概率论习题答案32学时.pdf

第第 1 次概率论的基本概念（一）次概率论的基本概念（一） 1、写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个班数学考试的平均分数； （2）同时掷三个骰子，记录三颗骰子点数之和； （3）10 件产品中有 3 件次品，每次从中取一件（不放回）直到将 3 只次品都取出，记录抽 取的次数； （4）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数； （5）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解（1）1000| 1 xxS（2）18.5 , 4 , 3 2 S（3）10,.5 , 4 , 3 3 S （4）.13,12,11,10 4 S（5）1|, 22 5 yxyxS 2、在 1，2，3，4 四个数中可重复地先后抽取两个数字，写出这个随机试验的样本空间，及 事件 A=“一个数是另一个的两倍” ，B=“两个数之和大于 3”的样本点 解 S=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4) A =(1,2),(2,1),(2,4),(4,2) B=(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4) 3、设 A,B,C 表示三随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来。 （1）A 出现，B，C 都不出现； （2）A，B 都再现，C 不出现； （3）三个事件都出现； （4）三个事件中至少有一个再现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现 （7）A，B，C 中恰好有两个出现。 解（1）A 出现，B，C 不出现CBA （2）A，B 都出现，C 不出现CAB （3）三事件都出现ABC （4）三事件至少有一个出现CBA （5）三事件都不出现CBA （6）不多于一个事件出现CBACBACBACBA （7）A，B，C 中恰好有两个出现CABCBABCA 4、随机抽检三件产品，设 A=三件中至少有一件是废品 B=三件中至少有二件是废品 C=三件都正品，问A，B，CA，CA，BA各表示什么事件，用文字进行描述。 解A- 三件产品全为正品B-三件中至多一件废品 SCACA BA-恰有一件废品 5 、下列各式说明什么关系？其中A，B，C分别为事件。 （1） AB=A (2) ABA (3) ACBA 解（1）AB=A BA (2) ABAAAAAA，SB (样本空间） (3) A+B+C=A AB且AC 第第 2 次概率论的基本概念（二）次概率论的基本概念（二） 1、罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子 4 颗黑子，若从中任取 3 颗，求： (1) 取到的都是白子的概率； (2) 取到 2 颗白子 1 颗黑子的概率； （3）取到的 3 颗棋子中至少有一颗黑子的概率。 解 A=全是白子 B=2 白子 1 黑子 C=至少有一颗黑子 （1） 3 12 3 8 )( C C AP= 55 14 （2） 3 12 1 4 2 8 )( C CC BP= 55 28 （3） 3 12 3 8 1)(1)( C C APCP= 55 41 2 、从 1 至 200 的正整数中任取一数,求此数能被 6 或 8 整除的概率。 解 A=此数能被 6 整除 B=此数能被 8 整除 )()()()(ABPBPAPBAP 200 8 200 25 200 33 = 4 1 3 、袋中有 12 个球，其中 9 个红球，3 个白球,任取 5 球,求 (1) 其中至少有 1 个白球的概率； (2) 其中至多有 2 个白球的概率。 解 A=至少有 1 个白球 B=至多有 2 个白球 5 12 5 9 1)(1)( C C APAP= 44 37 5 12 2 9 3 3 1)(1)( C CC BPBP= 22 21 4、设事件 A 和 B 的概率分别为 2 1 、 3 1 ，试求下列三种情况下)(BAP的值。 （1）AB（2）BA（3） 4 1 )(ABP 解（1）ABABA， 2 1 )(BAP （2）BA 6 1 3 1 2 1 )()()(BPAPBAP （3） 4 1 )(ABP 4 1 4 1 2 1 )()()()(ABPAPABAPBAP 5、设 A,B 为两个事件,且5 . 0)(AP ,4 . 0)(BP,8 . 0)( BAP 求 (1) )(BAP (2) )(ABP 解（1）如图ABABA )(ABA )()()(ABPAPBAP=1-0.5+0.1=0.6 （2）)()()()(ABPBPAPBAP1 . 0)(ABP 6、若CABA,，且 P（A）=0.9 ，8 . 0)(CBP，求)(BCAP 解如图： BCSCB 2 . 0)(1)(CBPBCP 7 . 02 . 09 . 0)()()(BCPAPBCAP 第第 3 次概率论的基本概念（三）次概率论的基本概念（三） 1、袋中有 3 个红球，2 个白球,抽取 2 次,每次从中抽取一个,取出后不放回。 (1) 求第二次取到红球的概率； (2) 已知第一次取到白球,求第二次取到红球的概率； 解 Ai=第 i 次取红球 （i=1，2） （1）用全概公式 )|()()|()()( 1211212 AAPAPAAPAPAP 5 3 4 3 5 2 4 2 5 3 （2）)|( 12 AAP 4 3 2 、 袋中有 3 红球 2 白球,抽取 3 次,每次取一个,取出后不放回,再放入与取出与取出的球颜色 相同的两个球, 求连续 3 次取白球的概率 解 Ai=第 i 次取白球 （i=1，2，3） 用乘法公式: )|()|()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP 7 4 6 3 5 2 = 35 4 3、一批同型号的晶体管共 100 只，其中 10 只是次品。每次从中抽取一只，取后不放回，求 第三次才去到正品的概率 解 Ai=第 i 次取正品 （i=1，2，3） 用乘法公式: 98 90 99 9 100 10 )|()|()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP= 1078 9 4、 某人有一笔资金， 他投入基金的概率为 0.58,购买股票的概率为 0.28,两项同时投入的概率 为 0.19。 (1)已知他已投入基金,再购买股票的概率为多少？ (2) 已知他已购买股票,再投入基金的概率为多少？ 解 A=买基金 B=买股票 （1） )( )( )|( AP ABP ABP 58. 0 19. 0 = 58 19 （2） )( )( )|( BP ABP BAP 28. 0 19. 0 = 28 19 5、某工厂有编号 1,2,3 的三台机器生产同一种产品,其产量分别占总产量的 25%, 35% 40%, 各自的次品率分别为 5%,4% 2%,今从总产品中取一件 (1) 求所取出的产品为次品的概率； (2) 若检查发现取出的这件产品为次品，试求它由编号为 2 的机器生产的概率。 解 Ai（i=1，2，3）B=任取一件产品为次品 (1) 用全概率公式 )|()()|()()|()()( 332211 ABPAPABPAPABPAPBP %2%40%4%35%5%25=%45. 3 (2) 用贝叶斯公式 )( )|()( )( )( )|( 222 2 BP ABPAP BP BAP BAP %2%40%4%35%5%25 %4%35 =%6 .40 6、试卷中有一道选择题，共有 4 个答案可选，其中只有一个答案是正确的。任一个考生如 果会解这道题，则一定能选出正确答案。如果他不会解这道题，则不妨任选一个答案。设该 考生会解这道题的概率为 0.8，求（1）选出正确答案的概率； （2）已知某考生所选答案是正 确的，则他确实会解这道题的概率是多少？ 解 A=考生会解该题 B=考生选出正确答案 8 . 0)(AP , 2 . 0)(AP , 1)|(ABP ,25. 0)|(ABP， (1) 用全概率公式85. 025. 02 . 018 . 0)|()()|()()(ABPAPABPAPBP (2) 用贝叶斯公式94. 0 85. 0 8 . 0 )( )|()( )( )( )|( BP ABPAP BP ABP BAP 第第 4 次概率论的基本概念（四）次概率论的基本概念（四） 1、 （1）设4 . 0)(AP,7 . 0)( BAP，若 A,B 互不相容则)(BP=；若 A,B 独立，则)(BP = 解 A,B 互不相容则7 . 0)()()(BPAPBAP3 . 0)(BP A,B 独立则)()()()(ABPBPAPBAP7 . 0)()()()(BPAPBPAP 5 . 0)(BP （2）设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 9 1 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发 生 A 不发生的概率相等，则 P（A）= 解 A，B 相互独立,则A与B独立A与B独立A与B独立 9 1 )(BAP , )()(BAPBAP 9 1 )()(BPAP)()()()(BPAPBPAP 9 1 )(1)(1 (BPAP)()(1 ()(1)(BPAPBPAP 3 2 )(AP (3) 设随机事件 A，B 及事件BA发生的概率分别为 0.4,0.3,0.6,若B表示B的对立事件则 )( BAP= 解4 . 0)(AP , 3 . 0)(BP, 6 . 0)( BAP 6 . 0)()()()(ABPBPAPBAP1 . 0)(ABP 3 . 01 . 04 . 0)()()()(ABPAPABAPBAP 2、设3 . 0)(AP,6 . 0)( BAP，在下列条件下求)(BP (1) 若 A,B 互不相容； (2) 若 A,B 独立； (3) 若BA。 解(1) A,B 互不相容则6 . 0)()()(BPAPBAP3 . 0)(BP (2)A,B 独立则)()()()(ABPBPAPBAP6 . 0)()()()(BPAPBPAP 7 3 )(BP (3) BABBA6 . 0)()(BPBAP 3、有两种花籽，发芽率分别为 0.8 和 0.9 ，从中各取一粒，设各花籽是否发芽相互独立， 求： （1）着两种花籽都能发芽的概率； （2）至少有一粒能发芽的概率； （3）恰有一粒能发芽的概率。 解 A=第一种花籽发芽 B=第二种花籽发芽 （1）9 . 08 . 0)()()(BPAPABP=72. 0 （2）)()()()()()()()(BPAPBPAPABPBPAPBAP 9 . 08 . 09 . 08 . 0 =98. 0 （3）)()()()()()()(BPAPBPAPBAPBAPBABAP 9 . 02 . 01 . 08 . 0=26. 0 4 甲,乙,丙三人各自独立破译某个密码,他们各自破译的概率是 2 1 , 3 1 , 4 1 ,求此密码被破译的 概率。 解 A=密码被甲破译 B=密码被乙破译 C=密码被丙破译 A+B+C= 密码被破译 )(1)(1)(CBAPCBAPCBAP) 4 1 1)( 3 1 1)( 2 1 1 (1= 4 3 5 加工某一零件， 需要经过四道工序， 设第一 ,第二 ,第三 ,第四道工序的次品率分别为 2%, 3% ,4% ,5% ,假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。 解 Ai=第 i 道工序出次品 ( i=1,2,3,4) B=加工出来的零件为次品 B=A1+A2+ A3+A4 )(1)(1)()( 432143214321 AAAAPAAAAPAAAAPBP %)51%)(41%)(31%)(21 (1)()()()(1 4321 APAPAPAP=133. 0 6 甲，乙，丙三门高射炮同时向一架来犯敌机射击，其命中率分别是 0.4,0.5,0.7。设若只有 一门炮射中，敌机坠毁的概率为 0.2；若有两门射中，敌机坠毁的概率为 0.6；若三门炮都 射中，敌机必坠毁。试求敌机坠毁的概率。 解 A=甲命中敌机 B=乙命中敌机 C=丙甲命中敌机 A,B,C 相互独立 D=只有一门炮命中敌机 E=恰好两门炮命中敌机 F=三门炮命中敌机 H=没有炮命中飞机 G =敌机坠毁 )()()()()(CBAPCBAPCBAPCBACBACBAPDP 36. 07 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 )()()()()(BCAPCBAPCABPBCACBACABPEP 41. 07 . 05 . 06 . 07 . 05 . 04 . 03 . 05 . 04 . 0 )()(ABCPFP14. 07 . 05 . 04 . 0 )|()()|()()|()()|()()(HGPHPFGPFPEGPEPDGPDPGP 458. 00114. 06 . 041. 02 . 036. 0 第第 5 次随机变量及其分布（一）次随机变量及其分布（一） 1、已知离散型随机变量X的分布律如下,试确定其常数 a； (1) 5 a mXP， m=1,2,325 (2) ! m a mXP，m=0,1,2,3 解 (1) 125 5 a 5 1 a (2) 注意到: e n . ! 1 . ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 1 1. ! . ! 3! 2! 1 ae n aaaa a e a 1 2、袋中有 2 个红球，4 个白球,从中任取 3 球,试求取到的红球数 X 的分布律； 解 3、 某射手有 6 发子弹,射击一次， 命中的概率为 0.8 ,如果命中了就停止射击,否则一直到子弹 用尽,求耗用子弹数 Y 的分布律 解8 . 02 . 0 1 i iYP i=1,2,3,4,5 65 2 . 08 . 02 . 06YP=00032. 0 4、进行 8 次独立射击，射每次射击命中目标的概率为 0.3，求至少命中 2 次的概率。 解随机变量 X 服从二项分布 X-8 次独立射击命中次数则 XB(8,0.3) 1 -811 8 800 8 )3 . 01 (3 . 0)3 . 01 (3 . 01112CCXPXP 7447. 07 . 03 . 087 . 01 78 5、已知一本书中每页印刷错误的个数X服从泊松分布)2 . 0( PX,求一页上印刷错误不多 余 1 个的概率。 解)2 . 0( PX0.2 9824. 02 . 1 ! 1 2 . 0 ) 1( 2 . 02 . 0 1 2 . 0 eeeXP X 0 1 2 P 3 6 3 4 C C = 5 1 3 6 2 4 1 2 C CC = 5 3 3 6 1 4 2 2 C CC = 5 1 6、在 3 次独立重复试验中,若事件 A 至少出现一次的概率为 64 63 ,求事件 A 在一次试验中出 现的概率。 解随机变量 X 服从二项分布 A 在一次试验中出现的概率为 p X 表示 3 次实验中 A 出现的次数 ,则 XB(3,p) 64 63 )1 (1)0(1) 1( 3 pXPXP 4 3 p 第第 6 次随机变量及其分布（二）次随机变量及其分布（二） 1、若随机变量 a 在(1,6)上服从均匀分布，求方程 x2+ax+1=0 有实根的概率。 解01 2 axx有实根的充分必要条件是：04 2 a即2a或2a a 在(1,6)上服从均匀分布，则其概率密度函数为： 其余0 61 5 1 )( a xpa P2a或2a= 5 4 5 1 6P2 6 2 dxa 2、设随机变量 X 的概率密度为： 10 10 00 )( x xCx x xp (1) 求常数 C ； (2) 求X落在区间6 . 0 , 4 . 0内的概率； (3) 若4 . 0|5 . 0|aXP,求 a； (4) 若bXPbXP,求 b。 解 (1) 1 1 0 dxcxdxxp，故 c=2 (2) 6 . 04 . 0 XP= 6 . 0 4 . 0 2xdx 22 4 . 06 . 0 (3) 4 . 05 . 05 . 0|5 . 0|aXaPaXP 显然 00.5- ax0.5+a1 = a a xdx 5 . 0 5 . 0 24 . 0)5 . 0()5 . 0( 22 aa 2 . 0a (4) bXPbXP显然 0b1 5 . 02 0 b xdxbXP 2 2 b 3、由某机器生产的螺栓长度服从参数10.05，0.06的正态分布，规定长度在范围 0.1210内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。 解：X螺栓长度 ,则)06. 0 ,05.10( 2 NX 一螺栓不合格的概率为 ) 06. 0 05.109.88 () 06. 0 05.1012.10 (112. 01012. 0101 XP )83. 2()1.667(105. 0)83. 2(1)1.667(1 4、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（单位：min）服从指数分布，其概率密度函数 为 0, 0 0, 5 1 5 x xe xf x 。某顾客在窗口等待服务，若等待超过 10min,他就离开。他一个月 要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，求1 YP 解 A=某顾客在等待服务，等待超过 10min,他离开 1353. 0 105 1 10)( 2 5 10 5 eedxeXPAP xx )1353. 0 , 5( BY（Y 服从二项分布） 51675. 0)1353. 01 (1)0(11 5 YPYP 5、设随机变量 X 在区间2,5上服从均匀分布，现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两 次观测值大于 3 的概率。 解 A=对 X 进行观测，值大于 3 3 2 3 1 3)( 5 3 dxXPAP 现对 X 进行三次独立观测，Y 表示 X 大于 3 的次数 ) 3 2 , 3( BY（ Y 服从二项分布） 7407. 0) 3 1 ( 3 2 ) 3 1 (1) 1()0(12 21 3 3 CYPYPYP 6、设河流每年的最高洪水水位 X 有概率密度: 1 2 10 )( 3 x x x xf 今要修建河堤能防御百年一遇的洪水(即:遇到的概率不超过 0.01),河堤至少要修多高? 解设河堤至少要修 H 米则01. 0 12 23 H dx x HXP H 10H 第第 7 次随机变量及其分布（三）次随机变量及其分布（三） 1 设随机变量 X 为分布表 X -1 2 4 P 4 1 2 1 4 1 求 X 的分布函数 F(x),并绘图 解 41 42 4 3 21 4 1 10 )( x x x x xF 2 设随机变量 X 的分布函数为 31 3 2 3 2 1 2 3 1 4 1 10 )( x x x x xF 求 X 的分布律 解 X -1 2 3 3 P 4 1 4 1 2 1 3 设随机变量 X 的分布函数为 11 10 0 )( )1( xAe xB xAe xF x x 求 (1) 求 A，B (2) 概率密度函数 (3) 3 1 XP 解 (1) )(xF在),(连续，由)(xF在 x=0,和 x=1 处的连续性可知 ABA1 2 1 BA (2) 1 2 1 100 0 2 1 )()( )1( xe x xe xFxf x x (3) 5 . 05 . 01) 3 1 (1 3 1 FXP 4 设随机变量 X 的概率密度为 20 212 10 00 )( x xx xx x xp (1) 求 X 的分布函数 F(x),并绘图 (2) ) 2 1 (F, ) 2 3 (F (3)5 . 11XP 解注意 F(x)连续且1)(, 0)(FF 21 211 2 1 2 10 2 1 00 2 21 2 1 2 10 2 1 0 )()( 2 2 3 3 2 2 2 1 x xxx xx x xc xcxx xcx xc dxxpxF 8 1 ) 2 1 (F 8 7 ) 2 3 (F 875. 0) 1()5 . 1 (5 . 11FFXP 5 设随机变量 X 为分布表 X 2 0 2 P 10 1 5 1 5 2 5 1 10 1 求下列随机变量的分布律（）| 1 XY （）) 2 cos( 2 XY 解 6 设随机变量 X 的概率密度为 0 00 )( xe x xf x 求 2 XY 的概率密度 1 Y 0 2 2 Y -1 0 1 P 5 2 5 2 5 1 P 5 1 5 3 5 1 解 0)( 00 )( 2 yyXyP y yXPyYPyFY 0)()( 00 yyFyF y XX 0)( 00 yyF y X )()(yFyp YY 0 2 1 )( 00 y y yf y X 0 2 1 00 y y e y y （备注： 2 XY 非单调函数，无法用定理 ) 第第 10 次随机变量的数字特征（一）次随机变量的数字特征（一） 1 设随机变量 X 为分布表 X -1 0 0.5 1 2 P 3 1 6 1 6 1 12 1 4 1 求（）) 1(XE（）)( 2 XE 解（1）) 1(XE1 EX 3 2 1) 4 1 2 12 1 1 6 1 5 . 0 6 1 0 3 1 1( （2）)( 2 XE 24 35 4 1 2 12 1 1 6 1 )5 . 0( 6 1 0 3 1 ) 1( 22222 2 设随机变量 X 的概率密度为)( 2 1 )( | xexp x ,求（）EX（）)( 2 XE 解0 2 1 | dxexEX x 2 0 22 2 1 2 0 2|22 xxxxx exeexdxexdxexEX 3 设随机变量 X 的分布函数为 41 40 4 00 )( x x x x xF 求（）EX（）)53(XE 解 40 40 4 1 00 )( x x x xf2 4 1 4 0 dxxEX)53(XE1153 EX 4 对圆的直径作测量,设其值均匀地分布在区间a,b内,求圆面积的期望 解 X-直径则 XUa, b )(12 )( 3 1 )(4 1 4 ) 2 ( 33 3 2 2 ab ab a b x ab dx ab xX EES b a 5 按规定某车站每天 8:00-9:00, 9:00-10:00 恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的, 且相互独立,其规律为 到 站 时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率 0.2 0.4 0.4 (1) 旅客 8:00 到站,求他候车时间的数学期望 (2) 旅客 8:20 到站,求他候车时间的数学期望 解 (1) 旅客 8:00 到站 X-表示候车时间，则 X 10 30 50 P 0.2 0.4 0.4 344 . 0504 . 0302 . 010EX（分） (2) 旅客 8:20 到站 X-表示候车时间，则 X 10 30 50 70 90 P 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08 8 .3008. 09008. 07004. 0504 . 0304 . 010EX（分） 6 一工厂生产某设备的寿命 X（单位：年）服从指数分布，其密度函数为： 0 4 1 00 )( 4 xe x xf x ，工厂规定：出售设备一年内损坏，可以调换，若出售一台设 备盈利 100 元，调换一台设备，厂方需要花费 300 元，求厂方出售一台设备盈利的数 学期望 解 Y 表示出售设备的盈利：则 Y=100，-200 78. 0 14 1 ) 1()100( 4 1 4 1 4 eedxeXPYP xx 22. 0) 1()200(XPYP 3422. 0)200(78. 0100EY 第第 11 次随机变量的数字特征（二）次随机变量的数字特征（二） 1 设随机变量 X 为分布表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2 求（）)( XD （）) 32(XD 解4