（山东专用）高考数学一轮复习专题13导数的应用（1）研究函数的单调性（含解析）.docx

专题13 导数的应用（1）研究函数单调性一、【知识精讲】函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.二、【典例精练】考点一求函数的单调区间【例1】 已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.【解析】(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)x(x1)(x4)ex.令g(x)0，即x(x1)(x4)0，解得1x0或x0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间.2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.考点二讨论函数的单调性【例2】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xln .当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.(2)当a0时，f(x)e2x0恒成立.若aa2e时，f(x)0.综上，a的取值范围是2e，0.【解法小结】1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数.考点三函数单调性的简单应用多维探究角度1比较大小或解不等式【例31】 (1)已知函数yf(x)对于任意的x满足f(x)cos xf(x)sin x1ln x，其中f(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.ffC.ffD.ff(2)已知函数f(x)是函数f(x)的导函数，f(1)，对任意实数都有f(x)f(x)0，设F(x)，则不等式F(x)的解集为()A.(，1) B.(1，)C.(1，e) D.(e，)【答案】(1)B(2)B【解析】(1)令g(x)，则g(x).由解得x；由解得0x，所以gg，所以，即ff.(2)F(x)，又f(x)f(x)0，知F(x)0，F(x)在R上单调递减.由F(x)1，所以不等式F(x)的解集为(1，).角度2根据函数单调性求参数【例32】（2019全国卷III）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当0a0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a0，f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.4.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零.三、【名校新题】1. (2019青岛月考)函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A.先增后减 B.先减后增C.单调递增 D.单调递减【答案】D【解析】易知f(x)sin x1，x(0，)，则f(x)0，所以f(x)cos xx在(0，)上递减.2.(2019福州质检)若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A.k3或1k1或k3B.不存在这样的实数kC.2k2D.3k1或1k3【答案】D【解析】由f(x)x312x，得f(x)3x212，令f(x)0，解得x2或x2，只要f(x)0的解有一个在区间(k1，k1)内，函数f(x)在区间(k1，k1)上就不单调，则k12k1或k12k1，解得3k1或1k3.3. (2019淄博桓台月考)若函数f(x)kxln x在区间(2，)上单调递增，则k的取值范围是()A.(，2 B.C.2，) D.【答案】B【解析】由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(2，)上单调递增，等价于f(x)k0在(2，)上恒成立，由于k，而02，则f(x)2x4的解集为()A.(1，1) B.(1，)C.(，1) D.(，)【答案】B【解析】由f(x)2x4，得f(x)2x40，设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2，因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增.又F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1.5(2019百校联盟联考)若函数f(x)ex(sin xa)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是()A，) B(1，)C(，) D1，)【答案】D【解析】由题意知f(x)ex(sin xcos xa)0在区间上恒成立，即asin在区间上恒成立，x，sin，sin，1)，a1，故选D.6.(2019惠州调研)已知函数f(x)xsin xcos xx2，则不等式f(ln x)f2f(1)的解集为()A.(e，) B.(0，e)C.(1，e) D.【答案】D【解析】f(x)xsin xcos xx2是偶函数，所以ff(ln x)f(ln x).则原不等式可变形为f(ln x)f(1)f(|ln x|)0，得x0时，f(x)0.所以f(x)在(0，)上单调递增.|ln x|11ln x1x0，解得a3，所以实数a的取值范围是(3，0)(0，).8.若函数f(x)x3x22ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是_.【答案】【解析】对f(x)求导，得f(x)x2x2a22a.当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a.所以a的取值范围是.9.(2016全国卷改编)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是_.【答案】【解析】f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x，f(x)在R上单调递增，则f(x)0在R上恒成立.令cos xt，t1，1，则t2at0在1，1上恒成立，即4t23at50在t1，1上恒成立.令g(t)4t23at5，则解得a.10.已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x(x0).则f(x).令f(x)0，且x0，x5(x1舍去).当x(0，5)时，f(x)5时，f(x)0.所以函数f(x)的增区间为(5，)，减区间为(0，5).11.(2019成都七中检测)设函数f(x)ax2aln x，g(x)，其中aR，e2.718为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时，g(x)0.【解析】(1)解由题意得f(x)2ax(x0).当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增.(2)证明令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，所以s(x)s(1)，即ex1x，从而g(x)0.12. (2019昆明诊断)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x.(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求实数a的取值范围.【解析】h(x)ln xax22x，x0.h(x)ax2.(1)若函数h(x)在(0，)上存在单调减区间，则当x0时，ax2有解.设G(x)，所以只要aG(x)min.又G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.即实数a的取值范围是(1，).(2)由h(x)在1，4上单调递减，当x1，4时，h(x)ax20恒成立，则a恒成立，设G(x)，所以aG(x)max.又G(x)1，x1，4，因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a.又当a时，h(x)x2，x1，4，h(x)0，当且仅当x4时等号成立.h(x)在1，4上为减函数.故实数a的取值范围是.13.（2019全国卷II）已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+）单调递增因为f（e）=，所以f（x）在（1，+）有唯一零点x1，即f（x1）=0又，故f（x）在（0，1）有唯一零点综上，f（x）有且仅有两个零点（2）因为，故点B（lnx0，）在曲线y=ex上由题设知，即，故直线AB的斜率曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线14.（2019全国卷III）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）令，得x=0或.若a0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a0时，由（1）知，在0，1单调递增，所