第三章习题解答.pdf

下述物体的约束属于何种约束？试写出约束方程。 （1）如图a所示。绳索长为l，两端固定于A、B点，AB=a，圆环M可在绳上任意滑动，但不 许达到天花板AB上方，亦不可离开绳。假设任何时刻绳索都绷紧。 （2）放在水平地面上的物块M。（图b） （3）圆轮沿着斜面作纯滚动。（图c） （4）摇摆木马放在水平面上，且与水平面之间无滑动。（图d） （5）曲柄连杆机构的连杆AB。（图e） 答：(1)由于AMBMl+=，代入 2222 ,()AMxyBMaxy=+=+ 得 ()2 222 xyaxyl+=，几何约束。 (2) 由于物块只能沿水平面运动，故 y=0，几何约束。 (3) 因为轮子作纯滚动，轮子边缘上与斜面接触点的速度等于零，即0 O xr= ? ?，其中 为轮子的转角， O x为轮心沿着斜面的位移，这是微分约束。也可以积分得到几何约 束： O xr=。 (4) 因为木马作纯滚动，故边缘上与平面接触点的速度等于零，即0 O xr= ? ?，其中 为木马的转角， O x为木马中心O的水平位移，这是微分约束。也可以积分得到几何约 束： O xr=。 (5) 2 222 () BAA ABxxyl=+=，几何约束。 在筒内放两个相同的球 A 和 B，重均为 P，筒 D 重 W，放在光滑的地面上，试画出下列物 体的受力图： （1）球 A 及 B， （2）球 A 和 B 一起， （3）筒 D。 解：受力图如下： （1）球 A 及球 B P N1 A N2 PN2 N4 N3 B （2）球 A 和球 B 一起 A B N1 N3 N4 P P （3）筒 D CD N5 N2 N3 N1 W 构架ABC在O铰处连接一个滑轮B，且在滑轮B上吊一个重物W。试画出下列物体的受力图： (1)弯杆AB，(2)弯杆BC，(3)滑轮B，(4)弯杆AB、BC作为整体。 解法1： 图1 弯杆AB的受力图 图2 弯杆BC的受力图 图3 滑轮B的受力图 图4 弯杆AB、BC作为整体的受力图 解法2：考虑到弯杆AB，BC均为二力杆，受力分别沿AB，BC连线，其受力图可以画成图5 和6的形式。如果将滑轮B和与其接触的一段绳子作为整体考虑，其受力图如图7所示。考虑 到弯杆AB，BC均为二力杆，弯杆AB、BC作为整体的受力图可以画成图8的形式。 图5 弯杆AB的受力图 图6 弯杆BC的受力图 图7 滑轮B的受力图 图8 弯杆AB、BC作为整体的受力图 P y R x R 1 T 2 T P y R x R A B C B C B A A B C B C B A 若将图中的载荷P作用于铰链C处。(1)试分别画出左、右两拱及销C的受力图；(2)若销钉C 属于AC，分别画出左、右两拱的受力图；(3)若销钉C属于BC，分别画出左、右两拱的受力 图。 解： （1） (2) (3) YAC YA XAC XA YBC YB XBC XB P YBC YAC XAC XBC P YA XC XA YC YB XC XB YC YC YA XC XA P YB XC XB YC 下述哪些约束是理想约束？ （1）纯滚动，无滚动摩阻；（2）连接两个质点的无质量刚杆；（3）悬挂重物的绳索；（4） 有摩擦的铰链；（5）连接两个质点的无质量弹性绳；（6）摩擦传动中两个刚性摩擦轮的接 触处，两轮间不打滑，无滚动摩阻。 解：理想约束：（1）、（2）、（3）、（6） 非理想约束：（4）、（5） 下述质点系有几个自由度？ （1）平面四连杆机构（图 a）； （2）在固定铅垂面内运动的双摆（图 b）； （3）在平面内沿直线作纯滚动的轮（图 c）； （4）一端由铰链约束的杆（图 d）； （5）在水平面运动的球（图 e）； （6）平面机构（图f）。 解：(a) 1 (b) 2 (c)1 (d)2 (e)5 (f)2 画出下列各图中A、B点的虚位移方向。 （1）沿直线纯滚动的轮（图 a），（2）四连杆机构（图 b），（3）曲柄摇杆机构（图 c），（4）不可伸长的绳索（图 d）。 解： （1）速度瞬心为O，故A，B两点的虚位移方向分别垂直于OA、OB O B r A r （2）A，B两点的虚位移方向分别垂直于OA、O1B O A r B r A r B r （3） A 点的虚位移方向平行于 OA，B 点的虚位移方向垂直于 OB （4） A、B 两点的虚位移沿绳长方向 A r B r 试求下列各图中M点的虚位移。各图均为平面机构。图（a）中杆OM可绕O点转动， OM长为l；图（b）为曲柄连杆机构。曲柄OA长为a，连杆AB长为l，M为AB上一点， AM=b。 解： （a）由图可得M点的坐标为： sin cos xl yl = = 所以： cos sin xl yl = = （b）M点的坐标为： cos ,sin MAMA xxbyyb=+= (1) 其中： cos ,sin AA xaya= (2) 222 sinsin , cossin/ a lal l = (3) 将(2)、 (3)式代入(1)式， 再进行变分运算可得： 2 222 sincos sinsin2 cos 2sin M M ab xa l a b ya l la = + =+ x y 试用不同方法确定图示机构中A点的虚位移。并比较各种方法。 (a) 解：根据题意 方法一：（解析法） A点坐标为 sin2lxA= LlyA=cos2 由此 cos2lxA= sin2lyA= 则 lrA2= （*） 同时由正弦定理 sin)sin(Ll=+ (1) 对（1）式变分得 ()()coscosLl=+ 展开、移项得 ()()cossinsincoscoscosLll+=+ (2) 在图示位置 =且cos2lL = 则（2）式化简为 2cos= 代入(*)式得 2cos2lrA= 方法二：（几何法） BA rr2= B为OA杆中点 2coslrB= 因此 2cos2lrA= (b) 解：根据题意 方法一：（解析法） A点坐标为 consthctgxA+= 0= A y 则有 22 (/sin)()/sin AA rxhh= = 方法二：（几何法） 设曲柄与直角杆接触点为B点 则有 2 ( /sin )/sin/sin AAB rxxhh= (c) 解：根据题意， 方法一：（解析法） A点坐标为 cos2lxA= 0= A y 所以 2 sin2 sin AA rxll= = 方法二：（几何法） lrB= 2sincoslrA= 于是 sin2lrA= 4个重量均为P的重物，用绳子相连接，绳子则跨过一个定滑轮A，其中3个重物放在 光滑的水平面上，第4个重物则铅垂悬挂，如图所示。如绳重略而不计，求： （1） 系统的加速度；（2）在截面ab处，绳子的张力。 解法一解法一（牛顿第二定律）： 设截面cd处绳子的张力为F，则第4个物体受力如图(a)，根据牛顿第二定律有： P aPF g = (1) 光滑水平面上的3个物体在运动方向受力如图(b)，则有： 3 P aF g = (2) (1)、(2)联立，解得系统的加速度： 1 4 ag= 截面ab左端两个物体在运动方向的受力如图(c)，则根据牛顿第二定律易得： 11 22 42 PP TagP gg = 解法二解法二（达朗贝尔拉格朗日原理）： 各物体的虚位移方向如图所示，由于绳子不可伸长，所以： 1234 rrrr= 设系统的加速度为 r ? ，由动力学普遍方程可得： c d P F F T (a) (b) (c) 1 r 2 r 3 r 4 r 4 444 1 40 i i PP P rr rP rr r gg = = ? 由 4 r的任意性，可得： 4 g r =? 设截面ab处绳子的张力为T，则有： 22 42 PP gP Tr gg =? 图示离心调速器以角速度绕铅垂轴转动。每个球的重量为P，套管重Q，杆重略去不计。 aACECOC=。求稳定旋转时，两臂OA与OB和铅垂轴的交角。 X Y PP Q A a B a 解：建立如图所示坐标系，系统所受约束为理想约束，主动力为两个球的重力P和滑套的重 力Q。各质点的坐标为： 2 sin A xa= ，0 A y =；2 sin B xa=，0 B y =；0 O x =，2 cos O ya= 变分可得： 2cos A xa= ，0 A y= 2cos B xa=，0 B y= (1) 0 O x=，2sin O ya= 球的向心加速度为： 2 2sin A aa=； 2 2sin B aa= (2) 由达朗贝尔拉格朗日原理可得： 0 ABOAABB PP P yP yQ yaxax gg += 将(1)、(2)代入，整理后可得： 2 (4cos)0 P aQ g = 由于是任意的，所以： 2 4cos P aQ g = 从而可得角的值： 2 arccos 4 Q g aP = 三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面滑动，A和B各重P、Q，三棱柱B的斜面与水平面成 角。 如开始时系统静止，求三棱柱B的加速度。摩擦略去不计。 解：由动力学普遍方程()()0 A AAB BB mm+ =Prrrr? 其中 AAA xy=+rij，,0 BBBB xyy=+=rij，() AAB yxxtg= 故