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_八年级下册课本亮题拾贝161 分式题目 什么条件下，下列分式有意义？（1）； （2）（人教课本P9第8题）解 （1）x0且x1（2）x为任意实数点评 根据分式的定义，要使分母有意义的条件必须满足分母不等于0，否则分式无意义对于分母中只含有一个字母的，结果是这个字母不等于某个数（如x0且x1）；对于分母中含有多个字母的，结果是这些字母不能有某种关系如（xy）；当分母的形式非常特殊的时候，如为x2 + 1，x+ 1，+ 1等或类似情况时，考虑x为任意实数或为非负数当对x的限制条件不止一个时，要注意考虑所有情况演变变式1 在函数中，自变量x的取值范围是 （答案：x3）变式2 若分式的值为0，则x的值等于 （答案：2）变式3 若分式无意义，则实数x的值是 （答案：2）变式4 写出一个含有字母x的分式（要求：不论x取任何实数，该分式都有意义）变式5 已知使分式有意义的一切x的值，都会使这个分式的值为一个定值，求a，b应满足的条件 （答案：11a7b = 0）变式6 使分式（a0）有意义的x应该满足的条件是 （答案：x0且）162 分式的计算题目 计算： （人教课本P23第6（2）题）解 原式=点评 分式的混合运算一定要遵守运算法则，乘方时要分子分母分别乘方，通分是实现异分母相加减的转化手段，但要注意选择最简公分母以简化运算，约分的时候要注意符号，并保证结果为最简分式演变变式1 化简：，其结果是（ ）A B C D（答案：D）变式2 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”小明的做法是：原式；小亮的做法是：原式=（x + 3）（x2）+（2x）= x2 + x6 + 2x = x24；小芳的做法是：原式其中正确的是（ ）A小明 B小亮 C小芳 D没有正确的（答案：C）变式3 先化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：解 说明 这种类型的计算题看似简单，但对同学们是否掌握了使分式有意义的x的值有较高的要求，如此题显然不能取1，1，0163 分式方程题目 张明4小时清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作1小时清点完另一半图书如果李强单独清点完这批图书要几个小时？（人教课本P32第5题）解 设李强单独清点这批图书需要x小时，列方程得解得，经检验得是原方程的解答：李强单独清点这批图书要小时点评 分式方程的应用最主要的集中于行程问题和工程问题，虽然它们实际背景各不相同，但都与时间有关系，分析问题时应注意利用题中隐含的等量关系，解方程后应注意从分式的特点和实际问题的限制两方面进行检验演变变式1 某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为（ ）A BC D（答案：B）变式2 （2009，长春）某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务求引进新设备前平均每天修路多少米解 设引进新设备前平均每天修路x米根据题意，得 ，解得x = 60经检验，x = 60是原方程的解，且符合题意答：引进新设备前平均每天修路60米变式3 某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件两批玩具的售价均为2.8元问第二次采购玩具多少件？（说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价）解 设第二次采购玩具x件，则第一次采购玩具（x10）件，由题意得，整理，得 x2110x + 3000 = 0，解得 x1 = 50，x2 = 60经检验x1 = 50，x2 = 60都是原方程的解当x = 50时，每件玩具的批发价为15050 = 3（元），高于玩具的售价，不合题意，舍去；当x = 60时，每件玩具的批发价为15060 = 2.5（元），低于玩具的售价，符合题意，因此第二次采购玩具60件另法 设第一次采购玩具x件，则第二次采购玩具（x + 10）件，由题意得，整理得 x290x + 2000 = 0，解得 x1 = 40，x2 = 50经检验，x1 = 40，x2 = 50都是原方程的解第一次采购40件时，第二次购40 + 10 = 50件，批发价为15050 = 3（元）不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次购50 + 10 = 60件，批发价为15060 = 2.5（元）符合题意，因此第二次采购玩具60件171 反比例函数题目 指出下列函数中哪一个是反比例函数，并指出k值 （人教课本P46第2题）A B Cy = x2 Dy = 2x + 1解 B，点评 反比例函数有三种表示形式：（1）“分式”型：形如（k为常数，k0）；（2）“乘积”型：即xy = k（k为常数，k0）；（3）“负指数”型：y = kx1（k为常数，k0）在学习时要注意对定义和表示形式进行研究，准确理解这三种表示形式后，就能抓住反比例函数定义的主要特征演变变式1 下列函数中，是反比例函数的是（ ）Ay =3x B C Dy = 3x2 + 1 （答案：C）变式2 若是反比例函数，则m必须满足（ ）Am0 Bm =2 Cm = 2 Dm2 （答案：D）变式3 有以下判断： 圆面积公式S =p r2中，面积S与半径r成正比例； 运动的时间与速度成反比例； 当电压不变时，电流强度和电阻成反比例； 圆柱体的体积公式V =p r2h中，当体积V不变时，圆柱的高h与底面半径r的平方成反比例其中错误的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个（答案：B）变式4 如果函数y = x2m1为反比例函数，则m的值是（ ）A1 B0 C D1（答案：B）变式5 已知反比例函数的图象经过点（a，b），则它的图象一定也经过点（ ）A（a，b） B（a，b） C（a，b） D（b，a）（答案：A）题目 正比例函数y = x的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，求：（1）当x =3时，反比例函数y的值；（2）当3x1时，反比例函数y的取值（人教课本P47第7题）解 （1）当= 2时，x = 2，代入中得k = 4，所以反比例函数的解析式为；当x =3时，（2）因为3x10，当x =3，；当x =1，y =4所以 4x点评 一次函数“牵手”反比例函数的题型主要有三类：（1）同一坐标系中的两类函数图象共存问题；（2）求函数的解析式或图象交点坐标问题（包含求三角形的面积）；（3）两类函数的大小关系与相应自变量的范围注：求两函数的交点即求两函数解析式联立所构成的方程组的解演变变式1 （接原题）（3）当2x2时，函数y的取值范围（答案：结合图象可得2y0或0y2）变式2 （2008，恩施）一次函数y1 = x1与反比例函数的图象交于点A（2，1），B（1，2），则使y1y2的x的取值范围是（ ）Ax2 Bx2或1x0C1x2 Dx2或x1 （答案：B）变式3 设直线与双曲线相交于A（1，2）与B（2，n）（1）求直线与双曲线的解析式；（2）根据图象直接写出： 当x取何值时，一次函数的值等于反比例函数的值； 当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； 当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值 （答案：（1），y = x+1 （2） x = 2或1 2x0或x1 x2或0x1）注：“三线四区间”法是解这类题的有效方法“三线四区间”是指过两个交点分别作x轴的垂线，两条垂线加上y轴一共三条线把x的范围分成四个区间，有两个区间内一次函数的值大于反比例函数的值，另两个区间内一次函数的值小于反比例函数的值题目 红星粮库需要把晾晒场上的1200吨玉米入库封存（1）入库所需时间t（天）与入库速度y（吨天）有什么样的函数关系？（2）粮库有职工60名，每天最多可入库300吨玉米，预计玉米入库最快可在几日内完成？（3）粮库的职工连续工作了两天后，天气预报说未来的几天很可能会下雨，粮库决定次日把剩余的玉米全部入库，需要增加多少人帮忙才能完成任务？ （人教课本P55第6题）解 （1）入库时间t与入库速度y的函数关系为（2）把y = 300代入，解得t = 4（3）设需要增加x人帮忙才能完成任务根据题意，可列方程为 30060（60 + x）= 12003002，解方程，可得x = 60因此需要增加60人帮忙才能完成任务点评 成反比例函数关系的两个变量的条件是它们的乘积是一个定值演变变式1 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系是 (答案：)变式2 某气球内充满了一定的质量，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）（1）求这个函数的解析式；（2）当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？（答案：（1）；（2）120千帕）变式3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄当车速为50 kmh时，视野为80度如果视野f（度）是车速v（kmh）的反比例函数，求f，v之间的关系式，并计算当车速为100 kmh时视野的度数 （答案：；当时，）变式4 某空调厂的装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），每天组装150台空调（1）从组装空调开始，每天组装的台数m（单位： 台天）与生产的时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系？（2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？ （答案：（1）；（2）180）变式5 某工厂从2005年开始投入技术改造资金来降低产品成本，设投入技改资金x万元时，产品成本为y万元件，就你所学的一次函数和反比例函数，观察表中数字规律：x4567y54（1）用充足的理由说明y与x的函数关系，并求出其关系式（2）若2009年已投入技改资金8万元，预计产品成本每件比2008年降低多少万元？（3）要使2009年产品成本降到2万元件，则还需投入技改资金几万元？解 （1）由表中数据知，每年的x、y满足： xy =， xy = 20， 又设x、y的关系为y = kx + b将（x，y）=（4，5），（5，4）分别代入，得 解得 y =x + 9但x = 6时， x、y不具有一次函数关系 表中数据是反比例函数关系（2）当x = 8，得，而 万元答：预计成本比08年降低万元（3）当y = 2时，得 ，x = 10，108 = 2答：还需投入技改资金2万元181 勾股定理题目 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端到达池边的水面水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？（人教课本P71第10题）解 设水深EG = x尺，则芦苇的长EF = ED =（x + 1）尺，在RtEGD中，EGD = 90，GD = 5，由勾股定理得：EG2 + GD2 = ED2 得 x2 + 52 =（x + 1）2，解得 x = 12所以 x + 1 = 13答：水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺ACBOABGEABCDF点评 将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理建立方程来解决演变变式1 一株荷叶高出水面1 m，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有3 m远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度（答案：水面的深度为4 m，荷叶的高度为5 m）变式2 如图，某游泳池长48米，小方和小杨进行游泳比赛，从同一处（A点）出发，小方平均速度为3米秒，小杨为3.1米秒但小杨一心想快，不看方向沿斜线（AC方向）游，而小方直游（AB方向），两人到达终点的位置相距14米按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么？（答案：小方先到达终点）变式3 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度AB为多少米？（答案：120米）变式4 湖静浪平六月天，菏花半尺出水面，忽来一阵狂风急，吹倒菏花水中淹，入秋渔夫始发现，残花离根二尺遥，试问水深为若干？C2AD0.5BC B A （答案：3. 75尺）CBAS2S1S3题目 如图，C = 90，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系?（人教课本P71第11题）解 记直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是S1 + S2 = S3理由如下：；而由勾股定理，得 BC2 + AC2 = AB2，于是可得S1 + S2 = S3CFAHBE点评 若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似形S1 + S2 = S3都成立演变变式1 （2009，浙江湖州）如上图，ABC中，ACB = 90，AB = 4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1 + S2的值等于 （答案：8p）变式2 （2009，宜宾）如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB = 3，则图中阴影部分的面积为 （答案：）变式3 如图，以RtABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1 = 3，S2 = 4，则S3 = （答案：7）变式4 如图，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若大正方形的边长是6 cm，则正方形A，B，C，D的面积和是（ ）cm2 （答案：B）A12 B36 C42 D48CBAS1S2S3S3BADS1CS2S4CDBA变式5 如图，在四边形ABCD中，DAB =BCD = 90，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1 + S4 = 100，S3 = 36，则S2 =（ ）A136 B64 C50 D81 （答案：B）变式6 如图所示，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形和，如此继续下去，若正方形的面积为64，则正方形的面积为 ABC（答案：2）变式7 如图，RtABC中，BC = 12，AC = 5，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积是 （人教课本P71第12题的变式）（答案：30 习题结论：S阴影 = SABC）变式8 （2008，陕西）如图，梯形ABCD中，ABDC，ADC +BCD = 90，且DC = 2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是 CDS1S2S3ABlcba（答案：S1 + S3 = S2）变式9 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）A4 B6 C16 D55 （答案：C）aDCBAMcNEFbGH变式10 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1 + S2 + S3 + S4 = （答案：4）S1S2S3S4123l变式11 （2008，浙江台州）如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c = （用含有a，b的代数式表示） （答案：）变式12 如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1 = S2 + S3（1）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 CABS1S2S3CABS1S2S3CS3AS1S2B（答案：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2 = a2 + b2（1）S1 = S2 + S3（2）S1 = S2 + S3证明如下：显然， S2 + S3 = S1（也可用三角形相似证明）（3）当所作的三个三角形相似时，S1 = S2 + S3 所作三个三角形相似， （4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1 = S2 + S3）题目 已知圆柱的底面半径是6 cm，高为10 cm，蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到B点的最短路程是多少厘米？（结果保留小数点后1位）（人教课本P81第8题）解 如图，将圆柱展开得到BC = 10 cm，AC = 6p cmBCA在RtABC中，21.3 cm答：蚂蚁从A点爬行到B点的最短路程是21.3厘米点评 解立体图形的问题通常要把立体图形展开成平面图形，然后化成平面图形的问题加以解决，它是解决立体图形问题的基本方法之一，凸现了化归思想在本题中还要注意选择的直角三角形的两条直角边分别为圆柱的高和底面圆周长的一半演变变式1 有一长、宽、高分别是5 cm、4 cm、3 cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ）A B C DA1QABPB15C1015BA20（答案：B）变式2 （2009，恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）A B C10 D（答案：B）变式3 如图，有一圆柱体高为10 cm，底面圆的半径为cm，AA1，BB1为相等的两条母线，在AA1上Q处有一只蜘蛛，QA = 3 cm；在BB1上P处有一只苍蝇，PB1 = 2 cm蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是 cm（答案：13）变式4 李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长（1）如图1，正方体的棱长为5 cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5 cm，侧棱长为6 cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4 cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且AOA1 = 120，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点AABOB1A1D1DBCAC1B1A1D1DBCAC1OAA1（答案：（1）AC12 = AC2 + CC12 =（5 + 5）2 + 52 = 125；AC1 = 5cm（2）由于正四棱柱展开后，AC1可以是长为10，宽为6的长方形的对角线；也可以是长为11，宽为5的长方形的对角线，因此分两种情况（画图略）： AC12 =（5 + 5）2 + 62 = 136； AC12 =（6 + 5）2 + 52 = 146， 146136， 最短路程为2cm（3）圆锥的侧面展开图是扇形，此时最短路线就是OAA1的边AA1的长，由已知得所求的最短的路程为AA1= 4 cm过程略）ACFOEDB题目 如图，已知E、F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，且AE = CF，求证：四边形BFDE是平行四边形（人教课本P87例3）证明 四边形ABCD是平行四边形， AO = CO，BO = DO AE = CF， EO = FO又 BO = DO， 四边形BFDE是平行四边形点评 判定四边形是平行四边形有五种办法： 定义（两组对边分别平行）； 两组对边分别相等； 一组对边平行且相等； 两组对角分别相等； 对角线互相平分到底用哪一条要根据具体情况确定本题涉及对角线的关系，故选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来判断同时本题是平行四边形的性质和判定的综合运用，先用性质得出对角线的关系，再用判定定理得出平行四边形当E、F在对角线上运动时可以得到一组变式题，其证明方法都类似ACFOEDB演变变式1 如图，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF是平行四边形（答案：BE = DF 或 BF = DE 或 AECF 或AEF =CFE 或 AEBD，CFBD等）变式2 如图，已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC的延长线上的两点，且AE = CF求证：四边形BEDF是平行四边形ACFOEDBGEACFOHDB（提示：证OB = OD，OE = OF）变式3 在ABCD对角线BD上取两点E、G，使BE = DG在对角线AC的延长线上取两点F、H，使AH = CF求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：证OH = OF，OE = OG）变式4 在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点求证：四边形MNPQ是平行四边形证明 四边形ABCD是平行四边形， AO = CO，BO = DO M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点， ON = OQ，OM = OP， 四边形MNPQ是平行四边形QNAPCODBM变式5 在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点以图中的各点为顶点能画多少个平行四边形？EHFAGCODB（不包括ABCD）（答案：三个，EFGH、AFCH、BEDG）题目 如图，直线l1l2，ABC与DBC的面积相等吗？ADBECFl1l2你还能画出一些与ABC面积相等的三角形吗？（人教课本P91第8题）解 SABC = SDBC分别过点A和D作AEBC，DFBC，垂足为E和F，在l1上任取一点，与B、C连结所构成的三角形都与ABC的面积相等点评 本题主要运用了“平行线间的距离处处相等”和“等底等高的三角形面积相等”；与ABC面积相等的三角形有无数个；本题实际上包含两个命题：l1l2 SABC = SDBC演变变式1 探究规律：如图，已知直线mn，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点（1）请写出图中面积相等的各对三角形： （2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置总有： 与ABC的面积相等；理由是： （教师用书239页第12题）OCPABmnABCDEABCDEMNFHCEABDNM（答案：（1）ABC和ABP，AOC和BOP，CPA和CPB（2）ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有ABP与ABC同底等高，因此，它们的面积总相等变式2 如图2，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由（教师用书240页第13题）解 （1）画法如图连结EC，过点D作DFEC，交CM于点F，连结EF，EF即为所求直路的位置（2）设EF交CD于点H，由12题探究规律得到的结论，可知SECF = SECD，SDFC = SDFE，所以 S五边形ABCDE = S五边形ABCFE，S五边形EDCMN = S四边形EFMN） 变式3 （2008，山东日照）（1）探究新知：如图1，已知ABC与ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由 （2）结论应用： 如图2，点M，N在反比例函数（k0）的图象上，过点M作MEy轴，过点N作NFx轴，垂足分别为E，F证明：MNEFxOyNM图2EFxOyDM图3NABDC图1 若中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行解 （1）分别过点C，D，作CGAB，DHAB，垂足为G，H，则CGA =DHB = 90， CGDH ABC与ABD的面积相等， CG = DH 四边形CGHD为平行四边形， ABCD（2） 连结MF，NE设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2） 点M，N在反比例函数（k0）的图象上， x1y1 = k，x2y2 = k MEy轴，NFx轴， OE = y1，OF = x2 SEFM =x1y1 =k，SEFN =x2y2 =k， SEFM = SEFN由（1）中的结论可知：MNEFDCBAEFG MNEF题目 如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DEAG于E，BFDE，交AG于F求证：AFBF = EF（人教课本P104第15题）（2009，南充）证明 ABCD是正方形， AD = AB，BAD = 90 DEAG， DEG =AED = 90， ADE +DAE = 90又 BAF +DAE =BAD = 90， ADE =BAF BFDE， AFB =DEG =AED，因此 ABFDAE， BF = AE，故 AFBF = EF点评 正方形中含有很多的相等的边和角，这些相等的边和角是证全等的有力工具演变ABCDEFG变式1 （2008，云南）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AEDG于E，CFAE交DG于F（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（2）求证：AE = FC + EF解 （1）AEDDFC 四边形ABCD是正方形， AD=DC，ADC = 90又 AEDG，CFAE， AED =DFC = 90， EAD +ADE=FDC +ADE = 90， EAD =FDC， AEDDFC（2） AEDDFC， AE = DF，ED = FC DF = DE + EF， AE = FC + EF变式2 正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结AP，分别过B、D两点作BEAP，DFAP，垂足为E、F，如图（1）请你通过观察或测量BE、DF、EF的长度，然后猜想它们之间的数量关系若点P在DC的延长线上，如图，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系？若P在DC的反向延长线上，如图，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系；请分别直接写出结论图的结论： ，图的结论： ，图的结论： （2）请在（1）中的三个结论中任意选择一个加以证明解 （1） BE = DF + EF； BE = DFEF； BE = EFDF（2）图证明如下，图证明略 BEAP，DFAP， BEA +AFD = 90 ABE +BAE = 90，DAF +BAE = 90， ABE =DAF在正方形ABCD中，AB = AD， ABEDAF， DF = AE，BE = AF， BE = DF + EF变式3 （2009，湖北十堰）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DEAG于点E，BFAG于点F（1）求证：DEBF = EF（2）当点G为BC边中点时， 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）解 （1） 四边形ABCD 是正方形，BFAG，DEAG， DA = AB，BAF +DAE =DAE +ADE = 90， BAF =ADE， ABFDAE， BF = AE，AF = DE， DEBF = AFAE = EF（2）EF = 2FG ABBC，BFAG，AB = 2BG， AFBBFGABG，BADCOFB1C1E， AF = 2BF，BF = 2FG由（1）知，AE = BF， EF = BF = 2 FG（3）如图DE + BF = EF题目 正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的想一想这是为什么（人教课本P105实验与探究）解 在AOE和BOF中，AO = BO，OAE =OBF，AOE = 90BOE =BOF， AOEBOF SAOB = SAOE + SEOB = S四边形OEBF =S正方形ABCD点评 在该题中无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，都有AOEBOF（只要存在）因此不难发现还有如下结论：（1）一个图形经过另一个图形的中心，且叠合的度数是90；（2）正方形ABCD的边被另一正方形A1B1C1O覆盖部分的总长度BE + BF为定长（正方形的边长）；（3）由AOEBOF可得AE = BF或OE = OF；（4）图中重叠部分的面积均为原正方形面积的四分之一（定值）该问题的实质是：条件只需满足OA1、OC1是经过正方形ABCD的对称中心且互相垂直的两条直线即可ADCOEFBG演变变式1 已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，点O是正方形EFGO的一个顶点，若正方形ABCD的边长为2（1）当OEAD、OGAB时，如图1，求图中两个正方形重叠部分的面积（2）若正方形EFGO饶点O逆时针转动时，如图2，两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？试说明理由解 （1）设OE交AB于M，OG交BC于N正方形ABCD中，DAB =ABC =BCD = 902314BADCONFGME OEAD、OGAB， OMB = 90，ONB = 90， 四边形MONB是矩形 正方形ABCD中，O为AC中点，AD = AB = 2而 OEAD、OGAB， OM =AD = 1，ON =AB = 1， 四边形MONB是正方形， S四边形MONB = 1（2）不变 正方形ABCD和正方形EFGO中，BOC = 90，EOG = 90， 1 =2而在正方形ABCD中，3 =4 = 45，OB = OC， OBMOCN， SOBM = SOCN，S四边形MONB = SOBC 正方形ABCD边长为2， SOBC = 1， S四边形MONB = 1变式2 （2009，广东）（1）如图1，圆内接ABC中，AB = BC = CA，OD、OE为O的半径，ODBC于点F，OEAC于点G求证：阴影部分四边形OFCG的面积是ABC的面积的（2）如图2，若DOE保持120角度不变，求证：当DOE绕着O点旋转时，由两条半径和ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC的面积的CEDBOFGA图1DBOCEA图2解 （1）过点O作OHAB于点H 等边ABC是O的内接三角形，ODBC，OHAB，OEAC， B =C = 60，BHO =BFO =CFO =CGO = 90， BH = BF = CF = CG，OH = OF = OG，FOH =FOG = 18060 = 120， 四边形BDOH四边形CFOG同理：四边形BDOH四边形AHOG，四边形BDOH四边形CFOG四边形AHOG，又 （2）过圆心分别作OMBC，ONAC，垂足为M、N则有 OMF =ONG = 90，OM = ON，MON =FOG = 120， MONFON =FOGFON，即 MOF =NOG， MOFNOG， 若DOE保持120角度不变，当DOE绕着O点旋转时，由两条半径和ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC的面积的）原题的推广结论：两个全等的正n边形叠合，当叠合部分的中心角度为时，正n边形的边被覆盖部分的总长度为定值（边长a），叠合部分的面积为原正n边形的（定值）MADBC题目 如图，四边形ABCD中，ADBC，点M是AD的中点，且MB = MC求证：四边形ABCD是等腰梯形 （人教课本P110第7题）证明 在MBC中， MB = MC，MBC =MCB又 ADBC，AMB =MBC =MCB =DMCMADBC在ABM和DCM中， AM = DM，AMB =DMC，MB = MC， ABMDCM， AB = DC，而ADBC， 四边形ABCD是等腰梯形点评 本题通过证全等得出线段或角相等，然后证等腰梯形是常见的思路另外：在本题中，ADBC不变，若以“ 点M是AD的中点； MB = MC； 四边形ABCD是等腰梯形”三者中的任何两个为条件，另一个为结论都正确OADBC演变变式1 已知，如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，点M是BC边上的一点，若BM = CM求证：AM = DMEADBC（提示：ABMDCM）变式2 已知，如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，点O是梯形ABCD内的一点，且OA = OD求证：OB = OC（提示：ABMDCM）变式3 如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB = DC， ADBC，EB = EC，求证：EA = ED（提示：EABEDC）变式4 （1）如图，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，AB = CD，E是梯形外一点，且EA = ED求证：EB = EC（2）请你将（1）中的“等腰梯形”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“EB = EC”仍然成立，在根据改编后的问题画出图形，并说明理由（提示：（1）证ABEDCE （2）当四边形ABCD为MENADBC矩形时，上述结论仍然成立）变式5 （2007，郴州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD