热力学统计物理第三版第四章到第七章答案.pdf

第四章第四章第四章第四章 多元系的复相平衡和化学平衡多元系的复相平衡和化学平衡多元系的复相平衡和化学平衡多元系的复相平衡和化学平衡 习题习题习题习题4.14.14.14.1 若将U看作独立变数T,V,n1,nk的函数，试证明： （1）； （2） V U V n U nU i i i + = V U v n U u i i i + = 证证证证： （1）),(),( 11kk nnVTUnnVTU= 根据欧勒定理，可得 f x f x i i i = V U V n U nU i i i + = （2） i i ii i i i i i i un V U v n U n V U V n U nU = + = + =)( V U v n U u i i i + = 习题习题习题习题4.24.24.24.2 证明是的零次齐函数，。),( 1ki nnpT k nn, 1 0= j i j j n n 证证证证：，化学势是强度量，必有m=0,),(),( 11k m k nnpTnnpT= 0= i j i j j m n n 习题习题习题习题4.34.34.34.3 二元理想溶液具有下列形式的化学势： 111 ln),(xRTpTg+= 222 ln),(xRTpTg+= 其中gi(T,P)为纯i组元的化学势，xi是溶液中i组元的摩尔分数。当物质的量分 别为n1、n2的两种纯液体在等温等压下合成理想溶液时，试证明混合前后 （1） 吉布斯函数的变化为)lnln( 2211 xnxnRTG+= （2） 体积不变0=V （3） 熵变)lnln( 2211 xnxnRS+= （4） 焓变，因而没有混合热。0=H （5） 内能变化如何？ 解解解解： （1） 22221111 2211 ln),(ln),( xRTnpTgnxRTnpTgn nnnG i i i += += ),(),( 221122110 pTgnpTgnnnnG i i i +=+= 所以 22110 lnlnxRTnxRTnGGG+= （2）；。 p G V =0 )( = = p G V （3）； T G S = 2211 lnln )( xRnxRn T G S= = （4）TSHG= 0lnlnlnln 22112211 =+=+=xRTnxRTnxRTnxRTnSTGH （5）0=VpHU 习题习题习题习题4.44.44.44.4 理想溶液中各组元的化学势为：； iii xRTPTgln),(+= (1) 假设溶质是非挥发性的。试证明，当溶液与溶剂蒸发达到平衡时，相平衡条 件为 )1ln(),( 1 1 xRTPTgg+= 其中是蒸汽的摩尔吉布斯函数，g1是纯溶剂的摩尔吉布斯函数，x 是溶质在溶 1 g 液中的摩尔分数。 (2) 求证：在一定温度下，溶剂的饱和蒸汽压随溶液浓度的变化率为 T x p x p = 1 (3) 将上式积分，得)1( 0 xppx= 其中p0是该温度下溶剂的饱和蒸汽压，px是溶质浓度为x时的饱和蒸汽压。该 公式称为拉乌定律。 解解解解：(1) 设“1”为溶剂,()1ln(, 111 xRTPTgg+= ()1 1 =+xx (2)由= v p g T p x x RT p g p g = )1( 1 1 T p x ；v蒸汽相摩尔热容=vv )1(x RT T p x v凝聚相摩尔热容 故有v-vv,又有pv=RT代入 T x p x p = 1 (3)积分(2)式得拉乌定律 习题习题习题习题 4.84.84.84.8绝热容器中有隔板隔开，一边装有n1mol 的理想气体，温度为T，压 强为P1；另一边装有n2mol 的理想气体，温度为T，压强为P2。今将隔板抽去， （1） 试求气体混合后的压强； （2） 如果两种气体是不同的，计算混合后的熵变； （3） 如果两种气体是相同的，计算混合后的熵变。 解解解解： （1） RT VV nn RT V nn p RTnVpRTnVp 21 2121 2 21 1 ; + + = + = = （2）根据 0 lnlnlnnSnnRVnRTnCS V += 21 SSS+= 1 21 1 0111111011121111 ln lnlnlnln)ln(ln V VV Rn SnnRnVRnTCnSnnRnVVRnTCnS VV + = += 2 21 2 0222222022221222 ln lnlnlnln)ln(ln V VV Rn SnnRnVRnTCnSnnRnVVRnTCnS VV + = += 2 21 2 1 21 1 lnln V VV Rn V VV RnS + + + = （3）如果两种气体是相同的，混合后的熵变 12 SSS= 02122112211211 )(lnlnlnlnln)(SnnnRnnRnVRnVRnTCnnS V += 02121212121212 )()ln()()ln()(ln)(SnnnnRnnVVRnnTCnnS V += 2 2 2 1 1 1 21 21 21 lnlnln)( n V Rn n V Rn nn VV RnnS + + += 习题习题习题习题4.94.94.94.9 试证明，在 NH3分解为 N2和 H2的反应中 0NHH 2 3 N 2 1 322 =+ 平衡常量可表为pK p 2 2 14 27 = 如果反应方程写作0NH2H3N 322 =+ 平衡常量如何？ 证证证证：设NH3原来有n0mol, 分解了n0mol， 未分解(1-)n0mol, 生成mol N2 0 2 1 n 和mol H2，共有摩尔数(1+)n0 0 2 3 n ; )1( )1( ; )1( 2 3 ; )1( 2 1 0 0 NH 0 0 H 0 0 N 322 n n x n n x n n x + = + = + = 平衡常量 p pxxxKp 2 2 1 2 3 2 1 1 NH 2 3 H 2 1 N 14 27 )()()( 322 = = + 如果反应方程写作0NH2H3N 322 =+ 设 NH3原来有 2n0mol, 分解了 2n0mol， 未分解 2(1-)n0mol, 生成mol N2 0 n 和 mol H2，共有摩尔数 2(1+)n0； 0 3n ; )1(2 )1(2 ; )1(2 3 ; )1(2 0 0 NH 0 0 H 0 0 N 322 n n x n n x n n x + = + = + = 平衡常量 2 22 4 2 2 2 33 33 2312 NH 3 H 1 N )1(16 27 )1( )1( )1(2 3 )1(2 )()()( 322 pp pxxxKp = + + + = = + 习题习题习题习题4.104.104.104.10n0v1mol 的气体 A1和n0v2mol 的气体 A2的混合物在温度T和压强p 下所占体积为V0, 当发生化学变化，；0AAAA 22114433 =+ 并在同样的温度和压强下达到平衡时，其体积为Ve。试证明反应度为 2143 21 0 0 + + = V VVe 证证证证：未发生化学变化时，有 （4.10.1）RTnnpV)( 20100 += 当发生化学变化时， 原来有n0v1mol 的气体A1， 反应了n0v1mol， 未反应(1-) n0v1mol,n0v2mol 的气体 A2，反应了n0v2mol，未反应(1-)n0v2mol, 生成 n0v3mol A3和n0v4mol A4，有 (4.10.2)RTnnnpVe )-(1 n )-(1 40302010 += 由式（4.10.1）比式（4.10.2）可得 (4.10.3) 2010 40302010 0 n )-(1 n )-(1 n nnn V Ve + + = 解(4.10.3)式得 2143 21 0 0 + + = V VVe 习题习题习题习题 4.114.114.114.11 根据第三定律证明，在T0 时。表面张力系数与温度无关。即 。0 dT d 证证证证：表面膜系统，;dASdTF+=S T F A = = T A F ; 而 实 际 上与A无 关 ， 即= T A S A T = T A S dT d T0时，根据热力学第三定律；()0 lim 0 = T T S 于是得：；原式得证。 dT d 0= = T A S 习题习题习题习题4.124.124.124.12 试根据第三定律证明，在T0 时， 一级相变两平衡曲线的斜率为 dT dp 零。 证证证证：；T0； V S dT dp =0 00 = = TT V S dT dp ；原式得证。()0 lim 0 = T T S 习题习题习题习题4.144.144.144.14 设在压强p下，物质的熔点为T0, 相变潜热为L，固相的定压热容量 为Cp,液相的定压热容量为Cp. 试求液体的绝对熵表达式。 解解解解： 为计算T温度，p压强下，液体绝对熵，可假想如下图过程。 p 液相 ABC 固相 T0T AB,等压过程： = 0 0 T p BA T dTC S B 点相变过程. 0 T L SB= 相变 BC,等压过程： = T T p CB T dTC S 0 于是 =+=SSS)0( 0 0 T p T dTC 0 T L + + T T p T dTC 0 习题习题习题习题 4.154.154.154.15 试根据第三定律讨论图 4.6(a) (b)两图中哪一个是正确的？图上画出 的是顺磁性固体在H=0 和H=Hi时的S-T曲线。 解：图(b)正确。拒热力学第三定律。T0；S(0)=0;且T0，；0= T x S 即 0K附近，S在等温过程中的变化与任何其它参量无关。 第五章第五章第五章第五章 不可逆过程热力学简介不可逆过程热力学简介不可逆过程热力学简介不可逆过程热力学简介 习题习题习题习题5.15.15.15.1 非各向同性晶体中热传导过程的经验规律为 = zT yT xT kkk kkk kkk J J J zzzyzx yzyyyx xzxyxx z y x 其中Jx,Jy,Jz是热流密度，是温度梯度的三个分量。热传导系数k , , z T y T x T 是一个张量。如果根据晶体的对称性知热传导系数具有如下形式： = zz yyxy xyxx k kk kk k 0 0 0 0 问根据昂萨格关系能得到什么结论？ 解解解解：由昂萨格关系Lkl=Llk 即kxy=-kxy，2kxy=0 必有kxy=0，得 = zz yy xx k k k k 0 0 0 0 0 0 习题习题习题习题5.25.25.25.2 设z方向加上外磁场。电流可以在处于x、y平面的导体上流动。当导 体上温度均匀恒定而存在电势梯度时，欧姆定律给出 = y x yyyx xyxx y x J J 其中Jx,Jy,是热流密度，是电场强度的两个分量。是电导率张量。试根据 , yx 对称性证明。问根据昂萨格关系能得到什么新的结论？ xyyx = 解解解解证略。=0， xy = y x yy xx y x J J 0 0 习题习题习题习题5.35.35.35.3 带有小孔的隔板将容器分为两半，容器与外界隔绝，其中盛有理想气 体，两侧气体存在小的温差T和压强差p而各自处于局域平衡。以和 dt dn Jn= 表示单位时间内通过小孔从一侧转移到另一侧的气体的物质的量和内 dt dU Ju= 能。试导出熵产生率公式，从而确定相应的动力。 解解解解：根据热力学基本方程 = i iidn dUTds 得 dt dn Tdt dU Tdt ds i i i = 11 设温度为T+T的一侧熵为s1;温度为T的一侧熵为s2, 则 dt dn TTdt dU TTdt ds + + + = 1 1 dt nd Tdt Ud Tdt ds = 1 2 因为0 ;0=+=+nddnUddU 所以，dnnddUUd= ; 熵产生率 dt dn Tdt dU Tdt ds += 1 2 = dt ds dt ds dt sdi 21 += dt dn Tdt dU Tdt dn TTdt dU TT + + + + 11 = dt dn TTTdt dU TTT + + + 11 = T J T J nu 1 相应的动力 22 , 1 T TT T X T T T X nu = = = = 第六章第六章第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布 习题习题习题习题6.26.26.26.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度L内，在到的能量范围d+ 内，量 子态数为： d m h L dD 2 1 2 2 )( = 证证证证：一维自由粒子，附近的量子态为 x P ； x dP h L dn= xx xxx dP m dP m m m dPP d m P 21 2 2 2 +=+= 于是。( ) d mh L dD 2 += 而 Px对应同一能量，于是：( ) mh L mh L D 222 2= = 习题习题习题习题6.36.36.36.3 试证明，对于二维自由粒子，在长度L2内，在到的能量范围d+ 内， 量子态数为 ( ) md h L dD 2 2 2 = 证证证证：二维；在Px,Py附近dPxdPy区间上内的粒子数。 (s面积)PdPd h S dPdP h S dn yx 22 = 因只与P有关（P0）,故对积分可得： m P 2 2 = ，( ) = m P h S PdP h S dD 2 22 2 22 d h mS m 2 2 = (s=L2)( ) 2 2 h mS D = 习题习题习题习题 6.46.46.46.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为。试求在体积 Vcp= 内，在到的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。d+ 解解解解：ddpdp h V dpdpdp h V dn zyx sin 2 33 = 由于只与有关，与、无关，于是cp=p = 2 0 0 3 2 2 3 2 3 )( 44 sin)( hc V dpp h V ddpdp h V dD 以上已经代入了cdpdcp= 于是， 3 2 )( 4 )( hc V D = 习题习题习题习题 6.56.56.56.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N.粒子间的相互作用很 弱，可 看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试 证明， 在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：和。其 l ea ll = = l ea ll 中和 l 是两种粒子的能级，和是能级简并度。 l l l 证证证证：粒子 A 能级，粒子数分布：al简并度 l l 粒子 B 能级，粒子数分布：al简并度 l l 由 21 = 21 lnlnln+= 即使最大，达到最大。() 11 ln() 22 ln l ea ll = （注：与在此情况下独立） l ea ll = l a l a 讨论，若将一系作为子系统，意味总能守恒，于是参照教材玻尔兹曼分布证 明 0lnln= + + llllll l l ll l l aaaa a aa a 同一，原题得证。这也是满足热平衡的要求。 0 第七章第七章第七章第七章 玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计 习题习题习题习题7.17.17.17.1 根据公式证明，对于非相对论粒子： = l l l V aP ，=0，1，2，)() 2 ( 2 1 2 222 2 2 zyx nnn Lmm p s+= zyx nnn, 有,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 V U p 3 2 = 证证证证：= = l l l V aP + )() 2 ( 2 1 222 2 zyx l l nnn LmV a = + )( )2( 2 222 2 3 zyx l l nnn Lm L V a 其中; V a u ll =V 3 L =p + )( )2( 2 1 222 2 3 2 zyx l l nnn V mV a (对同一 ,)l 222 zyx nnn+ = m a l l 2 1 2 )2()( 222 zyx nnn+) 3 2 ( 3 5 V = m a l l 2 1 2 222 2 )()2( L nnn zyx + ) 3 2 ( 3 5 3 2 VV V U 3 2 习题习题习题习题7.27.27.27.2 试根据公式证明，对于极端相对论粒子： = l l l V aP ，=0，1，2， 2 1 222 )( 2 zyx nnn L ccp+= zyx nnn, 有,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 V U p 3 1 = 证证证证：； = l l l V aP 对极端相对论粒子 2 1 222 )( 2 zyx nnn L ccp+= 类似得 3 1 2 1 2 )( )2( = Vn V aP i l l = V U VVa l ll 3 1 ) 3 1 ( 3 4 3 1 = 习题习题习题习题7.37.37.37.3 当选择不同的能量零点时，粒子第 个能级的能量可以取为，以l l l 或 表 示二者之差。试证明相应的配分函数存在以下关系，并= l l 11 ZeZ = 讨论由 配分函数Z1和Z*1求得的热力学函数有何差别。 证证证证： 配分函数 = l eZ l 1 () 11 1 * ZeeeZ ll l+ = 以内能 U 为例，对Z1: 1 lnZNU = 对Z1*:()UNeNZNU Z += = = 1 lnln 1 * 习题习题习题习题7.47.47.47.4 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为 = s PsPsNkSln 式中 Ps是总粒子处于量子态 s的概率，,对粒子的所有量 1 Z e N e P ss s = s 子态求和。 证证证证法一：出现某状态几率为Ps s 设 S1,S2,Sk状态对应的能级； s 设 Sk+1,Sk+2,Sw状态对应的能级； s 类似； 则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 ； N e P s S = 显然NPs代表粒子处于某量子态 S 下的几率，。于是 S eNPS = 代表处于 S 状态下的粒子数。例如，对于能级 S e s = K S S SS e 1 个粒子在上的 K 个微观状态的概率为： s ( ) () = = k S SS s e SS PPSP 1 粒子数 类似写出：() = = k S SS s e S PSP 1 等等。 于是 N 个粒子出现某一微观状态的概率。 ( )= = S SS SPP = k S SS s e S P 1 = k S SS s e S P 1 一微观状态数， （基于等概率原理） P 1 = =lnkS = + = = W S K SS S k S SS S e S e S PP kS 11 1 ln k=()() + + KW K SS S S S S S S PePe 11 lnln 将带入； S eNPS = S S S PPkNSln = 习题习题习题习题7.57.57.57.5 固体含有 A、B 两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起 的混 合熵为其中 N 是总原子数，xkS= )1ln()1(ln !)1(! ! xxxxN xNN N x += 是 A 原子的百分比， （1-x ）是 B 原子的百分比。注意 x1，上式给出的熵为正值。 证证证证： 显然 !)1()!( ! ! ! 21 xNNx N nn N = S=-N=；kk)1ln()1(lnxxxx+ )1( )1(ln xx xxNk 由于1， 故；原题得证。 )1( )1( xx xx 0S 习题习题习题习题7.67.67.67.6 晶体含有 N 个原子。原子在晶体中的正常位置如图中 O 所示。当原子 离开正 常位置而占据图中位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体这种缺陷 叫做弗伦克缺陷。 (1)假设正常位置和填隙位置数都是 N，试证明由于在晶体中形成 n 个缺位和 填隙原子而具有的熵等于； )!( ! ! ln2 nNn N kS = (2)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u。试由自由能F=nu-Ts为极小 值证明，温度为T时，缺位和填隙原子数为n(设nN) kT u Ne 2 证证证证：(1)= = )!( ! ! )!( ! ! lnln nNn N nNn N kkS )!( ! ! ln2 nNn N k (2)略，参见 ex7.7 习题习题习题习题7.77.77.77.7 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新 的一 层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。以N表示晶体中的原 子 数，n 表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极 小的条件证明，温度为T时n(设nN)其中W为原子在表面位置与 kT W Ne 正常位置的能量差。 证证证证：,设原子皆未跳出到表面时,U=0,则形成 n 个空位需要能量TSUF= ；,而在N个格点上形成 n 个空位，其可能的状态数nWU=lnks !)!( ! nnN N = ;利用!ln)!ln(!lnlnnnNN=)1(ln!lnmmm )1(ln1)ln()()1!(lnln=nnnNnNNN ) 1(ln1)ln() 1(ln+=nkTnnNnNkTNkTNnWF 利用自由能判据0= n F ) 1 ()1(ln) 1 )(1)1ln(0 n kTnnkTn nN nNkTnkTW+ += 0ln)ln(=+nkTnNkTW ；。,)( kT W enNn =Nn kT W Nen = 习题习题习题习题7.87.87.87.8 气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动 量的最 概然分布为 e 2 0 22 )( 2 pppp m xyx += 3 L dpdpVdp zyx 证证证证： 设能级这样构成：同一中，P 相同，而 P 与 P 在变化，于是有： l l zxy )3(0 )2(0 )1(0 = = = lzlz llll ll apapp aaE aaN () = 0 papp lz 参照教材玻耳兹曼分布证明；有 -,ENln z p 其中）（ 2 22 2 1 Z yxl ppp m += 由(1)知: Ndpdpdpe h V zyx pz = 3 将代入 并配方得: l zyx pp m dpdpdpe h Vzzyx +) 2 ()( 3 2 =Ndpdpdpe h V zyx m p m m zyx = + 2 )( 2 )() 2 2 ( 3 其中 m p m p y y x x 2 , 2 2 2 = 对比 page238 式（7.2.4）得： 2 3 2 2 3 2 ) 2 ( ) 2 () 2 ( 2 mkT h n mkT h V N e m = 整个体积内，分布在内分子 zzzyyyxxx dpppdpppdppp+, 数为： zyxzyxzyx m p m dpdpdppppfdpdpdpe mkT N zyx = + ),() 2 1 ( 2 )( 2 )( 2 3 由条件（3）知 = 0 ),(Npdpdpdppppfp zyxzyxz 计算得 z m p m zyx dpe mm pdpedpe mkT z y x 2 )( 2 2 3 )() 2 1 ( + + = z m p m yx dpe m dpdpe mkT z yx + + 2 )( 2 )( 2 3 )() 2 1 ( = 0 p N dpdpfdp m zyx = 0 p m = 代入得出分布： 3 )( 2 2 0 22“ h dpdpVdp e zyx pppp m zyx + 其中, 2 2 m = 0 p m = 习题习题习题习题7.97.97.97.9(略)结合（7.8）求平均值。 习题习题习题习题7.107.107.107.10 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动， 可以看作二维理想气 体。 试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率 ，最概然速v 率和方均根速率。 m v s v 解解解解： 对于二维情形，)( 2 1 22 yx pp m += （准）连续能量下的简并度：面积s h dpsdp yx ; 2 玻耳兹曼分布：；利用 yx pp kTm dpdpe h syx )( 2 1 2 22+ kTm N e h s N m e h s Ndpdpe h s yx pp m yx 2 2 4 22 )( 2 2 22 = + + yx vv kT m dvdve kT m N y x )( 2 22 ) 2 (: + 速度分布率 进而推出速率分布：vdve kT Nm kT mv 2 2 习题习题习题习题7.117.117.117.11试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度和相对 12 vvvr = 速率的概率分布，并求相对速率的平均值。 rr vv = r v 解解解解：两分子的相对速度在内的几率 r v rzryrx dvdvdv 2 1 22 111 )()()()( 2 3 211 )( ) 2 ( )()()( 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + = = = kT m e dvdvdve kT m vVvVvdvV rx rzzryyrxxzyx v kT m zyx vvvvvvvvv kT m rr 同理可求得分量为和 zy vv 11 , 2 1 22 )( 2 kT m e ry v kT m 2 1 22 )( 2 kT m e r v kT m 222 3 2 3 3 22 22 )( 8 1 )() 2 ()( rr v kT mv kT m rr e kT m kT m kT m evV = 引进，速度分布变为 2 m = rr v kT m dvve kT r 2 22 3 2 ) 2 ( 利用球极坐标系可求得速率分布为： rr v kT m dvve kT r 2 22 3 2 ) 2 (4 相对速率平均值v kT dvvev kT v rr v kT m rr r 2 8 ) 2 (4 2 2 0 2 3 2 = 习题习题习题习题7.127.127.127.12 试根据麦氏速度分布率证明，速度和平均动量的涨落为 2 22 )( 2 3 )(), 8 3()(kTee m kT vv= 解解解解：；（略） 2 2 2 22 )2()(vvvvvvvv+=+= 2 22 )(= 习题习题习题习题7.137.137.137.13 试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于与之间的分vdvv+ 子数为：dvve kT m nd kT mv 3 2 2/3 2 ) 2 ( = 证证证证： 在斜圆柱体内,分速度为的方向的分子数为: z vv dtdsvVVvvvnfdn zzyx =;),( * 圆柱 dsdtdvdvdvve kT m ndsdtnfvdn zyxz vvv kT m z zyx )( 2 2 / 3 * 222 ) 2 ( + = 对于 :0,积分得从对从+ zyx vvv 时间碰撞到面积上的分子数（）dtdsdvvv+ + + + + = 0 )( 2 23* 222 ) 2 (dsdtdvdvdvve kT m nn zyxz vvv kT m zyx =dsdtddvdve kT m n kT mv cos) 2 ( 2/ 0 3 2 2 0 2 3 2 得到：若只计算介于分子数则为： （只对积分）dvvv+, dvve kT m nn v kT m 3 2 2/3* 2 )2/1(2) 2 ( = dvve Tk m n kT mv 3 2 2/3 2 ) 2 ( = 习题习题习题习题7.147.147.147.14 分子从器壁小孔射出，求在射出的分子束中，分子平均速度和方均 根速度。 解解解解：； 变量代换 dvve kT m n dvve kT m n v kT nv v kT m 3 0 2 2/3 0 4 2 2/3 2 2 ) 2 ( ) 2 ( + + = =dx m kT dvxn kT m2 ; 2 0 45/22/3 2 ) 2 () 2 (dxxe m kT kT m n x ;)8/3() 2 () 2 ( 2/52/3 m kT kT m n= = 0 322/33 0 2 2/3 2 2 ) 2 () 2 () 2 (dxxe m Tk kT m ndvve kT m n x Tk mv =)2/1() 2 () 2 ( 22/3 m kT kT m n 略类似求,; 8 9 2/1 ) 2 ()8/3( 2/1 s v m kT m kT v = 习题习题习题习题7.157.157.157.15 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为： 其中是常数，求粒子的平均能量。bxaxppp m zyx += 2222 )( 2 1 ba, 解解解解： a b a b a bx xa m p 4 ) 4 ( 2 2 2 2 2 2 += +