2020版高考数学大一轮复习第十二章复数、算法、推理与证明第5讲数学归纳法分层演练理（含解析）新人教A版.docx

第5讲 数学归纳法 1用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8C9 D10解析：选B.1，整理得2n128，解得n7，所以初始值至少应取8.2已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2解析：选A.f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.3当n为正奇数时，求证xnyn被xy整除，当第二步假设n2k1时命题为真，进而需验证n_，命题为真解析：当n为正奇数时，求证xnyn被xy整除，用数学归纳法证明时，第二步假设n2k1时命题为真，进而需要验证n2k1时命题为真答案：2k14设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示)解析：f(3)2，f(4)f(3)323，f(5)f(4)4234，f(6)f(5)52345，猜想f(n)234(n1)(n4)答案：5(n1)(n2)5求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)证明：(1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；(2)假设当nk(kN*，k1)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)这就是说当nk1时等式也成立由(1)(2)可知，对所有nN*等式成立6设实数c0, 整数p1，证明：当x1且x0时，(1x)p1px.证明：用数学归纳法证明当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立假设当pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx成立则当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1，x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立7已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解：(1)由P1的坐标为(1，1)知a11，b11.所以b2，a2a1b2.所以点P2的坐标为.所以直线l的方程为2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(kN*，k1)时，2akbk1成立，则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，所以当nk1时，命题也成立由知，对nN*，都有2anbn1，即点Pn都在直线l上1已知数列xn满足x1，且xn1(nN*)(1)用数学归纳法证明：0xn0，即xk10.又因为xk110，所以0xk11.综合可知0xn1.(2)由xn1可得1，即an12an1，所以an112(an1)令bnan1，则bn12bn，又b1a1111，所以bn是以1为首项，2为公比的等比数列，即bn2n1，所以an2n11.2将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，分别计算各组包含的正整数的和如下：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明解：由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644.猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1114，等式成立(2)假设当nk(kN*，k1)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，这就是说，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知对于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立3设数列an各项均为正数，且满足an1ana.(1)求证：对一切n2，都有an；(2)已知数列an的前n项和为Sn，证明对一切n2，都有S2nSn10，解得0a11.当n2时，a3a2a(a2)2，不等式成立，假设当nk(k2，kN*)时，不等式成立，即ak，则当nk1时，ak1aka(ak)20，则f(x)0，故f(x)在(0，)上是增函数，则f(x)f(0)0，即ln(x1)，令x，代入上式，得ln(n2)l