第二十六章奥赛园地·数学人教版九下-特训班.pdf

奥 赛 园 地 得之在俄倾, 积之在平日. 袁守侗 【 例】 ( 全国初中数学竞赛海南赛区)实数x, y满足x xy , 设wxy x, 则w的最大值是 【 分析】 由x xy , 得 x y x, 知x 又y x x,wx x xxx x ( x) , 由此可见, 当x时, w随着x的增大而减 小, 又因为x, , 故当x时,w的最大值是 【 解答】 【 说明】 解答本题需利用代入法和配方法解题的难点 是通过x的取值范围确定w的最大值 初赛题 已知抛物线yx b xc的系数满足bc, 则这条 抛物线一定经过点( ) A(,)B(,) C(,)D(,) ( 全国初中数学竞赛海南赛区)已知二次函数ya x b xc ( a) 的图象如图所示, 记pab,qba, 则下列结 论正确的是( ) ( 第题) ApqBqp CpqDqp ( 全国初中数学联赛江西省初赛试题)设a b, 且函数f(x) x a xb与f(x)x a xb有相同的最小值 u; 函数f(x)x b xa与f(x)x b x a有相同的最大值v, 则uv的值( ) A必为正数B必为负数 C必为D符号不能确定 已知二次函数yx b xc(c)的图象与x轴的交点 分别为点A、B, 与y轴的交点为点C设A B C的外接圆 的圆心为点P ( ) 证明:P与y轴的另一个交点为定点; ( ) 如 果A B恰 好 为P的 直 径 且SA B C, 求b和 c的值 复赛题 ( 全国初中数学联合竞赛试题)已知二次函数yx b x c 的图象经过两点P(,a) ,Q(, a) ( ) 如果a,b,c都是整数, 且cba, 求a,b,c的值; ( ) 设二次函数yx b xc的图象与x轴的交点为A、 B, 与y轴的交点为C如果关于x的方程x b x c 的两个根都是整数, 求A B C的面积 ( 全国初中数学竞赛海南赛区)如图, 在R t A B C中,C ,A C,B C, 点E在A C上( 点E与点A、C都不重 合) , 点F在斜边A B上( 点F与点A、B都不重合) ( ) 若E F平分R t A B C的周长, 设A Ex,A E F的面 积为y, 写出y与x之间的函数关系式, 并指出x的取 值范围; ( ) 试问: 是否存在直线E F将R t A B C的周长和面积同 时平分? 若存 在, 求 出A E的长; 若 不 存 在, 请 说 明 理由 ( 第题) 奥 赛 园 地 B B 提示: 由图象, 知a,c, b a , 从而ab, 又(ab)(ba)a , 即abba C 提示:f(x)(xa) ba b a , f(x)(xa) ba ba 由bauba, 得ba f(x)(xb) ab ab , f(x)(xb) ab ab 由ab v ab , 得 ab , 得(ab)(b a) , 所以ab, 或ba 若ab, 则(uv)(ba)(a b ) (ab) (ba) ; 若ba , 根据, 得b () b , 即( b) , 矛盾 () 易求得点C的坐标为(,c) , 设A(x,) , B(x,) , 则xxb,xxc 设P与y轴的另一个交点为D, 由于A B、 C D是P的两条相交弦, 它们的交点为点 O, 所 以O AO BO CO D, 则O D O AO B O C | xx| |c| | c| |c| 因为c, 所以点C在y轴的负半轴上, 从 而点D在y轴的正半轴上, 所以点D为定 点, 它的坐标为(,) () 因为A BC D, 若A B恰好为P的直 径, 则C、D关于点O对称, 所以点C的坐标 为(,) , 即c 又A B|xx|(xx) xx (b) cb , 所以SA B C A BO C b , 解得b 点P(,a) ,Q(, a) 在二次函数yx b xc的图象上, 故bca,bc a, 解得ba,ca () 由cba, 知 aa, aa, 解得a 又a为整数, 所以a,ba ,c a ()设m, n是方程的两个整数根, 且mn 由根与系数的关系可得mnb a,m nca, 消去a, 得m n(mn), 两边同时乘以, 得 m n (mn) , 分解因式, 得(m) (n) 所以 m, n 或 m, n 或 m , n 或 m, n, 解得 m, n 或 m , n 或 m , n 或 m , n 又m,n是整数, 所以后面三组解舍去, 故m,n 因此b(mn),cm n, 二 次函数的解析式为yxx 易求得点A、B的坐标为(,) 和(,) , 点C 的坐标为(,) , 所以A B C的面积为 () () 在R tA B C中,A C,B C, 所 以 A B A B C的周长为 又 E F平分A B C的周长, A EA F, 而A Ex A Fx ( 第题) 过点F作F DA C于点D, 则D F A Fs i n A B C A B D F x D F (x) y A ED F x (x) x x( x) () 这 样