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- 1 - 习题三解答 1.沿下列路线计算积分 +i dzz 3 0 2 。 （1）自原点到i3+的直线段 （2）自原点沿实轴至 3，再由 3 沿垂直向上至i3+； （3）自原点沿虚轴至 i，再由 i 沿水平方向右至i3+。 解（1） = = , ,3 ty tx 10 t，故ttzi3 +=，10t。()dtdzi3+= 于是 () ()dtttdzzi3i3 2 13 0 1 0 2 += + () += 1 0 2 3 i3dtt ()i 3 26 6i3 3 1 0 1 |i)3( 3 1 3 33 +=+=+=t （2） + += i3 0 i3 0 2222 21 dzzdzzdzzdzz CC 。 1 C之参数方程为 = = , ,3 ty tx ()10 t； 2 C之参数方程为 = = , , 3 ty x ()10 t 故 () + +=+= i3 0 1 0 1 0 2 22 i 3 26 6ii339dttdttdzz。 （3） + +=+= i3 0 i 0 i3 i 22222 43 dzzdzzdzzdtzdzz CC 。 ()10i: 3 =ttzC；()10i3: 4 +=ttzC， 故 () + +=+= i3 0 1 0 1 0 2 22 i 3 26 63i3idttdttdzz 2分别沿xy =与 2 xy =算出、积分() + + i dzyx 1 0 2 i的值。 解（1）沿xy =。此时()10i+=tttz。()dtdzi1+=，于是 ()()() + +=+ i1 0 1 0 22 i1iidtttdzyx()()() += +=+= 1 0 2 i 6 5 6 1 2 i 3 1 i1ii1dttt。 （2）沿 2 xy =，此时()10i 2 +=tttz。()dttdz2i1+=，故 ()()() + +=+ i1 0 1 0 222 2i1iidttttdzyx()()()() +=+= 1 0 1 0 322 2ii12i1i1dtttdttt ()i 6 5 6 1 2 i 3 1 i1+= +=。 3设( )zf在单连域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问 ( )( ) =0ImRedzzfdzzf CC 是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 解 未必成立。令( )zzf=，1:=zC，则( )zf在全平面上解析，但是 x 3+i C2 C1 O C3 i C4 y (z) 3 课后答案网 课后答案网 - 2 - ( ) = 2 0 ReRe ii C deedzzf() =+= 2 0 0icosisincosd ( ) = 2 0 ii ImImdeedzzf C () =+= 2 0 0cosisinsind 4利用单位圆上 1 z z =的性质，及柯西积分公式说明2 i C zdz= ? ，其中C为正向单位圆周| 1z =。 解 1 2 i CC zdzdz z = ? ， （利用柯西积分公式） 5计算积分dz z z C 的值，其中 C 为正向圆周： （1）2=z； （2）4=z 解 （1）因在2|=z上有2|=z，4| 2= =zzz，从而有 z z 4 =，故有 i4 2 2| 2|2| 4 = = dz z dzdz z z zCz Z （2）因在 C 上有4|=z，16| 2= =zzz，从而有 z z 16 =，故有 i8 4 4| 4|4| 16 = = dz z dzdz z z zCz Z 6利用观察法得出下列积分的值。 解 利用柯西古萨基本定理和柯西积分公式。 7沿指定曲线的正向计算下列各积分。 （1） C z dz z e 2 ，1|2:|=zC （2） 22 C dz za ? ，:|Czaa= （3） i 2 1 z C e dz z + ? ，:|2i| 3/2Cz = （4） 3 C zdz z ? ，:| 2Cz = （5） 23 , (1)(1) C dz zz ? :|1Czr=时， 3 3 1/()| 10 () z C e zazdz za ? 在上解析，故； 当| 1a ?，故 ( )f z ? 在C及其内部解析。由 Cauchy 基本定理知： 2 ( )( ) 0 CC fzf dd zzR = ? ? 。 34根据柯西积分公式与习题 33 的结果，证明 2 22 111() ( ) ( )( ) 2 i2 i()() CC zRzz f f zfdd zRzz Rz =+= ? ， 其中C为|zR=|. 证明 由柯西积分公式有： 1( ) ( ) 2 i C f f zd z = ? ；而由 33 题结果知 2 ( ) 0 C zf d zR = ? ，故 将这两式相减即得。 35 如果令 ii e ,eRzr =，验证 222 /i . ()()()()R2cos() ddd z RzzzRrr = + 并由 34 题的结果，证明 22i 2 22 0 1() (e ) ( ) 22cos() Rrf R f zd RRrr = + . 取其实部，得 22 2 22 0 1() (cos ,sin ) ( , )( cos , sin ) 22cos() Rru RR u x yu rrd RRrr = + 这个积分称为泊松（Poisson）积分。通过这个公式，一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的 值来表示。 证明 2 i RR RR e =，故 22 / . ()()()() ()() ddd Rz Rzzz zz = 又 i i diR e d id R e = ， 22 ()()2cos()zzRRrr=+，故 课后答案网 课后答案网 - 10 - 22 /i ()()2cos() dd zzRRrr = + 。 又由 34 题知 222i 222 1() ( )1() (e ) ( ) 2 i()()22cos() CC Rzz fRrf Rd f zd z RzRRrr = + ? 。 36设( )f z在简单闭曲线C内及C上解析，且不恒为常数，n为正整数. 1）试用柯西积分公式证明： 1 ( ) ( ) 2 i n n C f f zd z = ? . 2）设M为|( )|f在C上的最大值，L为C的长，d为z到C的最短距离，试用积分估值公式 （3.1.10）于 1）中的等式，证明不等式： 1/ |( )| 2 n L f zM d . 3）令n +，对 2）中的不等式取极限，证明：|( )|f zM。这个结果表明：在闭区域内不 恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理） 。 证明 1）在柯西积分公式中将里面的函数( )f