电磁学_之矢量分析与场论基础.ppt

一、矢量及运算,单位矢量：模为1的矢量。,零矢量：模为0的矢量，零矢量的方向可看成任意。,自由矢量：只考虑方向和模的大小，与起点无关的矢量。,1. 常见的矢量,2 .矢量之间的夹角,规定两矢量之间的夹角不超过p 。,规定零矢量与其它矢量之间的夹角可在0与p之间任意取值。,第一节 矢量基础,3. 矢量的投影,其中 为两矢量之间的夹角，相等的矢量在同一矢量上的投影相等。,定义： 在 的投影,性质：,4. 矢量的内积,定义：,性质：,直角坐标系下：,5. 矢量的外积,定义：,性质：,直角坐标系下：,方向： 以不超过p 的角度转向 ，右手螺旋定则判定。,6. 矢量的混合积,定义：,性质：,直角坐标系下：,7. 矢量的二重外积,定义：,性质：,8. 拉格朗日恒等式,二、曲面与曲线,1. 曲面方程,一般式：,参数式：,曲面上任一点m0处法线矢量的直角坐标为：,2. 曲线方程,一般式：,参数式：,曲线上任一点m0处切向矢量的直角坐标为：,三、场论,1. 场的概念：,在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。,按时变与时不变来划分，场可分为：时变场和静态场。,2. 标量场：,常用数性函数 来表示,标量场的等值面：,（由隐函数存在定理知道，在函数u 为单值，且各一阶偏导数存在、连续、不全为零时，等值面一定存在且互不相交）,3. 矢量场：,常用矢性函数 来表示,矢量场的矢量线：曲线上每一点处都与对应于该点的场矢量相切。,（由微分方程的存在定理可知，当函数p、q、r 为单值、连续且有一阶连续偏导数时，矢量线存在，且充满了矢量场所在的空间，矢量线之间互不相交）,矢量线的微分方程：,矢量面和矢量管：,4. 平行平面场：,平行平面矢量场：,a、场中所有的矢量都平行于某一平面p；,b、垂直于p的任一直线的所有点上，矢量的大小和方向都相同；,平行平面标量场：,垂直于场中某一直线l 的所有平行平面上，标量场的分布情况都相同。,第二节 场论中的常用场量,其中 为方向l 的方向余弦。,一、标量场的方向导数与梯度,1. 方向导数的定义,定理：若标量场 u=u(x,y,z) 在点m0处可微，则u在点m0沿任一方向l 的方向导数都存在，且有：,定义式：,：表示标量场 u，在点m0 ，沿方向l 函数值增加；, 表示标量场 u=u(x,y,z) 在点m0沿方向l，函数u 的增量,2. 关于方向导数几点说明,对距离|r |的变化率。,：表示标量场 u，在点m0 ，沿方向l 函数值减小。, ，表示标量场 u，在点m0 沿方向l ，函数值变化的,快慢。,3. 梯度的定义,标量场 u=u(x,y,z) 在某点处的梯度定义为：,在某点处，若沿l 的方向余弦为 ，则,(1)式表明：标量场 u在某点处，沿方向l 的方向导数就等于梯度在该方向上的投影。,又沿梯度方向的方向导数 这说明函数u沿梯度方向是增大的，梯度指向函数u增大的一方。,4. 梯度的性质,梯度的方向就是标量场u 在空间某点处变化率最大的方向，梯度的模是这个最大变化率的数值。,标量场u 在空间某点处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向标量场u 增大的一方。,标量场 u=u(x,y,z) 的等值面为：u(x,y,z)=c，在等值面上某点处切平面的法线方向为：,与标量场 u=u(x,y,z) 在该点处的梯度方向正好一致。,梯度是由标量场所产生的矢量场，通常又称为标量场所对应的梯度场。,梯度的基本运算公式：,（c 为常数）,几个特例：,在标量场 u=u(x,y,z)中,若恒有,若恒有,由(1)式可知：标量场 u=u(x,y,z)的等值面为平面，且其梯度矢量场为恒矢,正好是该平面的法向矢量，和性质的结论相符。,注释：,例：已知函数 ，试求其梯度。若x 轴到射线l 的转角,解：,为j ，求方向导数 。,若令 ，则有,( 为有向曲面微元ds 的单位法向),矢量场 沿空间有向曲面s 某一侧的曲面积分,二、矢量场的通量与散度,1. 矢量场的通量,叫做矢量场 向积分所沿一侧穿过曲面s 的通量。,矢量场的通量具有叠加性：即若 则有,注释：,若令有向曲面微元的法向方向余弦为,则有：,在空间区域v 上具有一阶连续偏导数，则有公式,矢量场中闭合曲面s 上通量的计算公式（高斯定理）,设空间区域v 是由分片光滑的闭曲面s 所围成，矢量场,这里的s 是v 的整个边界曲面的外侧。,由定义式 通量是一种标量。,通量的物理意义,根据通量的叠加性：当f 0时，表示矢量场 向正侧穿过曲面s 的通量向负侧穿过s 的通量。同理当f 0或f =0时，则表示向正侧穿过曲面s 的通量或沿负侧穿过s 的通量。,若s 为闭合曲面，则 其中 为曲面外侧法向,当f 0时，表示穿出闭合曲面的通量流入闭合曲面的通量，闭合曲面内部必有产生通量的正源(可能也有负源，但正源强度大)。,当f 0时，表示穿出闭合曲面的通量流入闭合曲面的通量，闭合曲面内部必有产生通量的负源(可能也有正源，但负源强度大)。,统称闭合曲面s 内部有源,当f =0时，表示闭合曲面s 内部可能既有正源又有负源，但两者恰好相互抵消。,总结： 从宏观上描述了矢量场 在闭合曲面s 内部， 场源的总强度。,2. 矢量场的散度,定义式：,(式中ds为包含m点在内的任一闭曲面， dv 表示ds 所包围的空间区域的体积),由中值定理以及偏导数的连续性可知：,由定义式可知 表示场中某点处所产生的通量对体积的变化率，它从微观的角度，描述了矢量场 在空间某点处源的强度。, 是由矢量场 所确定的一个标量场，又称为由矢量场,注释：,所产生的散度场。, 表示该点产生通量， 表示该点吸收通量。,在区域v 中，若有 ，则称矢量场 在区域v 中为无源场。,3. 散度的性质,高斯定理,由高斯定理可知，矢量场穿出闭合曲面s 的通量，等于s 所围区域v 内矢量场的散度在v 上的三重积分。,若在闭合曲面s 内处处有 ，则,若在矢量场 内某些点（或区域）上有 或 不存在，而在其他的点上都有 则穿出包围这些点（或区域）的任一闭合曲面的通量都相等，即为一常数。,s1,s2,s3,如右图所示，绿色区域为散度不为零或不存在的点或区域，则根据注释 可知：,（式中c 为常数）,散度的基本运算公式：,（c 为常数）,（u 为标量函数）,（ 为常矢）,三、矢量场的环量与旋度,( 为有向曲线微元dl 的单位切向),矢量场 沿场中某一闭合有向曲线l 的曲线积分,1. 矢量场的环量,叫做矢量场 按积分所取方向沿曲线l 的环量。,矢量场的环量为标量，若令有向曲线微元的切向方向余弦为,注释：,则有：,环量的计算公式（斯托克斯定理）,设l 为分段光滑的空间有向闭曲线，s 是以l 为边界的分片光滑的有向曲面，l 的正向与s 的侧符合右手 规则，矢量场,在包含曲面s 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有公式,令有向曲面微元ds 在正法向方向的方向余弦为,则有：,(式中ds是包含m点在内，且以 为法向的曲面面积， dl 是ds 的边界闭曲线，其正方向与 满足右手规则),2. 环量面密度,矢量场 在场中一点m 处，沿方向 的环量面密度定义为,由中值定理以及偏导数的连续性可得：,(由定义式可知，环量面密度就是矢量场 在场中一点m 处，沿方向 的环量对面积的变化率),3. 矢量场的旋度,矢量场 在某点处的旋度定义为：,在该点处，若 的方向余弦为 ，则在该点沿方向 的环量面密度,(1)式表明：矢量场 在某点处，沿方向 的环量面密度就等于旋度在该方向上的投影。上式又记为：,在给定点处，旋度的方向是矢量场最大环量面密度的方向，其模即为最大环量面密度的值，它在任一方向的投影，就给出该方向上的环流密度。, 是由矢量场 所确定的一个矢量场，又称为由矢量场,注释：,所产生的旋度场。,在区域v 中，若有 ，则称矢量场 在区域v 中为无旋场。, 从微分的角度，描述了矢量场 在空间某点处旋度源的强度。,4. 旋度的性质,斯托克斯定理,矢量场沿有向闭合曲线l 的环量，等于矢量场的旋度穿过由l 所围成的有向曲面s 的通量。,旋度的基本运算公式,（c 为常数）,（u 为标量函数）,（ 为常矢）,表明任何梯度场都是无旋场,表明任何旋度场都是无源场,表明 为梯度场,表明若 和 都是无旋场，则 为无源场,注释：,或表明若 和 都是梯度场，则 为无源场,第三节 几种重要的矢量场,一、有势场,1. 有势场的定义：,设有矢量场 ，若存在单值函数u=u(x,y,z) 满足,则称此矢量场为有势场，并称u 为这个场的势函数。,2. 有势场的性质：,有势场是一个梯度场。,有势场的势函数有无穷多个。,证明：,有势场的势函数有无穷多个,是某个函数的全微分”这四者彼此等价。,有势场的势函数之间只相差一个常数。,证明：,即有势场的势函数之间只相差一个常数。,在线单连域内，矢量场 为有势场的充要条件是 为无旋场。,在线单连域内，“场有势”、“场无旋”、“场保守”以及“表达式,证明：场有势,即矢量场 沿有向曲线的积分,与路径无关，矢量场 为保守场。,则根据矢量场 为保守场这一性质可得：,令,由此可知： ，即矢量场 有势。证毕!,二、管形场,1. 管形场的定义：,设有矢量场 ，若其散度 ，则称此矢量场为管形场，换言之，管形场就是无源场。,2. 管形场的性质：,设管形场所在空间区域为面单连域，则在管形场中，穿过同一矢量管的任意横断面的通量都相等。这个通量又称为此矢量管的强度。,在面单连域内，矢量场 为管形场的充要条件是：它为另一个矢量场 的旋度场。即有：,其中，矢量场 又称为矢量场 的矢势量。,管形场的矢势量有无穷多个。,设 ，标量函数j 具有二阶连续偏导数，则矢量场,亦为矢量场 的矢势量。,证明：,三、调和场,1. 调和场的定义：,矢量场 ，若恒有： 且 ，则称此矢量场为调和场。,2. 调和场的性质：,调和场的调和量为零。,( u=u(x,y,z)为标量场，则 称为标量场u的调和量),设矢量场 为调和场，则由 可知，存在标量场u使得,代入上式可得,平面调和场的共轭调和条件,第四节 哈密顿算子,一、常用的矢性微分算子,哈密顿算子：,拉普拉斯算子：,二、常用场量的算子表达式,三、场量的基本算式,（c 为常数）,（ 为常矢）,斯托克斯公式：,高斯公式：,格林第一公式：,格林第二公式：,特例：,第五节 坐标系,一、柱面坐标系,空间点坐标：,其中,空间体积微元：,空间有向曲线：,圆柱坐标系中的场量公式：,空间有向曲面：,二、球面坐标系,空间点坐标：,其中,空间体积微元：,空间有向曲线：,空间有向曲面：,球面坐标系中的场量公式：,例：设s为区域w的边界曲面， 为s的单位外法矢，若 和 在w中满足,证明在w中有,证明：设,由格林第一公式：,令u=f 代入上式：,即：,第五节 亥姆霍兹定理,一、矢量场的特性,可见，源是矢量场产生的原因。,矢量场 的特性取决于其散度和旋度：,用于描述 某点处的通量源的强度(通量源密度),用于描述某点处环量源最大的方向和最大模(旋涡源密度),定理表述：在空间有限区域v 内的任一个矢量场 ，若已知它的散度、旋度和边界条件(即限定区域v 的闭合曲面s 上矢量场的分布)，则该矢量场就被唯一确定下来。,该定理说明：空间中任一矢量场均可分解成一个无旋场分量和一个无散场分量之和，即,二、亥姆霍兹定理,可见，研究一个矢量场的性质时，需要从矢量场的散度、旋度以及边界条件入手，根据亥姆霍兹定理矢量场 一定有：,特例：如果产生矢量场的源(通量源或旋涡源)分布于有限空间，则在无限远处的矢量场必定为零，因此，仅由其该矢量场的散度和旋度即可唯一地确定其在整个空间的分布(实际上，在这种情况下的边界条件是已知的，即无穷远处的场等于零)。,1. 电场强度的定义：,点电荷的电场力：,点电荷的场强： (其中点电荷q位于坐标原点),点电荷的场强具有叠加性 连续分布电荷的场强表示式,常见带电体的场强表示式,2.,点电荷电场的旋度：,(电荷所在位置除外),场无旋 场保守 场有势,3.,(结论：静电场是无旋场),4. 电位函数的引入：,点电荷的电位：,点电荷的电位具有叠加性 连续分布电荷的电位表示式,电位的算式及物理意义：,5.,真空中静电场的高斯定理：,真空中静电场的散度：,1.,(结论：静电场是有源场),点电荷电场的通量与散度：,(点电荷所在位置除外),(结论：点电荷电场(点电荷位置除外)是调和场),电介质中的高斯定理：,电位移矢量：,2.,介质各向同性时,电介质的极化现象：,电位移矢量的散度：,d 线与e 线的特征：,静电场中导体的特点,导体1与介质2的电场衔接条件：,3. 导体表面的边界条件：,4. 介质1与介质2分