伴随矩阵的性质及其应用-毕业论文

南京师范大学泰州学院本科毕业论文 南南 京京 师师 范范 大大 学学 泰泰 州州 学学 院院 毕毕 业业 论论 文（设文（设 计）计） （一六一六届）届） 题题目：目：伴随矩阵的性质及其应用伴随矩阵的性质及其应用 院（系、部院（系、部） ：数学科学与应用学院数学科学与应用学院 专专业：业：数学与应用数学数学与应用数学 姓姓名：名：吉吉宗宗银银 学学号号08120412 指导教师：指导教师：王王志志华华 南京师范大学泰州学院教务处南京师范大学泰州学院教务处制制 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 1 摘要：在高等代数中，伴随矩阵作为一种特殊的矩阵有很多特殊的性质，从某种 意义上来说，它和正定矩阵、正交矩阵一样，不仅在理论很有研究价值而且在实 践上也有广泛的应用. 本文主要对伴随矩阵以及一些特殊矩阵(比如上三角矩 阵、对称矩阵等）的伴随矩阵所具备的若干性质进行了系统的研究，利用这些性 质简化了一些伴随矩阵的计算. 关键词：伴随矩阵；若当标准型；可逆矩阵 Abstract: As a special matrix, adjoint matrix has many special properties in linear algebra. In a sense, it is like a positive definite matrix and orthogonal matrix, and not only has great research value in theory but also has wide application in practice. In this article we focus on various properties of adjoint matrices, including the properties of adjoint matrices of some special matrices (the upper triangular matrices, symmetric matrices, etc.), and use these properties to calculate the adjoint matrices of some matrices. As we shall see, this simplifies the calculation and avoid a large amount of complicated calculations. Keywords:adjoint matrix;Jordan standard form;invertible matrix 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 2 目录 1 绪论3 1.1 研究目的3 1.2 研究意义3 1.3 国内外研究现状3 2 基础知识.4 2.1 伴随矩阵的定义4 2.2 伴随矩阵的基本性质及运算性质4 2.2.1 伴随矩阵基本性质及证明.4 2.2.2 伴随矩阵运算性质及证明.5 2.3 某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质11 2.3.1 对称矩阵.11 2.3.2 上（下）三角矩阵.11 2.2.3 正定和半正定矩阵.12 2.2.4 正交矩阵.12 谢 辞14 参考文献15 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 3 1 绪论 1.1 研究目的 利用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关计算问题及拓宽它在各领域中 的应用。 1.2 研究意义 对伴随矩阵的性质及其应用的探讨，不仅有利于教师的教学，还有利于学生的学 习， 以便于我们更加得心应手的利用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关 问题。 且在伴随矩阵在线性代数中是作为求解逆矩阵的身份出现的，伴随矩阵是 非常重要的概念，在矩阵理论中占有非常重要的地位。前人对伴随矩阵的各种性 质研究很多，本文将在此基础上总结已有的一些伴随矩阵的性质与结果，并应用 这些方法求解一些例子。通过本文的写作，本人将对伴随矩阵若干性质有深入的 把握，对伴随矩阵在各种解题中的应用有深入了解。 1.3 国内外研究现状 现如今对于伴随矩阵的研究主要围绕的是伴随矩阵的基本性质， 主要有伴随矩阵 的运算性质伴随矩阵的继承性质以及 m 重伴随矩阵的性质等。 杨闻起探讨了伴 随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质；王 航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上，探讨了伴随矩阵的运算性质，特 别研究了乘积矩阵的伴随矩阵的性质，并提出了自伴随矩阵的定义及其性质，归 纳了伴随矩阵较强的继承性；郑茂玉也提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系，探 讨了伴随矩阵的性质，并且将伴随矩阵的性质推广到了 m 重；徐淳宁也探究了 m 重伴随矩阵的定义及其性质，得出了一些有意义的结果，使伴随矩阵的内涵更加 丰富。 上述结论都是在 A 为方阵的前提下提出来的，对于 A 不为方阵的情况也有 一些结果。本文将在这些研究基础上，总结伴随矩阵的一些性质，并应用这些结 果求解一些具体例子。 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 4 2 基础知识 2.1 伴随矩阵的定义 定义 1.设 ij A是矩阵 A= 11121 21222 12 a n n nnnn aa aaa aaa 中元素aij的代数余子式，则矩阵 A= 11211 1222n2 12 AAA AAA AAA n nnnn 称为 A 的伴随矩阵。 定义 2.设 A 为 n 阶方阵，如果有矩阵 B 满足 ABBA=E，则 B 就称为的逆矩阵， 记为 B=A -1。 注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。 2.2 伴随矩阵的基本性质及运算性质 2.2.1 伴随矩阵基本性质及证明 基本性质：AA =A A= A E ，当 A 可逆时，有 -1 A* A = | A | ，即 -1 A = A A . 证明：由行列式按一行（列）展开的公式 1 A n ikjk k a = 0i A j ij ， ， , 1 a A n kjkj k = 0i A , j ij ， （i,j=1,2,n）,可得AA =A A= A E . 注： （1）A 可逆时， -1 A = A A ； （2）有时用伴随矩阵来处理有关代数余子式问题。 例 1 若 111 A= 011 001 ，求 -1 A. 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 5 解：因为 111 A= 011 001 ，所以 1-10 A = 01-1 001 .A =1，由性质得 -1 A* A = | A | = 1-10 01-1 001 . 例 2 设 111 A= 022 003 ， -1 A 是 -1 A的伴随矩阵则求 -1 A . 解：由AA =A A= A E ，因为 -1-1 AA = AE ,所以有 -1-1 A A= AA= A . 又本题A =6，所以 -1 111 666 111 111 A=022 = 0 633 003 1 00 2 . 本题是求 A 的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂. 例 3 已知 A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为A,且 1 |A | 4 ,求 1 2A)3A （. 解： 11111 33 11 113 |2(A)3A | |A3|A|A| |AA| 224 11111 |A|A|. 444|A|16 2.2.2 伴随矩阵运算性质及证明 性质 1 T T A= A . 证明：因 T ijji A = aA= A ij ，则 TT jiij A= A= A ，而 T T jijiij A= aA= A ,故 T T A= A . 性质 2：A 可逆，则 *11 * A )(A ) （= 1 A A . 证 明 ： 因 A 可 逆 时 ， * A= 1 | A | A, 则 *1 *11 A (A )| A | A (| A| A)E , 故 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 6 *11 * A )(A ) （. 又 *111 1 (A )(| A | A )A | A | ,即 *11 * 1 (A )(A )A | A | . 例 已知 A 为一三阶矩阵，且 142 A013 001 ,求 1 A ) （. 解：经计算可得|A | 1, 所以 1 142 A A )A013 | A | 001 （. 性质 3：n阶方阵n2，则A= 0r(A)1 1(A)1 n(A) n rn rn . 证明:当ABB A 时，则A可逆. 由性质 1 知A可逆，则r A=n . 当 r A =n-1时， n AA = A I =0 .一方面由AB=0时， r A +r Bn可知， r A1 ； 另一方面由于 r An-1， 则A至少有一个 n-1 阶式子不为 0， r A1 . 故有r A=1 当 i J时，A的n1阶子式全为 0，此时有r A=1 n . 例 设 nn 2阶方阵 A，若秩 A =n2时，则秩A=？ 解：因为秩 A =n2，由以上性质的A0 ，故结果为 0. 性质 4：A= n 1 A n 1 . 证明 A 可逆时，由性质 1 知 nn-1 -1 A = AA= A , nn-1 -1 A = AA= A ,A 不可逆 时， r An-1，A =0.当 n2 时，由性质 3 知, 若 r An-1，此时r A=0 ， 自然有 n-1 A = A0 .若 r A =n-1， r A=1 n-1 ,此时 n-1 A = A0 .综上所述， 性质 4 成立. 例 已知 A 和 B 都是 n 阶方程，A=4，B=-2，则 -1 4A B =? 解: -1 4A B = n-1 4 AB = n 1 n 1 4 A B = n143 1 442 2 nn . 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 7 性质 5. *1 (KA)KA n 证明: *1111 (KA)| KA | (KA)K | A | K AKA nn . 例 设 A 为一个 3 阶矩阵，且已知 321 A112 211 ,求 1 A 4 . 解:因为 112131 122232 132333 AAA135 AAAA555 AAA315 , 所以 2 135 161616 135 111555 AA555 4416161616 315 315 161616 . 性质 6 n 2 A=0= AA . 证明:若 A 为二阶矩阵， 设 ab A= cd , 则 d-b A = -ca ， n 2 A=A= AA 成立. 下证 A 的阶数n2时的情况： 当A0时，由性质 1 及性质 6 知 n 1n 2 -1-1 A= A A= AAA = AA . 当A =0时 ， 知 r An-1, 若 r A =n-1， 则r A=1 n-1 , 由 性 质 4 知 rA=0 ，从而 n 2 A=0= AA . 若 r An-1，则r A=0 . 即A =0 ，故 n 2 A=0= AA .综上所述，性质 6 成立. 例 已知 A 为 n 阶可逆矩阵，且A =3，化简 -1 A -A . 解: 因为AA =A A= A E ，所以 -1 1 A =A A ，所以 -1 11 A -AA -A=-1 A= AA 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 8 n-1n-1 n-1 n-2 1- A1- A-2 A=AA=A AA3 . 性质 7.ABB A . 证明:当 A,B 均可逆时 -1 A = A A ， -1 B = B B 所以 -1-1 B A = AB B A , -1 -1-1 AB= AB AB= AB B A . 从而ABB A .当 A,B 至少有一个不可逆时，考虑矩阵,x0时， nnnn A+xI B+xIB+xIA+xI . 当 x 足够大时，可保证 n A+xI， n B+xI均可逆，此时有 nnnn A+xI B+xIB+xIA+xI . 而 nnnn A+xI B+xIB+xIA+xI 左右两端均为有关 x 的多项式 2 个多项式对应相等意味着变量 x 取任意值时都成立. 特别的，对x0时也成 立, 即有ABB A . 例 已知 A 和 B 为三阶可逆矩阵， 且 131 A = 212 112 ， 142 B = 013 001 ， 求 -1 AB 解：经计算可得 -1 1-410 B= 01-3 001 ，所以 -1 AB = -1 BA = 1-410 01-3 001 131 212 112 = 3913 -1-2-4 112 . 性 质 8.若 n 阶矩阵 A 的特征 值为,21n，则 A * 的特征值为一切的 1-n2iii1(i=1,n). 证 明设 A的 若 当 标 准 形 为 J= n 2 1 J J J ， 且 A=PJP -1, 其 中 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 9 Ji= i1 1i i ，i=1,2,s.由于下三角的伴随矩阵也是下三角矩阵 则可知 J *=P*A*(P*)-1= n * 2 1 ，其中 1 ， 2 n 是伴随矩阵 i J的 特征根.而 A *与 J*有相同的特征根，所以 1 ， 2 n 也是 A*的特征根. 而直接 计算 J 的 n-1 阶主子式可知 =1-n21iii(1i1in-1n,i=1,n). 例 1 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A 有特征 值，则 3 A+E 必有的特征值是什么？ 解：由性质知，A 有特征值，则 A *必有特征值 A ，从而 3 A+E 必有特征值 3 A +1 。 例 2 设 A，B 为三阶相似矩阵，A 的特征值为 1，1,3，求B. 解：因为 A 的特征值为 1,1,3，故A =3，所以A的特征值为1A =31A =3 1 A =1 3 ， 又因为 A 相似于 B，故A相似于B，所以B的特征值为 3,3，1 所以B9. 例 3设为三阶矩阵，的特征值 1,5，,7，试求行列式A -2E 解：因为A =1 57=35 ，由性质知，A的特征值分别为 35,7,5， 于是A -2E 的特征值为35-2=33，7-2=5，5-2=3，故A -2E =33 5 3=495 . 例 1 2 -1 2 A-6A的特征值； 2行列式 2 2A +3A 的值 分析:利用 -1 A，f A，A与A的特征值得关系 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 10 解： 设为A的特征值， 则 1 为 -1 A的特征值， f为f A的特征值由性质，A 为A的特征值. 1设为A的特征值，x是属于的特征向量，则Ax= x，由此可得 2 -1 2 2 2xx ， 6 x 6xx ， 则 2 -1 2 6 x 2 2-6x-x ， 又 123 A =4 ， 设 2 224 g- ，则 2 -1 2-6 的特征值为 1 g22 ， 2 49 g 8 ， 3 g26 2同 1可求得 2 2A +3A 的特征值为 11,46，-5，故 2 2A +3A11 4652530 . 性质 9.设r A=n-1 n n ,所以r A=1 ， 故A的特征根至少 n-1 个为 0.,设的另外 一个特征根为0，则有0=n-1trA = . 证明:由于r A=n-1 n n ，所以r A=1 ，故 A *的特征根至少 n-1 个为 0.设 A*的另 外一个特征根为0，则有0=n-1trA = . 例已知三阶矩阵 3 3 A() ijx a满足条件： （1） ijij aAij1 2 3（ ，），其中 ij A是 ij a的代数余子式 （2）0a11。求|A| 解由 条 件 （ 1) 和 性 质 2 知 ， T AA , 则 T2 |A | | A | | A | | A | ， 所 以 |A | 0| A | 1或.又 222 111112121n1n11121 |A | aa ALa AaaLa0， 故|A | 1. 性质 10.设 1 A， 2 A为 n 阶矩阵，A= 1 2 A0 0A ,则A= 12 21 A A0 0A A . 证明： 当 1 A， 2 A均可逆时，A知可逆，此时 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 11 -1 12 A = A AA A = 2 1 A -10 0A -1 = 12 21 A A0 0A A . 若 A1,A2至少一个不可逆时，可仿照以上性质的证明过程构造 1n A +xI ， 2n A +xI， 令其可逆进行证明. 例 已知 A 和 B 均为 n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为A和B，分块矩阵 A O C= O B ，求 C 的伴随矩阵C 解 CC =C C= C E -1 1 -1-1 -1-1 AO AOA B AOAO C = C C =A B= OB OBOA BBOB . 2.3 某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质 2.3.1 对称矩阵 若是A可逆的对称矩阵，则它的伴随矩阵A也是可逆的对称矩阵 a. 已知数量矩阵KE K0，它的伴随矩阵也是数量矩阵； b. 若对角矩阵A是可逆的，则它的伴随矩阵A也是对角矩阵 2.3.2 上（下）三角矩阵 若A是上（下）三角矩阵，且A是可逆的，则A也是上（下）三角矩阵 例 设 112 A= 031 001 ，故A =3，所以A是可逆的， 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 12 112131 122232 132333 AAA A = AAA= AAA 112 A= 031 001 所以A是可逆的，且为上三角矩阵. 2.2.3 正定和半正定矩阵 1当 n 阶实矩阵A是半正定时，则它的伴随矩阵A 也是半正定的. 证 明由 于A是 半 正 定 的 ， 因 此 存 在 实 矩 阵C， 使 T A=C C， 从 而 T TTT A = C CCC=CC=P P ， 其中 T P= C， 即有实矩阵 P， 使得 T A =P P 所以A也是半正定的. 2当 n 阶实矩阵A是正定矩阵时，则它的伴随矩阵A 也是正定矩阵 证明由于矩阵A是正定的，从而可知存在可逆矩阵T，使 T T AT=E， 所以 T TT T AT=T AT=T AT=E =E ，即有 T T AT=E ，所以A也是正 定矩阵. 2.2.4 正交矩阵 当 n 阶矩阵 A 为正交矩阵时，则其伴随矩阵A也为正交矩阵. 证明由于 A 为正交矩阵，从而可知， T A A=E,A =1,而AA = A E ，所以 -1-1 A =AA =A ，而 TT -1-1 AA =AA=E ， 故A也是正交矩阵. 例 设正交矩阵 A= 11 22 11 22 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 13 解：易算 11 - 22 A = 11 - 22 ，从而可算的 T AA=E ，即A也为正交矩阵. 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 14 谢 辞 从论文选题到搜集资料，从写稿到反复修改，期间经历了喜悦、聒噪、痛苦 和彷徨，在写作论文的过程中心情是如此复杂。如今，伴随着这篇毕业论文的最 终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感。那种感觉就宛如在一 场盛大的颁奖晚会上，我在晚会现场看着其他人一个接着一个上台领奖，