（山东专用）高考数学一轮复习专题05函数单调性与最值（含解析）.docx

专题05 函数的单调性与最值一、【知识精讲】1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意的xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为函数yf(x)的最大值M为函数yf(x)的最小值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增函数，0f(x)在D上是减函数，即x与y同号增，异号减(2)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数(3)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”(4)f(x)x(a0)的单调性，如图可知，(0，减，)增，0)减，(，a增二、【典例精练】例1.(1)(2017全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，) D(4，)【答案】(1)D【解析】由x22x80，得x4或x2.设tx22x8，则yln t为增函数要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间函数tx22x8的单调递增区间为(4，)，函数f(x)的单调递增区间为(4，)故选D (2) 试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性【解析】 法一：定义法设1x1x21，f(x)aa，则f(x1)f(x2)aa.由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1,1)上单调递增【方法小结】1.对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分)、定号、下结论.(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.2.证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.如有多个单调增(减)区间应分别写，不能用“”联结.例2. (1) (2017浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关(2)若函数f(x)b(a0)在上的值域为，则a_，b_.(3)函数f(x)的最大值为_【答案】(1)B(2)1，(3)4【解析】(1)法一：设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b.Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关故选B法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与b无关随着a的变动，相当于图象左右移动，故函数f(x)在区间0,1的最大值M和最小值m变化，则Mm的值在变化，故与a有关故选B (2)单调性法f(x)b(a0)在上是增函数，f(x)minf，f(x)maxf(2)2.即解得a1，b.(3)当x0时，f(x)x24x(x2)24，而2(，0，此时f(x)在x2处取得最大值，且f(2)4；当x0时，f(x)sin x，此时f(x)在区间(0，)上的最大值为1.综上所述，函数f(x)的最大值为4.【解法小结】求函数最值的5种常用方法单调性法先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值例3.（1）已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()AcabBcbaCacbDbac【答案】D【解析】根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数所以aff，f(2)f(2.5)f(3)，所以bac.（2）设函数f(x)若f(a1)f(2a1)，则实数a的取值范围是()A(，1B(，2C2,6 D2，)【答案】B【解析】易知函数f(x)在定义域(，)上是增函数，f(a1)f(2a1)，a12a1，解得a2.故实数a的取值范围是(，2（3）已知函数f(x)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_【答案】(2,3【解析】要使函数f(x)在R上单调递增，则有即解得2a3，即实数a的取值范围是(2,3【方法小结】函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数易错警示：(1)若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值三、【名校新题】1(2019广州模拟)下列函数f(x)中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()A.f(x)2xB.f(x)|x1|C.f(x)xD.f(x)ln(x1)【答案】C【解析】由(x1x2)f(x1)f(x2)f(1) B.f(m)0，所以m1，所以f(m)f(1).3(2019东北三省四校质检)若函数ylog(x2ax3a)在区间(2，)上是减函数，则a的取值范围为()A.(，4)2，) B.(4，4C.4，4) D.4，4【答案】D【解析】令tx2ax3a，则ylogt(t0)，易知tx2ax3a在上单调递减，在上单调递增.ylog(x2ax3a)在区间(2，)上是减函数，tx2ax3a在(2，)上是增函数，且在(2，)上t0，2，且42a3a0，a4，4.4(2019菏泽模拟)定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于()A1 B1C6 D12【答案】C【解析】由题意知当2x1时，f(x)x2，当10且a1)，若f(0)0，可得3x1，故函数的定义域为x|3x1.根据f(0)loga30，可得0a1，又g(x)在定义域(3，1)内的减区间是1，1)，f(x)的单调递增区间为1，1).7(2019蚌埠模拟)已知单调函数f(x)，对任意的xR都有ff(x)2x6，则f(2)()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】设tf(x)2x，则f(t)6，且f(x)2xt，令xt，则f(t)2tt6，f(x)是单调函数，且f(2)2226，t2，即f(x)2x2，则f(2)426.8. (2019成都诊断)对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_.【答案】1【解析】法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)1.法二依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，因此h(x)在x2时取得最大值h(2)1.9(2019深圳调研)函数y|x1|x2|的值域为_【答案】3，)【解析】函数y作出函数的图象如图所示根据图象可知，函数y|x1|x2|的值域为3，)10(2019甘肃会宁联考)若f(x)在区间(2，)上是增函数，则实数a的取值范围是_【答案】(，3)【解析】f(x)1，要使函数在区间(2，)上是增函数，需使a30，解得a3.11.(2019南京调研)已知函数f(x)x在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_【答案】1，)【解析】设1x11.函数f(x)在(1，)上是增函数，f(x1)f(x2)x1(x1x2)0.x1x20，即ax1x2.1x11，x1x20时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)1，解关