《大学物理教程》下册第三贾瑞皋著课后习题答案科学出社.pdf

11-1 习题十一 11-1如图所示，在点电荷+Q的电场中放置一导体球。由点电荷+Q到球心的径矢为r r r r，在 静电平衡时，求导体球上的感应电荷在球心O点处产生的场强E E E E。 解 静电平衡时，导体内任一点的场强为零，O点的场强是点电荷+Q及球面上感应电 荷共同贡献的，由场强叠加原理有 0 Q0 =+=E E E EE E E EE E E E r r r rE E E EE E E E 2 0 Q 4r Q = 11-2一带电量为q、半径为r的金属球A，放在内外半径分别为 1 R和 2 R的不带电金属球壳 B内任意位置，如图所示。A与B之间及B外均为真空，若用导线把A，B连接，求球A的 电势。 解 以导线把球和球壳连接在一起后，电荷全部分布在球壳的 外表面上(或者说导体球的电荷与球壳内表面电荷中和)，整个系统 是一个等势体，因此 20 BA 4R q UU = 11-3如图所示， 把一块原来不带电的金属板B移近一块已带有正电荷Q的金属板A， 平行 放置。设两板面积都是S，板间距为d，忽略边缘效应，求：(1) 板B不接地时，两板间的电势差；(2)板B接地时，两板间的电势 差。 解 (1) 由 61 页例 1 知，两带电平板导体相向面上电量大小 相等符号相反，而相背面上电量大小相等符号相同，因此当板B 不接地， 电荷分布为 因而板间电场强度为 S Q E 0 2 = 电势差为 S Qd EdU 0 AB 2 = (2) 板B接地时，在B板上感应出负电荷，电荷分布为 故板间电场强度为 S Q E 0 = B B B BA A A A -Q/2-Q/2-Q/2-Q/2Q/2Q/2Q/2Q/2Q/2Q/2Q/2Q/2Q/2Q/2Q/2Q/2 A A A AB B B B -Q-Q-Q-Q0 0 0 0Q Q Q Q0 0 0 0 11-2 电势差为 S Qd EdU 0 AB = 11-4如图所示，有三块互相平行的导体板，上导体板到中间导体板的距离为 5.0cm，上导 体板到下导体板的距离为 8.0cm，外面的两块用导线连接，原来不带电。中间一块两面上带 电，其面电荷密度之和为 25 mC103 . 1 =。求每块板的两个表面的面电荷密度各是多少 (忽略边缘效应)? 解 因忽略边缘效应，可把三个导体板看作无限大平板，由例 1 知 32 =(1) 45 =(2) 忽略边缘效应，则导体板可看成无限大的，具有屏蔽性，在相邻 导体板之间的电场只由相对于二表面上电荷决定。因此上板和中板之 间的场强为 0 3 1 =E 在中板和下板之间的场强为 0 4 2 =E 上板和下板相连接，因此相邻两板的电势差相等，即 2211 dEdE=，由此可得 2413 dd=(3) 设中板总面电荷密度为，则 =+ 43 (4) 由(3)、(4)两式可得 26 3 mC108 = 26 34 mC105 = 代入(1)、(2)两式中得到 26 2 mC108 = 26 5 mC105 = 在上板内任意点场强均为零，它是 6 个无限大均匀带电平面在该点产生的场强叠加的 结果。故有 d d d d2 2 2 2 d d d d1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 11-3 ()0 2 1 654321 0 = 考虑到(1)、(2)两式，则得到 61 =(5) 上下两块导体板原来是不带电的，根据电荷守恒定律，二导体板表面出现感应电荷后， 总量仍为零。因此有 0 4321 =+(6) 由(5)、(6)两式得到 () 5261 2 1 += () 2666 mC105 . 6105108 2 1 = 1l-5如图所示，三个无限长的同轴导体圆柱面A、B和C，半径分别为 a R、 b R、 c R。圆 柱面B上带电荷，A和C都接地。求B的内表面上线电荷密度 1 和外表面上线电荷密度 2 之比值 21 。 解 由A、C接地 BCBA UU= 由高斯定理知 r E 0 1 I 2 = r E 0 2 II 2 = A B 0 1 0 1 IBA ln 2 d 2 d A B A BR R r r U R R R R = = r r r rE E E E B C 0 2 0 2 IIBC ln 2 d 2 d C B C BR R r r U R R R R = r r r rE E E E B C 0 2 A B 0 1 ln 2 ln 2R R R R = 因此 A B B C 21 ln:ln: R R R R = 11-6在一半径为 1 R=6.0cm 的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。 已知球壳B的内、 外半径分别为 2 R=8.0cm， 3 R=10.0cm。设球A带有总电量C103 8 A =Q，球壳B带有总 II II II II I I I I 11-4 电量C102 8 B =Q。求：(1)球壳B内、外表面上各带有的电量以及球A和球壳B的电势； (2)将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球壳B内、外表面上各带有 的电量以及球A和球壳B的电势。 解 在球壳B内作一包围内腔的高斯面，由于球壳内场强处处为零，此高斯面的电通 量为零。根据高斯定律，球壳B的内表面上所带电量与球A所带电量等值异号，所以 C103 8 A B =Qq 球壳B总电量为 B Q，因此其外表面上电量为 ()C105C103102 888 BB B =+=qQq 球A的电势为 +=+= 3 B 2 B 1 A 030 B 20 B 10 A A 4 1 444R q R q R Q R q R q R Q U V1063. 5V 100 .10 105 100 . 8 103 100 . 6 103 109 3 2 8 2 8 2 8 9 = + + = 30 B 0 BA B 44R q r qQ U + + = 因为0 BA =+qQ，所以 V105 . 4V 100 .10 105109 4 3 2 89 30 B B = = R q U (2)将球壳B接地时，其电势变为零。因为 A Q与 B q等量异号，它们在球壳B产生的电 势之和为零，所以球壳外表面不再有电荷。球壳B与地断开后，再将球A接地时，电荷将 重新分布。设球A、球壳B内表面、球壳B外表面上电量分别为 A Q、 B q、 B q 因为0 A =U，于是有 0 444 30 B 20 B 10 A = + + R q R q R Q 注意这时仍有0 BA =+qQ，而且 B B B qqq+= 于是得到 0 4 1 3 A B 2 A 1 A 0 = + + + R Qq R Q R Q 11-5 C1012. 2C 0 . 80 . 60 .100 . 60 .100 . 8 0 . 80 . 6103 8 8 213132 21 B A = + = + = RRRRRR RRq Q C1012 . 2 8 A B =Qq ()C108 . 8C1012 . 2 103 988 B B B =+=qqq 金属球A接地，电势0 A =U，球壳B电势为 30 B 30 B 0 B 0 A B 4444R q R q r q r Q U = + + = () V1092. 7V 100 .10 108 . 8109 2 2 99 = = 11-7一厚度为d的无限大均匀带电导体板，单位面积上两表面带电量之和为。试求离左 表面的距离为a的点与离右表面的距离为b的点之间的电势差。 解 导体板内场强0= 内 E，由高斯定理可得板外场强为 0 2 =E 故A、B两点间电势差为 (bxxxU bda da da a aB A =+= + + + 00 0 0 AB 2 d 2 d0d 2 d l l l lE E E E 11-8半径分别为 1 R和 2 R( 2 R 1 R)的两个同心导体薄球壳，分别带电量 1 Q和 2 Q，今将内球 壳用细导线与远处的半径为r的导体球相连，导体球原来不带电。求相连后导体球的带电量 q。 解 整个系统仍是孤立球形电容 3 C与内球到无限 远(地)之间的电容之并联。而后者是内球形电容 1 C与外 球孤立球形电容 2 C串联所构成的 12 21 01 4 RR RR C = 202 4RC= C C C C1 1 1 1 C C C C2 2 2 2 C C C C3 3 3 3 11-6 rC 03 4= 设小球 3 C上电量为q， 则 1 C上电量 1 Q-q， 2 C上电量为()qQQ+ 12 设三个电容上的电 压各为 1 U、 2 U、 3 U 33 CqU=() 111 CqQU=() 2122 CqQQU+= 由于 213 UUU+= 所以 2 12 1 1 3 C qQQ C qQ C q+ + = 因而移到小球上的电量为 () ()rRR QRQRr q + + = 12 2112 11-9一种单芯同轴电缆的中心为一半径 1 R=0.5cm 的金属导线，其外层包一层= r 5 的固 体电介质，最外面的是金属包皮。当在此电缆上加一电压后，介质中紧靠其内表面处的场强 1 E为紧靠其外表面处的场强 2 E的 2.5 倍，若介质最大安全场强cmkV40 * =E，求此电缆 能承受的最大电压是多少? 解 由介质中的高斯定理Q S = S S S SD D D DdQrLD=2 由 rL Q D 2 =得 rL Q E r0 2 = 所以 LR Q E 1r0 1 2 = LR Q E 2r0 2 2 = 因 21 5 . 2EE=得到 12 5 . 2RR= 当 * 1 EE=时电缆的电压最大。 此时 1 2 r0r0 ln 2 d 2 d 2 1 2 1R R L Q r Lr Q U R R R R = r r r rE E E E 由 1r0 1 * 1 2RL Q EE= 1 * r0 2 RE L Q = 所以kV3 .185 . 2ln105 . 040ln 2 1 2 11 = R R REU 11-7 11-10一平行板电容器面积为S，两板间距离为d，中间充满均匀电介质，已知当一板带自 由电荷Q时，整块电介质的总偶极矩为P，求电容器中的电场强度。 解 由 d S C r0 = S Qd C Q U r0 =所以 S Q E r0 =(1) 而由SdPP=得 Sd P P=(2) 极化强度()1 r0 = EP(3) 由(1)、(2)、(3)得 S dPQ E 0 = 11-11两个同心的薄金属球壳，内、外壳半径分别为 1 R=0.02m 和 2 R=0.06m。球壳间充满 两层均匀电介质，它们的相对电容率= r1 6 和= r2 3。两层电介质的分界面半径R=0.04m。 设内球壳带电量Q=C106 8 ，求： (1)D D D D和E E E E的分布，并画出D-r、E-r曲线； (2)两球壳之间的电势差； (3)贴近内金属壳的电介质表面上的束缚面电荷密度。 解 以与球壳同心的球面为高斯面 = = n i i S q 1 dS S S SD D D D E E E ED D D D= (1)r 1 R0 1= D D D D0 1= E E E E 1 RrR)。试求该导体组单位长度的电容。 解 可用叠加原理及高斯定理计算两导线间垂直连线上任意点P的场强。 如图所示，过P分别做两个长为L，与两条直导线共轴的闭合圆柱面作为高斯面。根据 高斯定理分别计算每条线上电荷产生的场强。 llrLE 00 11 1 d 1 2d= S S S S 所以 r E 0 1 2 = 同理 ()rd E = 0 2 2 根据叠加原理，P点总场强为 +=+= rdr EEE 11 2 1 0 21 两条线间电压为 R Rd r rdr U Rd R Rd R = += lnd 11 2 d 00 l l l lE E E E 故单位长度电容 R Rd U C = ln 0 1l-19一空气平行板电容器，极板A、B的面积都是S，极板间距离为d。接上电源后，两 板间的电压为U，现将一带电量为q、面积也是S而厚度可忽略不计的导体片C平行地插入 两极板的中间位置，试求导体片C的电势。 解 设平行板正板下表面带电量为Q，则导体 片C的上表面带电-Q，其下表面带电Q+q，下板上 表面带电()qQ+。 由高斯定理得 S Q E 0 1 = S qQ E 0 2 + = 又由两板间的电势为 R R R R r r r r P P P P d d d d R R R R 11-12 ()qQ S dd S qQd S Qd E d EUUU+= + +=+=+=2 22222 000 2121 所以 2 0 q d SU Q= 因而导体C的电势 += = + = S qd U q d SU S dd S qQd EU 0 0 00 2C 22 1 2222 11-20一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为 1 R=2cm， 2 R=5cm， 其间充满相对电容率为 r 的各向同性均匀电介质， 电容器接在U=32V 的电源上(如图所示)。 试求距离轴线R=3.5cm的点A处的电场强度和点A与外筒间的电势差。 解 由Q= S S S SD D D DdLLrD=2 因此 r D 2 = r E r0 2 = 1 2 r0 ln 2 d32 2 1R R rEU R R = 因此 1 2 r0 ln 2 R R U = 所以mV998 ln 2 1 ln 21 2 1 2 r0 1 2 r0 r0 A = R R R U R R R U R E = 22 2 dd AR R R R R rErEU=12.5 V 11-21莱顿瓶是早期的一种电容器，它是一个内外贴有金属箔的圆柱形玻璃瓶。设玻璃瓶 的内径为 1 R=8cm，厚度为 2mm，金属箔高 40cm。玻璃的相对电容率 r =5.0，击穿场强为 1.5mV107。若不考虑边缘效应，试计算：(1)莱顿瓶的电容值；(2)它最多能储存多少能 量。 解 由圆柱形电容器F105 . 4 108 102108 ln 104052 ln 2 3 2 32 2 0 1 2 r0 = + = R R L C 11-13 由题意知场强最大为mV105 . 1 7 =E 所以V103102105 . 1 437 max = EdU 因此2.025J109104.5 2 1 2 1 89-2 max =CUW 11-22置于球心的点电荷+Q被两同心球壳所包围，大球壳为导体，小球壳为电介质，相对 电容率为 r ，球壳的尺寸如图所示。试求以下各量与场点径矢r r r r的关系：(1)电位移D；(2) 电场强度E；(3)极化强度P； (4)束缚电荷激发的电场强度E；(5)面电荷密度；(6)电能 密度。 解 (1) 由有介质的高斯定理Q= S S S SD D D Dd 1 () () b，忽略边缘效应，求：(1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器储存的能量。 解 (1)用高斯定理可求得两圆柱导体间的电场 分布是 rL Q D 2 = rL Q E r0 2 = 面 b b b b P P P P1 1 1 1 n n n n21 212121 1 1 1 1 2 2 2 2 11-15 两极板间电位差为 a b L Q r rL Q rEU b a b a ln 2 d 2 d r0r0 = 所以 a b L U Q C ln 2 r0 = (2) 2 r0 22 1 2 1 = rL Q DEw a b L Q rrL rL Q wW b a ln 4 d2 22 1 d r0 2 2 r0 = = 法二： a b L Q C Q Wln 42 r0 22 = 11-25两个相同的平行板电容器，它们的极板都是半径为 l0cm 的圆形板，板间距都是 1.0mm，其中一个电容器两板间是空气，另一个两板间是 r =26 的酒精。把它们并联后充电 到 120V，求它们所储存的总电能。断开电源，把它们带异号电荷的两板分别连在一起。求 这时两者所储总电能。 解 两电容并联()1 r 0 21 +=+= d S CCC 存储电能 ()J104 . 5 1 . 02 120271 . 014. 31085. 8 1 22 1 5 2212 2 r 02 = =+=U d S CUw 断电后 总电量 ()U d S UCUCQ 1 r0 12 = 总电能 () () () ()12 1 12 1 2 r 2 r0 r 0 2 r0 2 + =+ = = d S d S U d S C Q w 由于 () ()2 r 2 r 1 1 + = w w 因此 () () J107 . 4104 . 5 27 25 1 1 55 2 r 2 r = = + =ww 11-26一同轴圆筒状电容器的内、外筒半径分别为a、b。试证该电容器所储电能的一半是 在半径为abr=的圆柱内部。 解 设圆柱电容器中充以电容率为 r 的各向同性均匀电介质，内外筒分别带电荷+Q、 11-16 -Q，长为L。用高斯定理可求得两圆柱导体间的电场分布是 rL Q E 2 = rL Q D 2 = 2 22 1 2 1 = rL Q DEw 设总电能的一半在半径为r的圆柱体内，则 a r L Q rLdr rL Q W r a ln 4 2 22 1 2 1 2 2 = = 而 a b L Q Wln 82 1 2 = 所以 a b a b a r lnln 2 1 ln= 即 a b a r = 因此abr=证毕。 11-27有一根单芯电缆，电缆芯的半径为 1 r=15mm，铅包皮的内半径为 2 r=50mm，其间充 以相对电容率 r =2.3 的各向同性均匀电介质。 求当电缆芯与铅包皮间的电压为 1 U=600V 时， 长为l=1km 的电缆中储存的静电能是多少? 解 由 rrL L E r0r0 22 =得 1 2 r0 ln 2r r U = 1 2 r0 ln 2 r r L U L U Q C = 因此J109 . 1 15 50 ln 600103 . 21085. 814. 32 2 1 ln 2 2 1 2 1 2 2312 2 1 2 r02 = =U r r L CUw 11-28充满均匀电介质的平行板电容器， 充电到板间电压为U=1000V 时断开电源。 若把电 介质从两板间抽出，测得板间电压 0 U=3000V，求：(1)电介质的相对电容率 r ；(2)若有电 介质时的电容F1020 3 1 =C，抽出电介质后的电容 0 C为多大；(3)抽出电介质时外力所作 的功。 11-17 解 (1) 由 d S C r0 = d SU CUQ r0 = 同理 d S C 0 0 = d SU UCQ 00 000 = 断开后 0 QQ=所以 0r UU=即3 0 r = U U (2) rr0 0 1 0 1 = S d d S C C F107 . 610 3 20 33 r 1 0 = C C (3)J1011000101020 2 1 2 1 2 1 22632r02 11 =U d S UCw J103300010 3 1020 2 1 2 1 2 1 226 3 2 0 r0 2 002 = =U d S UCw 所以J102 2 12 =www 11-29如图所示，圆柱形电容器由半径aR= 1 的导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒半 径aR3 3 =，圆筒长为L，且L 3 R。在导线与圆筒间 1 Rr 2 R的区域为真空。设沿轴线单位长度上导线的带电量为 0 ，圆筒的带电量为 0 ，忽略边缘效应，求：(1)何处电 场强度最大?其值为多少?(2)电容器两极间的电势差；(3)电 介质区域的电场总能量。 解 (1)ar2a 0 0 r0 0 1 62 rrL L E= 0 0 max1 6 a E= 2ar3aE=0 因