上海工程技术大学概率论作业答案.doc

习题一1设是三个事件，且，求中至少有一个发生的概率解：2设事件及的概率分别为及，求：，及解：3设，试分别在下列三种情况下求)的值：(1) 互不相容；(2) ；(3) 解：（）（）（）4盒子中装有同型号的电子元件100个，其中有4个是次品从盒子中任取4个，求：(1) 4个全是正品的概率；(2) 恰有一个是次品的概率；(3) 至少有两个是次品的概率解：或5从45件正品5件次品的产品中任取3件产品，求其中有次品的概率解：6从一副扑克牌（52张）中任取4张，求4张牌的花色各不相同的概率解：7某城市的电话号码由个数字组成，第一位为5或6求(1) 随机抽取的一个电话号码为不重复的八位数的概率；(2) 随机抽取的一个电话号码末位数是8的概率解：8房间里有4人，求：(1) 这4人的生日不在同一个月的概率；(2) 至少有2人的生日在同一个月的概率解：9已知，求解：10掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率解：设：其中一颗为点，：点数之和为，则或，则11某个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，试问另一个也是女孩的概率是多少?解：其中一个是女孩的样本空间为：（男，女），（女，男），（女，女）故所求概率为12一盒子中装有7只晶体管，其中5只是正品，2只是次品，从中抽取两次，每次任取一只不放回，求：(1) 两次都取得正品的概率；(2) 第一次取得正品，第二次取得次品的概率；(3) 一次取得正品，另一次取得次品的概率；(4) 第二次取得正品的概率解：（1）（2）（3）（4）13袋中有红球和白球共100个，其中白球有10个每次从袋中任取一球不放回，求第三次才取到红球的概率解：设表示事件“第次取到白球”，则所求概率为：14某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拔号不超过三次而拨对所需电话的概率若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少?解：（1）或（2）15两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的一件产品是合格品的概率解：设事件：取得的产品是合格品，事件：取得的产品由第台车床加工，则所求概率为：16设有甲、乙两个口袋，甲袋中装有只白球，只红球，乙袋中装有只白球，只红球现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任意取一球，问：(1) 取到白球的概率是多少?(2) 若已知取到白球，则原先是从甲袋中取得白球放入乙袋的概率是多少?解：设事件：从乙袋取到白球，事件：从甲袋取到白球（1）所求概率为：（2）所求概率为：17设8支枪中有3支未经试射校正，5只已经试射校正一射手用校正的枪射击时，中靶的概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为0.3现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率解：设事件：射击中靶，事件：所用的枪是已校正过的则所求概率为：18盒子中放有12个乒乓球，其中有9个是新的第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率解：设事件：第二次取出的球全是新球事件：第一次取出的球当中有个新球，则所求概率为：19设事件与相互独立，且求下列事件的概率：(1) ； (2) ；(3) 解：（1）（2）（3）20甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲击中目标的概率是0.9，乙击中目标的概率是0.8甲、乙两人各射击一次，求此目标被击中的概率解：设事件：甲击中目标，事件：乙击中目标则所求概率为：21设每一门高射炮（发射一发）击中飞机的概率为0.6，现若干门炮同时发射（每炮射一发），若欲以99%的把握击中来犯的一架飞机，问至少需配备几门高射炮?解：事件：第门炮击中飞机，则所以至少配备6门高射炮。22如图，三个元件分别记作，且三个元件能否正常工作是相互独立的设三个元件正常工作的概率分别为0.7，0.8和0.8，求该电路发生故障的概率解：设事件分别表示元件正常工作则所求概率为：或23一大楼有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻(1) 恰有2个设备被使用的概率；(2) 至少有3个设备被使用的概率解：（1）（2）24某人独立射击10次，每次射击的命中率均为0.6，求：(1) 击中三次的概率；(2) 至少有一次未击中的概率解：（1）（2）习题二1.设随机变量的分布律为，(1)确定常数；(2)求解：（1）由规范性：得：（2）2设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样以表示取出次品的只数，求的分布律解：的分布律为：0123一射手每次射击的命中率为0.2，试问必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：设表示次射击中击中的次数，则必须进行11次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9.4一批产品中有20的次品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，计算这5件样品中恰好有3件次品、至多有3件次品的概率解：设表示5件样品中次品的件数，则则恰好有3件次品的概率为：至多有3件次品的概率为：5某高速公路每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）解：6某电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：(1) 每分钟恰有8次呼唤的概率；(2) 每分钟的呼唤次数超过10次的概率解：7设随机变量的分布律为求的分布函数解：8一口袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5从袋中同时取3只，以表示取出的三只球中的最大号码，求随机变量的分布律和分布函数，解：X的可能取值为3，4，5，X的分布律为：X的分布函数为：9设随机变量的概率密度为求：(1) 系数；(2) 的分布函数；(3) ；解：（2）当时，X的分布函数为：10设连续型随机变量的分布函数为求：(1) 系数；(2) ；(3) 概率密度解：11设在上服从均匀分布，求方程有实根的概率解：方程有实根，即所求的概率为：12设某种电子元件的使用寿命（以小时计）的概率密度为某仪器内装有3个这样的电子元件（设各电子元件损坏与否相互独立），试求：(1) 使用的最初150小时内没有一个电子元件损坏的概率；(2) 这段时间内只有一个电子元件损坏的概率解：最初150小时内一个电子元件损坏的概率为：设Y：最初150小时内电子元件损坏的个数，则故13设随机变量在上服从均匀分布现对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率解：设Y：三次观测中观测值大于3的次数，则故所求概率为：14设，试求：(1)；(2)；(3) 解：15某产品的质量指标，若要求，允许最大为多少？解：16测量至某一目标的距离时发生的随机误差（M）的概率密度为，求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30M的概率解：一次测量误差的绝对值不超过30M的概率为：设Y：在三次测量中误差的绝对值不超过30M的次数，则所求概率为：17设随机变量的分布律为-2-1013试求：(1) ；(2) 的分布律解：（1）-6-2024（2）014918设随机变量，求：(1) 的概率密度；(2) 的概率密度解：的概率密度为：（）且故由定理可得，的概率密度为：（）的分布函数为：的概率密度为：19设随机变量在上服从均匀分布，求：(1) 的概率密度；(2) 的概率密度解：的概率密度为：(1)且故由定理可得，的概率密度为：(2)且故由定理可得，的概率密度为：习题三1 一口袋中装有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球，设每次取球时袋中每个球被取到的可能性相同以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，试写出随机变量和的联合分布律解：12310232设随机变量的概率密度为(1) 确定常数；(2) 求；(3) 求；(4) 求解：(1)(2)(3)(4)3设二维随机变量具有概率密度(1) 求分布函数；(2) 求概率解：(1)当时，当取其他值时，(2)4求第1题中随机变量的边缘分布律解：1231235. 设随机变量的概率密度为，求关于和关于的边缘概率密度。解：6设随机变量具有概率密度求边缘概率密度解：7设随机变量和的联合分布律为12123试问：当取何值时，与相互独立？解：与相互独立，则有即即8设随机变量在区域上服从均匀分布，其中由直线所围成(1) 求与的联合概率密度；(2) 求的边缘概率密度；(3) 问与相互独立吗？为什么？解：(1)的面积与的联合概率密度为：(2) (3) 不是相互独立的。因为不恒成立9设和是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度为(1) 求的概率密度；(2) 设含有的二次方程为，求有实根的概率解：(1) X与相互独立，(2) 方程有实根，即所求概率为：10设和是两个相互独立的随机变量，其分布律分别为01-1010.60.40.20.30.5试分别求和的分布律解：0.120.180.30.080.120.2(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)-101012001111的分布律为：的分布律为-1012010.120.180.420.20.30.711设和是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度是试求的概率密度解：12设随机变量和相互独立，在上服从均匀分布，在上服从均匀分布，求和的概率密度解：习题四1设随机变量的分布律为，求解：2一口袋中共有只球，其中只白球，只红球和只黑球从中随机地取出只球，以表示这三只球中所含红球数，试求解：的分布律为:X0123设随机变量的概率密度为求解：4某车间生产的圆盘其直径在区间内服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望解：圆盘直径的概率密度为：圆盘面积的数学期望为：5设随机变量的概率密度为求（1），（2）的数学期望解：6设二维随机变量的概率密度为求解：7设随机变量相互独立，它们的概率密度分别为求解：8计算第1题，第3题中随机变量的方差及标准差解：第题方差：标准差：第题方差：标准差：9设随机变量服从参数为2的泊松分布，求解：10设随机变量与相互独立，且，求解：11设随机变量与相互独立，且，设，求的概率分布，并求概率解：12试证明：如果与相互独立，则有解：等式右边等式左边13已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均数是7300，均方差是700利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在52009400之间的概率解：设：每毫升血液中含白细胞数所求概率14设随机变量的分布律为：且设，实验证和是不相关的，但和不是相互独立的解：的分布律为：的分布律为：-101010.30.40.30.60.4，的分布律为：1和不相关另一方面：和的联合概率密度为：01-10.30000.410.30显然和不相互独立15设，试求以及解：16设二维随机变量在上服从均匀分布，其中，试求相关系数解：17试证：证：习题五1根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布现随机取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率解：（1）设第i个元件的寿命为，则由中心极限定理得：2某银行的统计资料表明，每个定期存款储户的存款的平均数为元，均方差为元， (1)任意抽取个储户，问每户平均存款超过元的概率为多少？(2) 至少要抽取多少储户，才能以以上的概率保证，使每户平均存款数超过元解：（1）设第户储户的存款为，则由中心极限定理得：（2）查表得：至少要抽取165户储户，才能以以上的概率保证，使每户平均存款数超过元3有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3M现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3M的概率是多少？解：设短于3M的根数为，