四川省成都市外国语学校2019届高三数学一诊模拟考试试题理（含解析）.docx

四川省成都外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学（理）试题一、选择题.1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：化简集合，先求，再求.详解：，故选A.点睛：本题主要考查集合的交、并、补运算，属于送分题，解题时注意先将参与运算的集合化到最简形式，再按照要求进行运算.2.已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案【详解】z1=2+ai（aR），z2=12i，由为纯虚数，则，解得a=1，故选：A【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题3.在等差数列中,，则（ ）A. 5B. 8C. 10D. 14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，所以，所以，故选B.考点：等差数列通项公式.4.“”是“直线的倾斜角大于”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或，即或，所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.5.已知，则（ ）A. 1B. -1C. D. 0【答案】D【解析】 .故选D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥【详解】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥该几何体的体积 .故选：D【点睛】本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.如图所示，在中，点在线段上，设，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】用，表示，由，三点共线得出，的关系，消去，得到关于的函数，利用导数求出的最小值【详解】解：，三点共线，即由图可知令，得，令得或（舍）当时，当时，当时，取得最小值 .故选：D【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题8.已知函数，的零点依次为，则以下排列正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可【详解】函数，的零点依次为，在坐标系中画出，与的图象如图：可知，满足故选：B【点睛】本题考查了函数的零点的判定理，数形结合的应用，属于基础题.9.已知是定义域为的奇函数，满足若，则（ ）A. 50B. 2C. 0D. -2018【答案】B【解析】【分析】由题意可得，为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和【详解】解：是定义域为的奇函数，可得，即有，即，进而得到，为周期为4的函数，若，可得，则，可得.故选：B【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题10.过双曲线：的右顶点作轴的垂线，与的一条渐近线相交于点若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点（为坐标原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质，求出圆心坐标，即求出的坐标，代入圆的方程进行求解即可【详解】解：以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点（为坐标原点），半径，则圆的标准方程为，即，则，即，即，即，则，则双曲线的方程为，故选：D【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径是解决本题的关键属于简单题.11.在正项等比数列中，则满足的最大正整数的值为（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】由，结合等比数列的通项公式可求及，然后根据已知不等式及等比数列的求和公式可得关于的不等式，解不等式可求【详解】解：正项等比数列中，.，解可得，或（舍），.整理可得，经检验满足题意，故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质等知识的简单综合应用，属于中档试题12.已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简不等式可得mex，根据两函数的单调性得出正整数解为1和2，列出不等式组解出即可【详解】当x0时，由x2mxexmex0，可得mex（x0），显然当m0时，不等式mex（x0），在（0，+）恒成立，不符合题意；当m0时，令f（x）=mex，则f（x）在（0，+）上单调递增，令g（x）=，则g（x）=0，g（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=m0，g（0）=0，且f（x）g（x）有两个正整数解，则，即，解得m故选：D【点睛】本题考查了不等式整数解问题，考查函数与方程思想，数形结合思想，属于中档题.二、填空题。13.在的二项展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】21.【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数【详解】二项式（1+x）7展开式的通项公式为Tr+1=xr，令r=2，得展开式中x2的系数为=21故答案为：21【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.已知向量，夹角为，且，；则_【答案】【解析】【分析】把已知式子两边平方，结合数量积的定义可得关于的一元二次方程，解方程可得【详解】，=10，代入数据可得41+41+=10，化简可得+6=0，解得=，或3（负数舍去）故答案为：【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及数量积和向量的夹角，属基础题15.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为_（参考数据：，）【答案】24【解析】【分析】列出循环过程中与的数值，满足判断框的条件即可结束循环【详解】解：模拟执行程序，可得，不满足条件，不满足条件，满足条件，退出循环，输出的值为24故答案为：24【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题16.如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，则当时，函数的值域为_【答案】【解析】【分析】当时，截面多边形是六边形HIJKLM，利用相似比可知邻边长之和为定值即可得到结果.【详解】当时，截面多边形是六边形HIJKLM，设=，则=1，HI+IJ=，截面六边形的周长为；故答案为：【点睛】本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题,考查了空间想象力，属于中档题.三、解答题。17.如图，在中，边上的中线长为3，且，.（1）求的值；（2）求及外接圆的面积【答案】(1)；(2)；.【解析】【分析】在中，由正弦定理可得；由题意结合两角和的余弦公式可得，在中，由余弦定理可得结合正弦定理可知外接圆半径，外接圆面积.【详解】在中，由正弦定理，得；，为BC中点，在中，由余弦定理得：，设外接圆的半径为R，外接圆的面积.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）答案见解析；（ii）【解析】分析：（）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为详解：（）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=k）=（k=0，1，2，3）所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=BC，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以，事件A发生的概率为点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：考查对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比19.如图所示，在平行四边形中，点是边的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且.（1）求证：平面平面；（2）若平面和平面的交线为，求二面角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明，可得平面，从而证得结果；（2）以E为原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.【详解】解：（1）连接BE，在平行四边形中， ， ， ，即，且. 在中，得 又因为，即. 又平面，平面，且，平面又平面，平面平面. （2）由（1）得两两垂直，故以E为原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则， ，. ，. 可知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则 ，可取 所以， 即所求二面角的余弦值为【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知椭圆：的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点，的周长为16（1）求椭圆的方程；（2）已知为原点，圆：与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证：为定值【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）根据的周长为16，可得，再根据离心率，得出，从而可得椭圆的方程；（2）根据圆及椭圆的对称性可得，两点关于轴对称，设，则，从而得出直线的方程，即可得到点的横坐标，同理可得点的横坐标，从而列出的表达式，化简求值即可得到定值.试题解析：（1）由题意得，则，由，解得，则，所以椭圆的方程为（2）证明：由条件可知，两点关于轴对称，设，则，由题可知，又直线的方程为，令得点的横坐标，同理可得点的横坐标. ，即为定值点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求实数的值，并求的单调区间；（2）试比较与的大小，并说明理由；（3）求证：当时，.【答案】（1）a=0,增区间为，减区间为；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得f（1）=1，列出方程求出a的值，代入函数解析式和导数，分别求出f（x）0、f（x）0对应的x的范围，即求出函数f（x）的单调区间；（2）根据函数f（x）的单调性得：，由对数的运算律、单调性化简即可；（3）.【详解】解:(1)依题意， 所以，又由切线方程可得，即，解得， 此时， 令，所以，解得；令，所以，解得，所以的增区间为：，减区间为：. (2) 由(1)知，函数在上单调递减，所以 ,(3),。【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数