】证明：（已知）， ，即 在和中，（全等三角形对应边相等）B、双基固化例8、已知：如图，交于点，为上两点，求证：【解答】证明：（已知），即在和中，C、能力提升例9、已知：如图，E在AB上，1=2，3=4，那么AC等于AD吗？为什么？【解答】AC=AD理由：在EBC和EBD中 1=2 3=4 EB=EB EBCEBD(AAS) BC=BD 在ABC和ABD中 AB=AB 1=2 BC=BD ABCABD (SAS) AC=AD三、角的平分线的性质 （一）知识总结 （二）例题精讲 知识点一：(尺规作图)作角平分线 知识点二：角平分线的性质定理 知识点三：角平分线的逆定理知识点一：(尺规作图)作角平分线 A、夯实基础 如图所示,已知AOB,求作射线OC,使OC平分AOB,作法的合理顺序是( C ) (1)作射线OC；(2)在OA和OB上,分别截取OD,OE,使OD=OE (3)分别以D,E为圆心,大于 DE的长为半径作弧,在AOB内,两弧交于点C A(1)(2)(3) B(2)(1)(3) C(2)(3)(1) D(3)(2)(1) 【解析】注意作图步骤B、双基固化 如图,已知AOB和定长线段a,在AOB内找一点P,使P 到OA,OB的距离都等于a,做法如下:(1)作NHOB于H,使NH=a(2)过N作NMOB(3)作AOB的平分线OP,与NM交于P点P即为所求其中(3)的依据是( B ). A平行线之间的距离处处相等 B到角的两边距离相等的点在角的平分线上C角的平分线上的点到角的两边的距离相等D到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上【解析】注意区分角平分线性质定理与逆定理C、能力提升 如图,已知ACB =,EFO =用直尺和圆规求作一个, 使得=作图如下,下列叙述正确的是( ) A.首先作EOF的角平分线,将EOF一分为二即得再以CA为边,在ACB的内部作ACD=,则BCD即为所求B.首先作EOF的角平分线,将EOF一分为二即得再在ACB的内部作ACD=,则BCD即为所求【解析】没有说明“以CA为边” C. 首先作EOF的角平分线,将EOF一分为二即得再以CA为边作 ACD= ,则BCD即为所求【解析】C没有说明“在ACB的内部” D. 首先作EOF的角平分线,将EOF一分为二即得再以CA为边,在ACB的内部作 ACD= ,则ACD即为所求【解析】不一定等于ACD 知识点二：角平分线的性质定理A、夯实基础 如图,AD平分BAC,点P在AD上,若PEAB,PFAC,垂足分别为E、F,则PE与PF的长度关系是_PE=PF 【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等,所以PE=PF. B、双基固化 如图,在ABC中,C=90,AD是BAC的平分线,若DC=6,则D点到AB的距离是_6_ 【解析】如图,过点D作DEAB,垂足为E,则DE是D点到AB的距离,DCAC,AD是BAC的平分线,DE=DC=6 C、能力提升 P在MON的角平分线上,PAOM于A,PBON于B,若OA=6cm,OP=10cm,则PB=_8cm 【解析】在RtAOP中又角平分线上的点到角两边的距离相等, PB=PA=8cm 知识点三：角平分线的逆定理A、夯实基础 如图所示,已知PBAB,PCAC,且PB=PC,D是AP上一点,则点D在_BAC_的角平分线上,同时又上在_BPC _的角平分线上【解析】PB=PC,PA=PA,RtABPRtACP,BPA=CPA, 点D在BPC的角平分线上 BAP=CAP点D在BAC的角平分线上B、双基固化 如图所示,要在河流的南边,公路左侧的M区建一个工厂,要求工厂的位置到河流和公路的距离相等,并且到河流域公路交叉点A处的距离为1cm,(指图上的距离),则图中工厂的位置应在_,理由是_ 【解析】将河流和公路看做两条线,再利用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”解答【解答】河流与公路夹角的平分线上,并且到交叉点A的图上距离为1cm；到角两边距离相等的点在角的平分线上C、能力提升 如图,已知ABC中,PEAB交BC于E,PFAC交BC于F,P是AD上一点,且D点到PE的距离与到PF的距离相等.求证：AD平分BAC【解析】利用到角两边距离相等的点在这个角的平分线上解答 先证明EPD=FPD,再证明BAD =CAD 证明：D到PE的距离与到PF的距离相等 点D在EPF的平分线上 EPD=FPD 又PEAB, EPD=BAD 同理FPD=CAD BAD =CAD, AD平分BAC四、角平分线类问题常用思路（一）规律总结同学们在学完角平分线和全等三角形之后，就可以根据已知条件和结论再结合角的平分线的特性，通过添加辅助线构造全等三角形往往是同学们寻找证题思路的一个难点，下面以一个例题的几种不同证法来归纳如何利用角平分线构成全等三角形的常见辅助线的作法（二）例题精讲考点一：利用“角平分线的对称性”求解 考点二：利用“角平分线的性质”求解考点一：利用“角平分线的对称性”求解 因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形A、夯实基础例1、如图，BCAB，BD平分ABC，且A+C=1800，求证：AD=DCBACDE【解析】可以看作将ABD沿角平分线BD折向BC而构成全等三角形的【解答】证法一、如图，在BC上取BE=AB，连结DE，BD平分ABC，ABD=DBE，又BD=BD，ABDEBD（SAS），A=DBE，AD=DE，又A+C=1800，DEB+DEC=1800，C=DEC，DE=DC，则AD=DCB、双基固化例2、如图，BCAB，BD平分ABC，且A+C=1800，求证：AD=DC【解析】可以看作将ABD沿角平分线BD折向BC而构成全等三角形的【解答】证法二、如图，过A作BD的垂线分别交BC、BD于E、F，连结DE，由BD平分ABC，易得ABFEBF，则AB=BE，BD平分ABC，BD=BD，ABDEBD（SAS），AD=ED，BAD=DEB，又BAD+C=1800，BED+CED=1800，C=DEC，则DE=DC，AD=DCC、能力提升例3、如图，BCAB，BD平分ABC，且A+C=1800，求证：AD=DC【解析】CBD沿角平分线BD折向BA而构成全等三角形的【解答】证法三、如图，延长BA至E，使BE=BC，连结DE， BD平分ABC，CBD=DBE，又BD=BD，CBDEBD（SAS），C=E，CD=DE，又BAD+C=1800，DAB+DAE=1800，E=DAE，DE=DA，则AD=DC考点二：利用“角平分线的性质”求解由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形A、夯实基础例4、已知：如图，在ABC中，C=90,AC=BC,AD平分CAB.求证：AC+CD=AB【解析】要想证明AC+CD=AB，可以在AB上截取AE=AC，然后证明BE= CD即可【解答】证明：在AB上截取AE=AC，AD平分CAB，CAD= DAB，AD=AD，CADEAD，DEA=90，C=90，AC=BC，B=45，B=BDE=45DE=BE，AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB，即AC+CD=AB.B、双基固化例5、如图1，在ABC中，BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.【解析】根据已知可知AD是BAC的平分线，可通过点D作BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.【解答】证明：过点D作DEAB，DFAC，垂足分别为E、F.DA为BAC的平分线，DE=DF.又AD平分BC，BD=CD，SABD=SACD，又SABD=ABDE，SACD=ACDF，ABDE=ACDF，AB=AC.C、能力提升例6、已知：如图，在RtABC中，C=90，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当A满足什么条件时，点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点. 【解析】若点D为AB中点，EDAB，可知BDE和ADE全等，即EAD=EBD，因为EB平分CBA，C=90，所以A=30.【解答】当A =30时，点D恰为AB的中点.A=30，C=90(已知)，CBA=60(直角三角形两锐角互余).又BECBED(已知)，CBE=DBE=30，且EDB=C=90(全等三角形对应角相等)，DBE=A(等量代换)BE=AE(等角对等边)，又EDB=90，即EDAB，D是AB的中点(三线合一).第十二章 轴对称图形一、轴对称图形 知识总结（一）知识总结（二）例题精讲知识点一：轴对称知识点二：作轴对称图形知识点三：等腰三角形知识点一：轴对称A、夯实基础例1: 下列图形是轴对称图形的是 （ ）.（A） （B） （C） （D）【解析】要选择哪个图案是轴对称图形，主要根据轴对称图形的特征：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合.观察所给的四个图案，能沿某直线折叠重合的只有最后一个图形.【解答】（D）B、双基固化例2: 如图1，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离相等？ 图1 图2【解析】本题是一道与线段垂直平分线性质应用有关的题目.解决问题的关键从实际问题中构建数学模型.如图2，将A、B两个居民区看作两个点，将街道看作直线l，则本题实际上是在直线l上求作一点，这点到点A、B的距离相等.作线段AB的垂直平分线即可解决问题.【解答】如图2，（1）连结AB，（2）作线段AB的垂直平分线MN交直线l与点P，则点P就是所求作的奶站的位置.C、能力提升例3: 如图3，ABC中，BAC=120，若DE、FG分别垂直平分AB、AC，AEF的周长为10cm，求EAF的度数及BC的长. 图3【解析】本题主要考查线段垂直平分线性质的应用.要求BC的长,根据已知可得EA=EB,FA=FC,这样BC的长实际就是AE+EF+AF.要求EAF的度数,则只要求到BAE+CAF的度数即可解决问题.【解答】因为BAC=120，所以B+C=60，因为DE垂直平分AB，所以BE=AE，B=BAE，因为FG垂直平分AC，所以AF=CF，C=CAF，所以AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，EAF=BAC-(BAE+CAF)=120-(B+C)=60.知识点二：作轴对称图形A、夯实基础例4: 如图,以直线AE为对称轴,画出该图形的另一部分.【解析】要画出图形的另一部分, 首先要找到图形上的关键点A，B，C，D，E，由于点A，D，E在对称轴上，所以它们的对称点与本身重合，这样只要根据对称的性质作出关键点B、C关于直线AE的对称点，然后用线段连结相应的对称点即可得到图形的另一部分.【解答】作图过程如下：（1）分别作出点B、C关于直线AE的对称点F，H,如图a；（2）连结AF、FD、DH、HE，得到所求的图形,如图b. 图a 图b B、双基固化例5: 用四块如图4所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形.请你在图4、图4、图4中各画一种拼法(要求三种拼法各不相同). 图4【解析】本题是一道与轴对称图形有关的拼图问题，要拼轴对称图案，则需要理解轴对称图形的特征：要某直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合.另外还需要掌握平移等有关知识.设计图案问题一般具有开放性，可以根据自己想象设计出美丽的图案.【解答】下面给出3种不同答案，供参考.如图5. 图5C、能力提升例6: 如图6，（1）作出ABC关于y轴对称的A1B1C1，并写出A1B1C1各顶点的坐标；（2）将ABC向右平移6个单位，作出平移后的A2B2C2，并写出A2B2C2各顶点的坐标；（3）观察A1B1C1和A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴. 图6 图7【解析】（1）在直角坐标系内作ABC关于y轴的对称图形，可先确定关键点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的坐标，描出这些点的坐标，然后顺次连结即可.（2）要作ABC向右平移6个单位的后的A2B2C2，首先要作出A、B、C三点向右平移6个单位的对应点，然后顺次连接即可；（3）要观察A1B1C1和A2B2C2是否关于某直线对称，可连接A1A2，B1B2，C1C2，看它们的垂直平分线是否是同一条直线，如果是，则A1B1C1和A2B2C2就关于这条直线对称，否则，不关于某条直线对称.【解答】（1）如图7所示,A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1);（2）如图7所示,A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1);（3）A1B1C1与A2B2C2关于直线轴对称.知识点三：等腰三角形A、夯实基础例7: ABC中,AB=AC,它的两边分别是2厘米和4厘米,则它的周长是（ ）(A)8厘米 (B)10厘米 (C)8厘米或10厘米 (D)不确定【解答】BB、双基固化例8: 如图是某房屋顶框架的示意图，其中，AB=AC，ADBC，BAC=120，求B、C和BAD的度数.【解析】由AB=AC，可知ABC是等腰三角形，等腰三角形的底边上的高，顶角的平分线重合，根据ADBC，可得AD平分BAC，进一步可以求到各角的度数.【解答】在ABC中，因为AB=AC，所以B=C，因为BAC+B+C=180，BAC=120，所以B=C=(180-120)=30,因为ADBC,所以BAD=BAC=60. C、能力提升例9: 如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB，且DEF也是等边三角形除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的.【解析】本题是一道猜想型探索题.要探索图形中存在哪些相等的线段,可根据等边三角形的性质,通过寻找三角形全等进行探索.【解答】图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE ， 事实上，因为ABC与DEF都是等边三角形， 所以A=B=C=60，EDF=DEF=EFD=60,DE=EF=FD ， 又因为CED+AEF=120，CDE+CED=120， 所以AEF=CDE，同理，得CDE=BFD， 所以AEFBFDCDE（AAS）， 所以AE=BF=CD，AF=BD=CE . 二、轴对称应用及等腰三角形的方法规律总结（一）规律总结1证明一个三角形是等腰三角形的方法（1）利用定义证明，有两边相等的三角形是等腰三角形。（2）等腰三角形的判定定理：等角对等边。2等腰三角形的性质及判定在实际问题中的应用是本节的重点，等腰三角形中主要抓住“三线合一”这一条，注意数形结合的思想，一般等腰三角形的顶点作底边上的高。并利用轴对称的知识解决生活中的实际问题。（二）例题精讲考点一：证明一个三角形是等腰三角形的方法考点二：巧用“三线合一”证题及轴对称应用考点一：证明一个三角形是等腰三角形的方法A、夯实基础例1、如图ABC中AB=AC，A=36，BD平分ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（ ）.A1个 B2个 C3个 D4个【解析】如图，由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，又因为三角形的内角和是180，所以当顶角的度数为36 时，两个底角的度数为72，又因为BD平分ABC，所以DBC=ABD=36，所以三角形ABD和三角形BDC是等腰三角形.【解答】CB、双基固化例2、如图，在ABC中，AB=AC，ABC=60，D、E是BC上的点，BAD=DAE=EAC，则图中等腰三角形有（ ）个.A1个 B2个 C3个 D4个【解析】因为ABC中，AB=AC，ABC=60，所以ABC是等边三角形，所以每个角都等于60，又因为BAD=DAE=EAC，所以BAD=DAE=EAC=20，根据三角形的外角关系可知，ADE=AED，所以ADE也是等腰三角形.【解答】BC、能力提升例3、如图，ABC中，ABC=ACB=60，ABC与ACB的平分线交于O，过点O且平行于BC的直线交AB于M，AC于N，连AO，则图中等腰三角形的个数有（ ）.A5个 B6个 C7个 D9个【解析】因为ABC=ACB=60，所以ABC是等边三角形，又因为ABC与ACB的平分线交于O，且MNBC，所以MBO=MOB=NCO=NOC=30，所以MOB和NOC和BOC和ANM都是等腰三角形.【解答】A考点二：巧用“三线合一”证题及轴对称应用A、能力提升例4、已知，如图1，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高。 求证：AD垂直平分EF【解析】从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有，所以只要证为等腰三角形即可。【解答】 又 AD垂直平分EFB、双基固化例5在锐角AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使PCD的周长最短【解析】PCD的周长等于PC+CD+PD，要使PCD的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA和OB的对称点E、F，则PCD的周长等于线段EF的长【解答】作法：如图作点P关于直线OA的对称点E；作点P关于直线OB的对称点F；连接EF分别交OA、OB于点C、D则C、D就是所要求作的点证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD在OA上任取异于点C的一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HPPHD的周长=HP+HD+PD=HE+HD+DFED+DF=EF而PCD的周长=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EFPCD的周长最短 C、能力提升例6、如图4，已知四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，求证：。【解析】由于MN与CD同在中，又N为CD的中点，于是就想到证为等腰三角形，由于MD、MC为、斜边AB上的中线，因此，所以，问题容易解决【解答】连结DM、CM ，M是AB的中