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工程光学习题解答 第十章第十章 光的电磁理论基础光的电磁理论基础 1. 一个平面电磁波可以表示为 14 0,2cos210 (),0 2 xyz z EEtE c =+=,求(1)该 电磁波的频率、 波长、 振幅和原点的初相位？ （） 拨的传播方向和电矢量的振动方向？ （）相应的磁场的表达式？ 解： （1）平面电磁波cos2() z EAt c =+ 对应有 146 2,10,3 10 2 AHzm = 。 （2）波传播方向沿z轴，电矢量振动方向为y轴。 （3）BE 与垂直，传播方向相同，0ByBz= 814 6 10 210 () 2 z BxEyCEyt c =+ . 在玻璃中传播的一个线偏振光可以表示 215 0,0,10 cos 10 () 0.65 yzx z EEEt c =， 试求（1）光的频率和波长； （2）玻璃的折射率。 解： （1） 215 cos2()10 cos10() 0.65 zz EAtt cc =+= 1514 2105 10vHz= 7 2/2/0.653.9 10 n kcm = （2） 8 714 3 10 1.54 3.9 105 10n c c n v = 3.在与一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片， 薄片的厚度0.01hmm=,折射率 n=1.5, 若光波的波长为500nm=,试计算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的变化。 解：光程变化为(1)0.005nhmm = 相位变化为)(202 500 10005 . 0 2 6 rad = = = 4. 地球表面每平方米接收到来自太阳光的功率为 1.33kw,试计算投射到地球表面的太阳光 的电场强度的大小。假设太阳光发出波长为600nm=的单色光。 解： 22 0 11 22 IAcA = 1 3 2 0 2 ()10/ I Av m c = 5. 写出平面波 8 100exp(234 ) 16 10 Eixyzt=+的传播方向上的单位矢量 0 k。 工程光学习题解答 解：exp ()EAi k rt= i xyz k rkxkykz= + 000000 0000 2,3,4 234 234 292929 xyz xyz kkk kkxkykzxyz kxyz = =+=+ =+ 6. 一束线偏振光以 45 度角从空气入射到玻璃的界面，线偏振光的电矢量垂直于入射面， 试 求反射系数和透射系数。设玻璃折射率为 1.5。 解：由折射定律 1 2 2 1122 1122 11 1122 sin 2 sin 3 7 cos 3 27 1.5 coscos 23 0.3034 coscos27 1.5 23 2 2 2cos 2 0.6966 coscos27 1.5 23 s s n nn r nn n t nn = = = + + = + + 7. 太阳光（自然光）以 60 度角入射到窗玻璃（n=1.5）上，试求太阳光的透射比。 解： 22 2221 2 21112 22 2221 22 111212 3sin sin 2 13 6 2 3 611 1.54 cos4sincos 334 0.823 1 cossin ()3613 () 2 2323 cos4sincos 0.998 cossin ()cos () () 0.91 2 s p sp n n ocs n n n n = = = + + = + + = 8. 光波以入射角 1 从折射率为 1 n介质入射到折射率为 2 n的介质， 在两介质的表面上发生反 工程光学习题解答 射和折射 （折射角为 2 ， 见图 10-39） ， s 波和 p 波的振幅反射系数和投射系数分别为 s r、 p r 和 s t、 p t。若光波从 2 n介质入射到 1 n介质（见图 10-39b）中，入射角为 2 ，折射角为 1 ， s 波和 p 波的反射系数和透射系数分别为sr、pr和st、pt。试利用菲涅耳公式证明（1） ss rr= ； （2） pp rr= ； （3） sss t t=； （4） ppp t t=（ p 为 p 波的透射比， s 为 s 波的透射比） 。 解： 1122 1122 11222211 11222211 121221 121212 coscos (1) coscos coscoscoscos coscoscoscos (2)1 2cossin2cossin2cossin 3, sin()sin()sin() s ss ss nn r nn nnnn rr nnnn tt = + = + = + 同（） （ ） 22 11221221 22 122112 22 2221 2 1112 4sincossincossincos4sincos sin ()sincossin () cos4sincos cossin () (4)3 ss s tt n t n = + = + 同（ ）略 9. 电矢量方向与入射面成 45 度角的一束线偏振光入射到两介质的界面上， 两介质的折射率 分别为 12 1,1.5nn=，问：入射角 1 50=度时，反射光电矢量的方位角（与入射面所成 1 n 2 n 1 2 )a 1 2 1 n 2 n )b 图 10-39习题 8 图 2 n 工程光学习题解答 的角） ？若 1 60=度，反射光的方位角又为多少？ 解： 1 11 12 2 1212 1212 sin 150sin ()30.7 sin()() 0.335,0.057 sin()() 0.3350.335 ,0.057 80.33 (2)0 sp sp ssssppp s p s n n tg rr tg AAA Ar AAA Ar AA A tg A r = = = = + = = = = = = （），由折射定律 入射光 由反射系数有 合振幅与入射面的夹角 同理.421,0.042 ()84.3 p s p r A arctg A = = 10. 光束入射到平行平面玻璃板上， 如果在上表面反射时发生全偏振， 试证明折射光在下表 面反射时亦发生全偏振。 证明：当入射角为布儒斯特角时，发生全偏振，反射光中只有s波 第一次反射时， 11312 ,90 , B n ntgn=+= 玻 空 n 第二次反射时， 212 ,90 , B n n n =+= 空 B 玻 ，tg=n 得证。亦可由, sp r r求证. 11. 光束垂直入射到 45 度直角棱镜的一个侧面，并经斜面反射后由底二个侧面射出（见图 10-40） ，若入射光强为 0 I，求从棱镜透过的出射光强 I？设棱镜的折射率为 1.52，且不考 虑棱镜的吸收。 0 I I 图 10-40习题 11 图 45 工程光学习题解答 解： 22 1 22 3 122 2 12 3 000 10.52 ()()0.0426 12.52 11 1.52 ()()0.0426 11 1.52 ,sin1.52 sin4590 1 1 0.042611 0.04260.917 n n n n IIII = + = + = = = = 经过第一面时，反射比为 经过第三面时，反射比为 经过第二面时，=45 在此面发生全反射，即 出射光强为（） （） 12. 一个光学系统由两片分离透镜组成，两透镜的折射率分别为 1.5 和 1.7，求此系统的反 射光能损失。如透镜表面镀上曾透膜，使表面反射比降为 0.01，问此系统的光能损失又为 多少？设光束以接近正入射通过各反射面。 解 ()()()() () 22 22 2 34 1234 4 )()0.04 ()()0.04 0.067 11110.80220% 0.011 0.010.96,4% R RR RRRR = = = = = 1 1 1 2 2 0 此系统有4个反射面，设光束正入射条件下，各面反射率为 n -11.5-1 R =( n +11.5+1 1 -1 n -1 1.5 1 n +1 +1 1.5 光能损失为（初始为I） ，损失 若反射比降为，则损失 13. 一半导体砷化镓发光管（见图 10-41） ，管芯 AB 为发光区，其直径3dmm。为了避 免全反射，发光管上部磨成半球形，以使内部发的光能够以最大投射比向外输送。要使发光 区边缘两点A和B的光不发生全反射， 半球的半径至少应取多少？(已知对发射的0.9nm= 的光，砷化镓的折射率为 3.4) 。 AB 图 10-41习题 13 图 工程光学习题解答 解： sin sin sin1sin sin 1 sin 3.4 1 sinsinsin 3.4 3.43.45.1 2 C R r R r R r AB R r cc R d Rrmm = = = 2 n。 （1）证明入 射光的最大孔径角2u满足关系式 22 12 sin;unn=（2） 若 12 1.62,1.52,nn=求孔径角？ 解： ( ) ( ) 22 12 2 2 11 22 12 12 0 22 12 1sin,sincos sin sin 211.62, 21.52 22arcsin68.2 cc nnn nn n unn n nn unn = = = = 若 17. 已知硅试样的相对介电常数 0 12 =，电导率 11 2.cm = ，证明当电磁波的频率 u c 2 n 1 n 图 10-42习题 16 图 工程光学习题解答 9 10HZ时， 硅试样具有良导体作用。 计算 6 10HZ=时电磁波对这种试样的穿透深度。 解： 9 7 2 9 7 2 2 36 10 1 2 210 4 10 2 0.356 24102 Hz C Hz m = 22222 1212 由题知 方位角即 设长短半轴分别为 ， ，则有 A +A =a +a =2A 求得其中略掉项 22. 有一菲涅耳棱体（见图 10-21） ，其折射率为 1.5，入射线偏振光的电矢量与入射面（即 图面）成 45 度角，求（1）棱体的顶角取多大时，能使从棱体射出圆偏振光？（2）若棱 体的折射率为 1.49，能否产生圆偏振光？ 解： ( ) ( ) () () 22 2 222 322 2 2 2 1 cossin 8sin 53 1550 13 2, 21sin 0 2 sinsin 2 sin 1 m n ctg n nn d tg d n n n = = + = = + 因为入射光的振动方向与入射面夹角为45 ，所以S波与P波的振幅 相同，所以只需两次全反射使S、P拨相位差为即可，那么每次反射 2 产生的相位差为 ，有tg 2 得或 对于固定的必定有极大值，将上式对 求导 得 存 2 11 0.4094 221.49 44.32, 4 m m n tgn n = = 在极大值， 不可能产生圆偏振光 23. 又旋圆偏振光以 50 度角入射到空气-玻璃界面（玻璃折射率为 1.5） ，试决定放射波和 工程光学习题解答 透射波的偏振状态。 解：入射为右旋圆偏振光，如图，可写为 cosEsat= cossin 2 Epatat = 若设1.5n= 波 ，则布儒斯特角56 B =，所以反射光中 S 波与 P 波均存在。有 sin 2 sin ssssss pp Er Er Erat Epr Eprat = = = Es比Ep落后 2 相位，且有 sp rr 反射光为左旋椭圆偏振光 对于透射光 cos cos 2 ss ppPp EstEst at Et Et at = = sp tt投射光为右旋椭圆偏振光。 24.确 定 其 正 交 分 量 由 下 面 两 式 表 示 的 光 波 的 偏 振 态 ： 00 5 ( , )cos(),( , )cos () 4 xy zz Ez tx AtEz ty At cc =+ 解：对于合成波有 1212 55 ,0, 44 aaA = 方位角 12 22 12 23 2cos, 4 a a tg aa = = 又 2 sin2sin2sin21,(21 2 tg= = + 略） 0tg为右旋 又设长短轴为 12 ,A A 2 1 21 A A = +（1） 且有 222 12 2AAA+=（2） 12 1.71 ,0.29AA AA= 工程光学习题解答 25.真空中沿z方向传播的两个单色光波为 12 cos2 (),cos2() () zz EavtEavv t = + ，若 148 100 /,6 10,10,av mHZHZ=试求合成波在0,1zzm=和1.5zm=各处的 强度随时间的变化关系。若两波频率差 8 3 10HZ= ，试求合成波振幅变化和强度变化 的空间周期。 解：令() () 1212 22 2,2,kk = + 则() 111 cosEak zt= () 222 cosEak zt= 则合成波强度() 22 4cos mm Iatk z= 其中 () 8 12 1 210 2 2 m rad = () 1 12 2 3 m kk km = I 428 4 10 cos10 3 tz 0z=时I 428 4 10 cos 10 3 t 1z=时I 428 4 10 cos 10t 1.5z=时I 428 4 10 cos 10 2 t 若 8 3 10Hz= 8 3 10 m rad= 1 m km = () 14 212 10rad= 61 4 10km 工程光学习题解答 () () 2 coscos mm Eak ztkzt= ()() 8614 2 cos3 10cos 4 1012 10aztzz= 空间周期为2m () 22 4cos mm Iatk z= () 428 4 10 cos3 10zt= 空间周期为1m 26. 试计算下列各情况的群速度：（1） 2 g =（深水波，g为重力加速度） ；（2） 2T = （浅水波，T 为表面张力，为质量密度） 。 解：群速度 g dv vv d = （1） 1 2 1 2 2 22 g dvv g vgv d = （2） 13 22 2123 22 g TdvT vvv d = = 27. 试求图 10-43 所示的周期性矩形波的傅里叶级数表达式，并绘出其频谱图。 解：周期性矩形波为偶函数，所以0 n B= ( ) 24 0 24 11 2 AE z dzdz = 4 4 Z E(z) 图 10-43习题 27 图 工程光学习题解答 ( ) 24 24 222 coscossin 2 u n AE znkzdznkzdz n = 即 1234 22 ,0,0AAAA = = ( )() 11 coscos3cos5cos7 2 f zkzkzkzkz =+ 图略 28. 求图 10-44 所示周期性三角波的傅里叶分析表达式，并绘出其频谱图。 解：偶函数0 n B= ( ) 22 0 0 2 12 4 AE z dzzdz = ( )() 22 22 0 2 24 coscoscos1 u AE znkzdzznkzdzn n = 即 4123 22 22 ,0,0 9 AAAA = = ( ) 222 211 coscos3cos5 435 f zkzkzkz =+ 29. 试求图 10-45 所示的矩形脉冲的傅里叶变换，并绘出其频谱图。 E(Z) 2 2 Z 图 10-44习题 28 图 -L L Z E(z) 1 图 10-45习题 29 图 工程光学习题解答 解：( )( ) 22 sin2 sin L ikzikz L L A kf z edzedzkLLc k + = 30. 试求图 10-46 所示的三角形脉冲的傅里叶变换。 解：( )( )( )()cossin ikz A kf z edzf zkzikz dz + = ( )( ) 0 cos2 L f zkzdzf z + = ()() 22 2 0 21 2cos1cossin L zLkzdzkLLc k = += 31. 氪同位素 86 Kr放电管发出的波长605.7nm=的红光是单色性很好的光波，其波列长 度约为700mm，试求该波的波长宽度和频率宽度。 解： 2 4 6 2