函数最值的研究-应用数学毕业论文

山西师范大学现代文理学院本科毕业论文山西师范大学现代文理学院本科毕业论文 关于函数最值问题的研究关于函数最值问题的研究 姓姓名名 郝丽梅 系系别别 数学与计算机系 专专业业 数学与应用数学 班班级级 数学 0801 班 学学号号 0890110124 指导教师指导教师 肖菊霞 答辩日期答辩日期 成成绩绩 关于函数最值问题的研究 内容摘要 函数最值问题是一类很重要的数学问题。在几何中求图形的面积、体积时常包含着 最值问题；在物理中，速度的变化率、物体运行轨迹等都涉及到最值问题，因此，最值 问题的研究有着重要的理论意义。 在市场经济中， 如何进行组织生产和合理的资源调度， 使得生产成本能够最小，如何对产品定价获得最大的利润，而在实际生活中，也常常遇 到在运动变化的过程中求最值问题，同时在教学过程中，我们经常遇到求各种几何及函 数的最值问题，综上，研究最值问题有很重要的现实意义。 研究函数的最值问题，要掌握它的一些基本解法，进而领悟解决问题的思想方法， 对我们以后的工作学习都很受用。 我经过长期查询文献对函数最值问题的一些求解方法 作了总结并撰写了此论文。本文分为五部分：第一部分为引言，主要介绍最值思想的发 展概况及本文思路来源；第二部分为常见函数最值问题的解法，主要介绍了一些基本方 法并举例说明了用法；第三部分为一些特殊解法，主要针对一些特殊题型给出其重要解 法；第四部分为一些特殊函数的最值问题，主要对一些特殊函数给出了更有效的解法； 第五部分为小结， 给出了对最值问题解法更深层次的理解以及对研究函数最值问题的展 望。 【关键词】最值 单调性 均值不等式 三角函数 构造向量 Research on the function of most value problem Abstract Function best value problem is a very important class of mathematical problems. The area of geometry and graphics, the volume often contains the most value; in physics, the rate of change of speed, the object trajectory and so it comes to the most value problem, therefore, the most value research has important theoretical significance. In a market economy, how to organize production and resource scheduling, making production costs can be minimized, and product pricing to maximize profits, but in real life, but also often encountered in the process of change in the movement for the most value at the same time in the teaching process, we often encountered in seeking the most value for a variety of geometry and function summary, the best value issues have very important practical significance. Function of value, to grasp some of the basic solution, and then realize the problem-solving way of thinking, and learning are good enough for our future work. Function value problem solving methods after long-term query made to summarize and write this paper. This article is divided into five parts: Part I Introduction, introduces the most value overview of the development of ideas and sources of ideas in this article; second part is a common function best value solution, and introduces some of the basic methods and examples of usage; part of a special solution is given an important solution for some special kinds of questions; fourth the most value is divided into a number of special functions, mainly a more effective solution for some special functions; part V Summary, to Solutions to Maximum deeper level of understanding and Prospect of the most value problem for the study of function. 【 Key words 】Function valueMonotonicityMean inequality TrigonometricfunctionsConstruct vector 目录 一、引言（1） 二、常见的函数最值问题的解法（1） (一)配方法（1） (二)利用单调性 （2） (三)导数法（3） (四)判别式法 （4） (五)反函数法 （4） 三、一些特殊解法 （4） (一)均值不等式法 （4） (二)数形结合 （6） (三)最值问题的向量解法 （7） 四、一些特殊的函数最值问题（8） (一)三角函数中的最值问题 （8） (二)一类带有根式的函数的最值换元法（9） 五、总结 （11） 参考文献 （11） 致谢（12） 关于函数最值问题的研究 学生姓名：郝丽梅指导老师：肖菊霞 一、引言 在教育思想从应试教育向素质教育转轨的今天，不仅要求学生具备必要的书本知 识，还要具备一定的思想方法,而具备后者尤为重要。思想是隐藏在知识的深层次内的 无形的精华,掌握了方法就能对一种问题提出解决办法,在数学学科教学学习中， 这点体 现的尤为明显。函数的最值问题是教育教学、科技科研中常遇到的一类问题，涉及到我 们学过的好多知识点，对巩固基础知识，深化学生思维有着重要的作用。 在对待数学中求解函数的最值问题上，国内外已有许多研究成果，例如：李海港研 究了利用均值不等式求解函数最值的技巧、毛艳春讲述了三角函数最值的几种解法、魏 述强利用构造向量的方法及技巧求函数的最值等。 以上都是在数学学科的理论上来探讨 的函数最值问题的解法。但是对这些方法的总结概括，还没有比较完善的系统，本文是 我经过长期查询文献对函数的最值问题的一些方法及技巧更进一层次的理解与运用。 函 数最值问题有很多种，不同的问题有不同的解决方法。比如：求一个一元二次函数的最 值，要用配方法；若已知了一个闭区间，求一个高次函数的最值，常用导数法来求解； 此外，我们还可以利用均值不等式，利用构造向量求函数最值。本文对各种函数最值问 题进行剖析，探讨各类问题的解法，并通过例题加以说明。 二、常见的函数最值问题的解法 (一)配方法 配方法用于求一个一元二次函数的最值，是中学数学的重点也是难点，特别是题中 给定了闭区间的一元二次函数的最值问题. 一元二次函数的一般形式为(0, ,)yaxbxc aa b cR，,此类函数可以先通过 配方为 2 2 4 () 24 bacb ya x aa , 若a 0,则 22 minmax 44 ;0, 44 acbacb yay aa . 1.定义域为全体实数 例例 1 1试求 2 26yxx的最小值. 分析分析这是一个最典型的一元二次函数的最值问题，将它配方即可. 解解配方得： 2 (1)5yx，则 min 5y. 2.定义域不是全体实数，而是给出了区间 例例 2 2求函数 2 35( 1,1)yxxx 的最值. 分析分析本题与上个例题唯一的不同是给定了区间,所以要考查函数的单调性. 解解配方得 2 311 () 24 yx由图像可知它在 1,1上是单调递增的，则 2 min ( 1)3 ( 1)59,y 2 max 1353y . 小结小结在一元二次函数的最值问题中，还常见一类形式上不是一元二次函数，但我 们可以通过换元把它转化为二次函数的形式.在这部分特别要注意“元”的取值范围， 研究此类问题还要结合它的图像，以提高解题速度. 例例 3 3函数 1 ( ) 2(2) f x xx 的最大值是（ ）. A.1B.2C.3D.4 解解 2 11 ( )1 2(2)(1)1 f x xxx ，所以选 A. 例例 4 4若0,0,xy且1xy,则的最小值为. 解解10,01.xyy 令 fy= 22 2(1)1xyy又 fy在0,1上 单调递减，则当=y1 时， 2 2xy有最小值 1. (二)利用单调性 二次函数，三角函数，指数函数，对数函数， axb y cxd 型函数等这些基本函数都 具有单调性，我们必须熟练掌握它们的图象，这样就可以借助图像考察它的单调性，进 而求最值.此外，还应掌握勾勾函数 ( )(0,0) b f xaxab x 的图象，在求最值中，我们经常会遇到用均值不等式后发 现等号不成立，就需要用到勾勾函数的单调性. 例例 1 1函数 2 2 1 9 9 yx x 的最小值是. 解解令 2 9ax，则 1 3ya a 3,)a当且仅当 35 2 a 时，等号成立 35 3,)3 2 ay ,由图像可知 1 ya a 在上3,)a是单调递增的. =3a 时，y的最小值是 3 10 . 例例 2 2若 2 210xax 在 1 (0, 3 x上都成立，则a的最小值为（）. A.0B.-2C. 5 2 D. 5 3 解解 2 21axx 11 2,(0, 3 axx x 令 1 ( )g xx x 在 1 (0, 3 x上单调递 减 min 110 ( )3 33 g x 10 2 3 a即 5 3 a 故选 D. 小结小结本题把参数a单独分离出来， 然后再利用( )g x的取值范围， 求a的取值范围. 例例 3 3函数( )f x的定义域是R,且对任意 12 ,x xR，都有 1212 ()()()f xxf xf x.当0x 时，( )0f x ,(1)2f.请判断：在区间-2,2 上 ( )f x是否有最值？若有，求其最值；若没有，说明理由. 解解令 12 0(0)(0)(0)0xxfff，则. 令 12 ,( )()(0)0xx xxf xfxf 则.故()= ( )fxf x，则( )f x是偶函数. 121221 ,0,x xRxxxx设且则故 21 ()()f xf x= 2121 ()()()0f xfxf xx.则( )f x在R上是增函数. 又(1)2f，则(2)(1 1)(1)(1)4ffff (-2)- (2)-4ff所以在2,2上，( )f x是增函数，存在最小值和最大值. 当=-2x时， min ( )(-2)-4f xf当=2x时， max ( )(2)4f xf. 小结小结本题运用了函数奇偶性还有函数单调性，还巧设“0”，是一类综合性很强 的典型题目. (三)导数法 已知( )f x在 , a b上连续，而且在( , )a b上可导，那么( )f x在 , a b上的最小值和最 大值是( )f x在( , )a b内的各个极值和( ),( )f af b，它们中的最小值和最大值. 例例试写出 3 ( )232f xxx在3,5上的最值. 解解 2 ( )63fxx若( )0fx则 2 2 x ，但是 2 3,5 2 又 (3)47,(5)237ff，即( )f x在3,5上最大值是 237，最小值是 47. (四)判别式法 将已知函数化为关于某一变量的二次函数，若这个变量的取值范围是全体实数，只 要令它的判别式大于等于零就解决了. 例例 1 1试求出 2 2 2 22 xx y xx 的最大值. 解解 22 22(1)10,xxxxR ，将原函数变形为 2 (1)(22)20yxyxy 1,10yy 由0 得11y max 1y. 小结小结如果自变量的取值范围不是全体实数时，我们还需要结合它的图像，看它的 单调性，然后列不等式求解. 例例 2 2试求解(1)yxxx的最值. 解解(1)yxxx两边平方整理，得 22 2(21)0xyxy.因为x是实数，故 22 (21)80,yy 解得 1212 22 y .此外由(1)0xx得01x 于是(1)yxxx0, 12 0 2 y 故 min 12 0, 2 max yy . 小结小结判别式法常用于求分式函数（如例 1）或无理函数（如例 2）的最值，特别 地，若题中给出了自变量的区间，在求出y的范围后，要记得把区间端点值代入原函数 检验，以免产生“增值”“误判”等情况. (五)反函数法 例例求函数 1( 0) 1 x yx x 的最小值. 解解将原函数变形得 1 (0) 1 y xx y 1 0 1 y y 则 min (1)(1)0 111 10 yy yy y . 小结小结对于给定自变量取值范围的函数，可求它的反函数.根据反函数的值域，就 可以求出原函数的的值域. 三、一些特殊解法 (一)均值不等式法 利用均值不等式求最值，一定要看等号成立的条件是否满足，还要特别考查三个条 件，即“一正，二定，三等”. 最常用的均值不等式是2 abab（当且仅当ab时等号成立，0,0ab）， 均值不等式求解函数的最值是中学数学的重点也是高考的热点.均值不等式常与其他方 法结合并用。我们下面介绍常见的三种方法，它们与均值不等式结合可以解决函数最值 问题. 1.拼凑法 例例 1 1求函数 93f xxx的最大值，其中03x. 解解由03x可知930x.均值不等式3(93 )xx 2 39381 () 24 xx , 当且仅当3 =(93 )xx,即 3 2 x 时等号成立.因此有 2 11 39327 ( )(93 )3 (93 )() 3324 xx f xxxxx 并且 3 2 x 时等号成立. 所以 3 2 x 时， f x的最大值是 27 4 . 分析分析在该小题中，我们通过巧妙地为 f x凑上一个系数，使得3 +(93 )=9xx为 定值，进而可以巧妙地利用均值不等式来解该题；然而在有些题目中从外形上不容易看 出怎么拼凑均值不等式，这就需要我们对函数进行拼凑，如下例。 例例 2 2求 4 ( )31 35 f xx x 的最大值， 0x 5 3 . 解解注意到x 5 3 ，可得530x另外31x可以凑成453x. 则 44 ( )4 (53 )42 (53 )0 5353 f xxx xx 当且仅当 4 (53 ) 53 x x 时 也就是 1x 或 7， 等号成立.7 5 3 ， 不合条件， 所以 1x 时， f x的最大值是 0. 2.分离法 例例 1 1求函数 2 41 ( )1. 1 xx f xx x 的最小值，其中 解解由1x 可得1x .则有 2 (1)6(1)66 ( )16 11 xx f xx xx 6 2 (1)62 66 1 x x . 61( )2 6-6xf x所以当时，函数取最小值为. 分析分析在本题中，我们先将分子配方，使它含有分母,然后再将其分离，这样就可 以利用均值不等式.对于求解某些分式函数的最值题型，此方法不失为一种好方法. 3.整体代换法 例例已知0,0ab，并且 11 7 ab ，求( , )f a b. 解解简单计算可得 1111 ( , )=2+,7 ab f a b abbaab （）再由可知 11 ( , )=7).2+=7) ab f a babab abba （）（进而有（。 2=2. aba b bab a 再由均值不等式知因此可得 4 7)=2+4, 7 ab abab ba （，即并且当且仅当 0003af aaxf x y. 4.换元法 例例求函数 1 ( ) 5 x f x x 的最大值 解解令1,ax 2 1xa则 2 ( ) 4 a f a a 当0a 时， 0f a 当0a 时 1 ( ) 4 f a a a 11 44 2 a a 当且仅当 4 a a 即2a 时，等号成立。即3x 时， f x的 最大值是 1 4 . 小结小结从本题中可以看出，如果不能直接利用均值不等式求函数的最值，要通过巧 妙地换元对函数的自变量进行换元，从而为利用均值不等式创造了条件. 总之，均值不等式一般要与其他方法并用求最值，在具体的题目中，要灵活变形， 运用. (二)数形结合 对一些具有几何图形的函数，通过数形结合，可以使问题变得很简单 例例 1 1试写出 sin3 cos3 x y x 的最值. 解解我们可以把y看作是平面直角坐标系内的点N(cos .sin )xx与点P(3,3)的连线的 斜率. 设直线3(3)yk x与圆 22 1xy相切，切点为 12 ,N N，则函数的最值转化为斜 率的最值，因为圆心 O 到直线的距离为 1.则 2 33 1 k k 1，即 2 4940kk 解得 917 8 k .则 y 的最大值是 917 8 ，最小值是 917 8 . (三) 最值问题的向量解法 向量在数学中的地位就如同数学在各学科中的地位.是一种工具，在解决函数的最 值问题上有很重要的作用. 1.利用向量的数量积 现有两个向量 1212 ( ,),(,)ax xby y ，其夹角为，则我们可以把这两个向量的数量 积定义为cosa ba ba b ，用坐标可以表示为 2222 11221212 x yx yxxyy. 例例若213xy ，求xy的最小值. 解解构造向量(2,1),(1,1)axyb 由a ba b 可得21(2)(1)2xyxy 即 3 27 1 22 xyxy 当且仅当21xy时，xy有最小值 7 2 . 2.应用向量模的性质 设向量 12 , n a aa ，则有 121212 1 aaaaaa 1212 2 nn aaaaaa 例例设,xR求 22 11yxxxx 的最小值 解解 2222 1313 ()()()() 2222 yxx构造向量 1313 (,),(,) 2222 mxnx 则ymn ( 1,0)mn 且mnmn 1ymnmn 故y的最大值为 1，最小值为-1. 小结小结由本题可以知道，利用向量法求解代数问题时，重要的是利用已知条件，构 造恰当的向量，这就要求我们善于观察题目的外形. 3.应用向量的基本定理 向量基本定理： 1 122 aee ，其中a 是平面内的任一向量， 12 ,e e 是同一平面内的 两个不共线向量， 12 , 是一对实数. 例例若 2 ( ),f xaxc且2(1)1, 1(2)1ff ，试求(3)f的最值. 分析分析若将(1)f，(2)f看作一基底，把(3)f表示出来，则可解决问题 解解因为(1)f,(2)4,ac fac把(1)f，(2)f看作一基底，可令 12121212 (3)(1)(2)()(4)(4)()fk fk fk ackackk akk c， 又因为(3)9fac，所以 1212 9(4)()ackk akk c. 比较两边a与c的系数可知 12 12 49 1 kk kk 解得 1 2 5 3 8 3 k k 所以 58 (3)(1)(2) 33 fff 由2(1)1,f 得 5510 (1) 333 f 由1(2)1f ，得 888 (2) 333 f 1(3)6f 则(3)f的最大值 6，最小值-1. 四、一些特殊的函数最值问题 (一)三角函数中的最值问题 在高中数学中，三角函数是一个重要的内容，公式多，概念多，性质多，与代数， 几何，复数等知识联系密切，是解决函数的性质，三角不等式等问题的有效途径. 1.图像和性质法 例例求函数( )sin(cos )f xx的值域. 解解由1cos1 22 x 得0sin(cos )sin1x则( )0, sin1f x . 小结小结此题要注意隐含条件：正余弦的最大值是 1. 2.构造二次函数或均值不等式 例例 1 1试求函数 (1 cos )(3cos ) 2cos xx y x 的值域. 分析分析本题可以将原函数变形为二次函数，而二次函数是有解的，那么就可以转化 为前面的判别式法. 解解原函数变形得 2 cos(4)cos320xyxy 若令costx那么 1,1t 而 2 (4)320ty ty 在 1,1内是有解的，得 2 (4)4(32 )0 4 11 2 ( 1)0 (1)0 yy y f f 解得 8 0, 3 y. 小结小结本题通过换元，将最值问题转化为二次函数中讨论区间内的根的问题. 例例 2 20 2 x ，求 22 4cos9 ( ) cos xx f x xx 的最小值. 分析分析由0 2 x 得cos0xx 于是根据均值不等式 99 ( )4 cos2 4 cos12 coscos f xxxxx xxxx ，当 9 4 cos cos xx xx 即 22 9 cos 4 xx 时， min ( )12f x. 小结小结本题利用了均值不等式2(0,0)abab ab， 而且符合等号成立的条件. 但如果不符合等号成立的条件，则我们还要根据“对勾函数”,0 a yxa x 的单调性 求解. 3.运用变量代换，整体思想 例例求函数sincossin cosyxxxx的值域. 分析分析因为sincosxx与sincosxx之间有着密切的关系， 不妨运用换元法， 将三角 函数的最值问题转化成 2 yatbtc在某个区间上的最值问题. 解解设sincosxxa，则2sin()2,2 4 ax ， 2 1 sin cos 2 a xx 2 2 11 (1)1 22 a yaa ，2,2a 故当2a 时，有 max 1 2 2 y. (二)一类带有根式的函数的最值换元法 换元法求解一类带根式的函数的最值，主要有两种方法：三角换元，代数换元，换 元过程中，对于中间变量，要注意它的取值范围. 例例 1 1试写出 22 ( )4f xxx的最大值. 解解定义域：-2,2设 2 4,0tx t则 2 4xt 2 117 ( )4() 24 f xttt 当 1 2 t 时，即 15 2 x 时( )f x得最大值为 17 4 . 分析分析本题的特征是根式内外都有变量，且变量是同次幂的,采用代数换元. 例例 2 2求 11 ( ) 34 f xxx的最大值，最小值. 分析分析由不等式 22 22 abab 可求得最大值，但求最小值暂时找不到不等式，所 以我们不妨用换元法. 解解函数的定义域为 1 1 , 4 3 令 22 111 ,0,0, 3412 mx nxmnmn则. 再令 33 cos ,sin ,0, 662 mn 。则 336 ( )cossinsin() 6664 f x 由 3 , 444 可知 maxmin 63 ( ),( ) 66 f xf x. 所以函数的最大值为 6 6 ，最小值为 3 6 . 分析分析本题应用三角换元。利用不等式 22 22 abab 求最值是我们熟知的公式， 但是对于根式本身的处理方法却容易忽视， 所以在求最值上陷入了寻求不等关系的泥潭 中.要注意平方后是什么，是否转化为我们熟知的问题. 小