八年级希望杯数学竞赛.doc

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛得分 初二 第2试2005年4月17日 上午830至1030一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.1、若a，b均为正整数，m=ab(ab)，则（ ）Am一定是奇数 Bm一定是偶数 C只有当a，b均为偶数时，m是偶数 D只有当a，b一个为偶数，另一个为奇数时，m是偶数2、设，则等于（ ）A B C3 D33、Given a，b，c are positive integers，and a，b are prime numbers，then the value of is（ ）A14 B13 C12 D 11(英汉词典 positive integers：正整数. prime numbers：质数)_4、购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需（ ）A4.5元 B5元 C6元 D6.5元5、计算机将信息转换成二进制数来处理.二进制是“逢二进一”，如二进制数(1101)2转换成十进制数是123122021120=13，那么二进制数转换成十进制数是（ ）A220041 B22005 C220051 D220051 6、已知ABC的三个内角的比是m(m1) (m2)，其中是m大于1的正整数，那么ABC是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形7、已知ABC的三条高的比是345，且三条边的长均为整数，则ABC的边长可能是（ ）A10 B12 C14 D168、已知两位数能被3整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字。这样的两位数共有（ ）A1个 B3个 C4个 D5个9、放成一排的2005个盒子中共有4010个小球，其中最左端的盒子中放了a个小球，最右端的盒子中放了b个小球，如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个，则（ ）Aa=b=2 Ba=b=1 Ca=1，b=2 Da=2，b=110、已知整数，满足，且那么x2y2z2的值等于（ ）A2 B14 C2或14 D14或17二、填空题（每小题5分，共50分.含两个空的小题，前空3分，后空2分.）11、如果|a|=3，|b|=5，那么|ab|ab|的绝对值等于 .12、已知，则= .13、某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则1120时距离B地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则1120时已经超过B地30千米。A、B两地的路程是 千米。14、若是一个六位数，其中a，b，c是三个互异的数字，且都不等于0，1，2，3，又M是7的倍数，那么M的最小值是 .15、分解因式： .16、若在凸n(n为大于3的自然数)边形的内角中，最多有M个锐角，最少有m个锐角，则M= ；m= .17、如图1，等腰RtABC的直角边长为32，从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D1，再从D1作D1D2AC交AC于D2，再从D2作D2D3BC交BC于D3，则AD1D2D3D4D5D6D7D8D9= 图1ABCD1D2D3D4D5 ；D1D2D3D4D5D6D7D8D9D10= .ABCDEFG图4ABCFE图2图318、如图2，将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3(其中EFBC)，已知图3的面积与原三角形的面积之比为34，且阴影部分的面积为8平方厘米，则原三角形面积为 平方厘米。19、如图4，ABC中，BCAC=35，四边形BDEC和ACFG均为正方形，已知ABC与正方形BDEC的面积比是35，那么CEF与整个图形的面积比等于 .20、如果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么n就称为“希望数”，则最小的希望数是 .甲甲图5乙乙AB三、解答题（每题10分，共30分） 要求：写出推算过程.21、图5是一个长为400米的环形跑道，其中A、B为跑道对称轴上的两点，且A、B之间有一条50米的直线通道。甲、乙两人同时从A点出发，甲按逆时针方向以速度v1沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度v2沿跑道跑步，当跑到B点处时沿直线通道跑回A点处。假设两人跑步时间足够长。求：如果v1v2=32，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇？如果v1v2=56，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B点处相遇？22、如果a是小于20的质数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？如果a是小于20的合数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？图6ABCDP23、如图6，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连结PB和PD得到PBD。求：当点P运动到AC的中点时，PBD的周长；PBD的周长的最小值。第十六届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初中二年级 第2试一、选择题（每小题5分） 题号12345678910答案BCDBCABCAA二、填空题（每小题5分，含两个空的小题，前空3分，后空2分） 题号11121314151617181920答案6544683213；031；3116215320512三、解答题21、设甲跑了n圈后，两人首次在A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为v1=3m，v2=2m，由题意可得在A处相遇时，他们跑步的时间是 （2分）是 （3分）因为乙跑回到A点处，所以应是250的整数倍，从而知n的最小值是15，（4分）所以甲跑了15圈后，两人首次在A点处相遇 （5分）设乙跑了米，甲跑了米时，两人首次在B点处相遇，设甲、乙两人的速度分别为v1=5m，v2=6m，由题意可得，即 ， （7分）所以，即(p，q均为正整数)。所以p，q的最小值为q=2，p=4， （8分）此时，乙跑过的路程为2504200=1200（米）。 （9分）所以乙跑了1200米后，两人首次在B点处相遇。 （10分）22、小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19 （2分）除了2和5以外，其余各数的倒数均可化为循环小数， （4分）所以a可以取：3，5，7，11，13，17，19。 （5分）由可知，只要合数a的因数中含有2或5以外的质数，那么该数的倒数均可化为循环小数，（8分）所以a可以取：6，9，12，14，15，18。 （10分）23、如图1，当点P运动到AC的中点时，BPAC，DPAB， （2分）所以 ， （4分）即ABC的周长为BPDPBD=。 （5分）图2ABCDPGFE图1ABCDP如图2，作点B关