江苏省盐城市一中、建湖高中、阜宁中学、滨海中学四校联考2018_2019学年高二数学期中试题理（含解析）.docx

江苏省盐城市一中、建湖高中、阜宁中学、滨海中学四校联考2018-2019学年高二数学期中试题 理（含解析）考试时间：120分钟 试卷满分：160分一、填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分.）1.已知复数满足，则=_【答案】【解析】【分析】根据复数模的性质求解.【详解】因为，所以，因此【点睛】本题考查复数的模及其性质，考查基本运算能力，属基础题.2.从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取40人参加比赛，则应该抽取男生人数为_【答案】30【解析】各层之比为 应该抽取男生人数为：.3.某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则=_.【答案】8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数.【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题.4.如图是一个算法伪代码，则输出的的值为_.【答案】5【解析】【分析】执行循环结构流程图，即得结果.【详解】执行循环结构流程图得,结束循环，输出.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.5.若，则x的值为_【答案】1或2【解析】【分析】根据组合数性质得方程，解得结果.【详解】因为，所以或，解得或.【点睛】本题考查组合数性质，考查基本分析与运算能力，属基础题.6.连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为_【答案】【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】连续抛掷一颗骰子2次，共有36种基本事件，其中掷出的点数之和不超过9的事件有种，故所求概率为.【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析与运算能力，属基础题.7.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】先设双曲线标准方程，得渐近线方程，再根据条件列方程，解得结果.【详解】由题意设双曲线标准方程为，则渐近线方程为，所以【点睛】本题考查双曲线渐近线以及离心率，考查基本分析与运算能力，属基础题.8.曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_【答案】【解析】【分析】先根据导数几何意义求切线斜率，得切线方程，再求三角形面积.【详解】因为，所以，与与两坐标轴交点为，因此围成的三角形面积为【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程，考查基本分析与运算能力，属基础题.9.已知若，则=_【答案】-14【解析】【分析】先根据赋值法求，再利用二项式定理求特定项系数.【详解】令，得，因为，所以含项系数为【点睛】本题考查二项式定理，考查基本分析与运算能力，属基础题.10.有4名优秀学生、全部被保送到中大、华工、广工3所学校，每所学校至少去1名，则不同的保送方案共 种。【答案】36.【解析】试题分析：分两步进行，先把4名学生分为2-1-1的三组，有种分法，再将3组对应3个学校，有种情况，则共有66=36种保送方案故答案：36考点：分步计数原理的运用.11.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数之和为_.【答案】512【解析】【分析】根据二项式系数列式求，再根据二项展开式性质求奇数项的二项式系数之和.【详解】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以从而奇数项的二项式系数之和为【点睛】本题考查二项式展开式中二项式系数及其性质，考查基本分析与运算能力，属基础题.12.过椭圆C：的右焦点F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为右准线与x轴的交点，记直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，则的值为_【答案】8【解析】【分析】联立直线方程与椭圆方程解出A，B两点坐标，再利用斜率公式化简得结果.【详解】设，则，由得所以【点睛】本题考查直线与椭圆交点以及斜率公式，考查基本分析与运算能力，属基础题.13.已知则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先解出,再化简，利用二次函数性质求最值.【详解】因为，因此，当且仅当时取等号,即的最小值为.【点睛】本题考查条件最值问题以及二次函数性质，考查综合分析与运算能力，属中档题.14.已知函数设，且函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围为_.【答案】（1，3）【解析】【分析】先画图，根据图象确定经过四个象限的条件，解得实数的取值范围.【详解】因为，如图，而所以 【点睛】本题考查含绝对值函数性质以及利用导数研究函数零点，考查综合分析与运算能力，属中档题.二、解答题：(15、16、17题均为14分，18、19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程)15.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组,第五组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)若成绩大于等于14秒且小于16秒为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；(2)若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率.【答案】（1）人（2）4/7【解析】试题分析：（1）根据频率分步直方图做出这组数据成绩在14，16）内的人数为500.16+500.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系（2）根据频率分步直方图做出要用的各段的人数，设出各段上的元素，用列举法写出所有的事件和满足条件的事件，根据概率公式做出概率解：（1）由频率分布直方图知，成绩在14，16）内的人数为500.16+500.38=27（人）该班成绩良好的人数为27人（2）由频率分布直方图知，成绩在13，14）的人数为500.06=3人，设为x，y，z成绩在17，18）的人数为500.08=4人，设为A，B，C，D若m，n13，14）时，有xy，zx，zy，3种情况； 若m，n17，18）时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种情况；若m，n分别在13，14）和17，18）内时， A B C Dx xA xB xC xDy yA yB yC yDz zA zB zC zD共12种情况基本事件总数为21种，事件“|mn|1”所包含的基本事件个数有12种P（|mn|1）=点评：本题是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的精髓16.若二项式的展开式中的常数项为第5项.(1)求的值； (2)求展开式中系数最大的项；【答案】（1）10； （2）.【解析】【分析】（1）根据二项式的展开式的通项公式求出的值，（2）根据二项式的展开式的通项公式系数列不等式组，解得系数最大时的项数，再代入通项公式得结果.【详解】(1)因为二项式的展开式的通项公式为，所以x的指数为.又因为的展开式中的常数项为第五项，所以,且，解得n=10. (2)因为，其系数为.设第k+1()项的系数最大，则， 化简得即，因为,所以，即第四项系数最大，且.【点睛】本题考查二项式的展开式的通项公式及其应用，考查综合分析与运算能力，属中档题.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面 为等腰直角三角形，,为的中点，为的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求二面角的余弦值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）设AD的中点为G，根据面面垂直性质定理得平面ABCD，建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积得夹角，即得结果，（2）利用方程组解得平面PBD的法向量，利用向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）如图，设AD的中点为G，连接PG，因为为等腰直角三角形，=90，所以.又平面平面ABCD,所以平面ABCD.以G为坐标原点，GA,GP所在直线分别为x,z轴建立空间直角坐标系，可得A（1,0,0），P（0,0,1）,B(1,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),则E（,1,）,F(-,1,),所以,.故，故异面直线ED与BF所成角的余弦值为. （2）由（1）知，,设平面PBD的法向量为，则 所以令 所以平面PBD的一个法向量为=(1,-1,-1).易知平面ABD的一个法向量为=(0,0,1)，所以，由图可知，二面角A-BD-P为锐二面角，所以二面角A-BD-P的余弦值为.点睛】本题考查利用空间向量求线线角与二面角，考查综合分析与运算能力，属中档题.18.如图，某地村庄P与村庄O的距离为千米，从村庄O出发有两条道路，经测量，的夹角为，OP与的夹角满足（其中），现要经过P修一条直路分别与道路交汇于两点，并在处设立公共设施（1）已知修建道路的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点之间的距离；（2）考虑环境因素，需要对段道路进行翻修，段的翻修单价分别为n元/千米和元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定点的位置【答案】（1）千米； （2）A位于距O点3千米处，B位于距O点3千米处.【解析】【分析】（1）先建立坐标系，求出P点坐标，再根据条件求B点坐标，最后根据两点间距离公式得结果，（2）先设直线方程，解得A,B坐标，用坐标表示翻修总价，最后利用导数求函数最值.【详解】（1）以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，因为，所以，设，由，得，所以 由题意得，所以，所以B点纵坐标为，又因为点B在直线上，所以， 所以 答：之间的距离为千米 （2）设总造价为S，则， 设，要使S最小，只要y最小当轴时，这时，所以 当AB与x轴不垂直时，设直线方程为，令，得点A的横坐标为，所以，令，得点B的横坐标为，因为且，所以或，此时， 当时，y在上递减，在上递增，所以，此时； 当时，综上所述，要使段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米处 答：要使段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点3千米处【点睛】本题考查利用导数求函数最值以及利用坐标系建立函数关系式，考查综合分析与求解能力，属中档题.19.在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右顶点(如图所示)，点在椭圆的长轴上运动，且.设圆是以点为圆心，为半径的圆.（1）若，圆和椭圆在第一象限的交点坐标为，求椭圆的方程；（2）若椭圆的离心率为，过点作互相垂直的两条直线，交椭圆于P,Q两点，若直线PQ过点M，求m的值（用含的代数式表示）；（3）当圆与椭圆有且仅有点一个交点时，求的运动范围（用含的代数式表示）.【答案】（1）； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）先求圆的半径，再得B坐标，即得，根据点在椭圆上解得,（2）根据离心率得，根据BPBQ，利用向量数量积化坐标表示，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得结果，（3）根据题意得不等式，利用坐标表示得，最后利用导数确定函数最大值，即得结果.【详解】（1）,则即椭圆的方程为，（2）因为椭圆C的离心率为，则 ， ，点，椭圆的方程为设直线PQ的方程为xtym(0m2b)，将xtym代入，得.由题设可知16(4b2m2b2t2)0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2 ，y1y2.而x1x2t(y1y2)2m.x1x2(ty1m)(ty2m)t2y1y2tm(y1y2)m2. 由题设BPBQ，即 .(x1-2b，y1)(x2-2b，y2)(x1-2b)(x2-2b)y1y2x1x2(y11)(y21)x1x2y1y22b(x1x2)4b2 ，化简得5m216bm+12b20，解得m2b(舍)，m.所以m.， ， ，所以m的取值范围是.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想方法以及综合分析与求解能力，属较难题.20.已知函数，（1）当时，求的单调增区间；（2）令.当时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；当时，若的解集为，且中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围【答案】（1）单调增区间是和； （2） .【解析】【分析】（1）先求导数，再解不等式得结果，（2）根据题意得极值点函数值为零，解方程即得结果，研究函数先分析中有解必要条件，即最小值小于零，再结合图象确定有且仅有一个整数的条件，即得