大学论文浅谈数学模型在经济学中的应用

分 类 号： TP391 学号：12345678910浅谈数学模型在经济学中的应用 摘 要如今已经进入了21世纪，随着社会在不断的进步，数学受到了更多的重视，生活中我们也将有更多的地方涉及到数学，因此数学模型也得到了更多人的重视.在现在的生产生活中，数学模型被应用到方方面面，决策者根据数学建模提供的准确的数据做出正确的结论，并且能够某些工作做具体的指导，例如怎样才能减少浪费，从而获得更多的收入，提高效率；数学模型也可以即将发生的事物进行想象，因此大大的推进了科技水平的不断进步.本文主要是写在哪些方面我们应用到了数学模型，次要研究了数学模型在日常生活中的应用,例如洗衣机的节水模型，如何用水能使得水量用的最少，衣服还能洗得最干净，同时还研究了如何进行产出和销售，从而获得最大的利润；在本文中我们讨论的问题都是和我们的日常生活联系的非常密切的，这些问题将对提高我们的生产、生活起到至关重要的作用.关键词：数学模型 生活 经济范畴 IIIAbstractNow we have entered the 21st century, along with the progress of the society in constant, the mathematical also unceasing development, the mathematics will be placed in more places in our life, so the mathematical model has been paid more attention. In the current production life, Mathematical model is applied widely, policymakers according to mathematical modeling to provide accurate data to make the right conclusion, and be able to do some work of specific guidance, such as how to reduce spending, reduce the cost, to gain the biggest profit; Mathematical model can forecast the future, thus greatly push forward the development of science and technology. This article is mainly written in which economic field we have applied to mathematical model, we applied to the secondary research the application of mathematical model in the daily life, such as washing machine water saving model, how to use the minimum water can make water, the height of the clothes can wash clean, also studied how to carry out production and sales, to obtain the biggest profit; In this article, we discuss the problems are related to our daily life is very close, these problems will be to improve our production, the life play a crucial role.Key words: Mathematical modeling Economic category Life 目 录摘 要IIAbstractIII第一章 关于数学建模的基础内容11.1形成数学建模的主要途径11.2 数学建模中常规的手段21.3 数学建模的主要特点21.4 学习数学建模中应该思考的问题3第二章 常见的数学经济建模的一般理念42.1创建数学经济模型的常见过程42.2 建立数学经济模型时应当履行的必要规则52.3 在构建数学经济模型时应当关注的条件5第三章 捕鱼问题中的数学模型73.1 怎样组建最好的捕鱼方法7第四章 关于优化模型的使用114.1经济生产问题中的数学模型114.2 洗衣机节水问题中的优化模型12致 谢14结束语15参考文献16长春师范大学本科毕业论文（设计）原创性声明17长春师范大学本科毕业论文（设计）版权使用授权书17第一章 关于数学建模的基础内容数学模型是指生产生活中的某个固定的事物，我们为了达到某种要求，依据其规律，进而找到合适的工具，建立一个数字模型.数学模型的应用也越来越广泛，例如捕鱼问题中的数学模型，根据数学模型找出最优捕鱼策略，投资规划中的数学模型，本章主要讨论数学模型的基础内容.1.1形成数学建模的主要途径 建立数学模型时，我们通常是用数字表达的方式和方法去大致的描述现实情况，因此建立数学模型时通常是：首先构建一个数学模型，然后对所构建的数学模型进行求解，再对所求的结果进行分析并作出适当的检验. (1) 组建适当的数学模型根据构建的事物找出适当的需要解决的内容，再根据问题选择适合的过程，作出合理的假设，最后用数学符号表示出来. (2) 数学模型的求解 就是运用所选择的数学方法求解数学模型，现今特别是利用数学软件和计算机技术,常用的软件有Maple、Mathematica等计算机代数系统,MATLAB、LINGO等数值计算软件等; (3) 解析所构建的数学模型 是指用数学的方法对所求的结果进行分析,例如对结果中关于误差的分析、数据灵敏程度的分析等;(4) 检验所建立的数学模型 用实际问题把求解和分析的结果表示出来，再把结果和实际的现象、数据进行比较,进而能够检验出模型的是否合理和实用；1.2数学建模中常规的手段解决相同的问题，每个人对同一个事物的认知程度是不一样的，所构建建模的目标不同，有以下几种常见的建模方法：(1) 机理分析和测试分析两种手段 对所要研究对象的认识程度和建模的目标不同决定我们用哪种方法，在一般情况下，我们采取它们组合在一起的方式，模型的结构一般采用机理分析的方法来决定，模型参数一般采用测试分析的方法来决定(2) 由低级到高级和由高级到低级(3) 利用连续发展和扩散变化的手段(4) 相似比较手段的应用 就是把新的研究对象与另一个已经建立数学模型并且已经得到解决的研究对象进行类比，比较两者之间的不同和相似之处，进而找到合适的数学方法，合适的数学模型.1.3数学建模的主要特点 数学建模的使用性是特别强的，因此它具备一定特征：(1) 应用到很多的方面，这些领域在生活中是非常常见的，例如我们在学校期间学到的物理、生物，生活中常接触到的医用领域、体育运动，我们时刻关注的金融、军事方面等，这些内容都是和我们的生活有很大的联系的.(2) 需要多方面的能力配合在一起，例如需要查询一些书籍、互联网和各种数学软件的使用等等.(3) 数学模型的组建和我们平时做一道数学计算题是不同的，我们计算的数学题的正确答案通常只有一个，然而数学建模是不是只有一个的确定答案.对于同一个问题，可能有多种不同的模型，也没有对错之分，评价模型的好与坏的标准是实践的优劣.(4) 各个模型的目标不一样，模型的样式也就不一样.对与相同的实际事物，建模应该注重什么内容和像哪个方向发展是由我们要达到什么目标决定的. 为了把数学建模这个工作做的更好，不仅要不断地思考、钻研、分析别人的结果，还需要实践做一些具体的项目.1.4学习数学建模中应该思考的问题(1) 我们每个人都应该对数学的重要性有深刻的体会，不仅要体现在对数学知识的实际应用方面,更重要的是注重培养数学的思维方法,例如思考问题的方式,所运用的数学方法及处理技巧等,特别应致力于培养翻译能力2;(2) 关于提高实践能力，自主学习的水平,查阅资料的水平，对互联网的应用能力和与其他人的沟通能力都属于实践能力,特别应该注意提高文字表答的准确性和简明性;针对所研发的内容，追随时代潮流的、可以利用的理论依据.(3) 在数学建模构建时，我们要敢于扫除一切障碍,解除不良因素.因为数学建模是一门非常需要深度研究的难度较大的学科,它对人的思维有很高的要求，因此在解题过程中找不到方向是非常正常的现象，我们要充满信心.2第二章 常见的数学经济建模的一般理念2.1创建数学经济模型的常见过程 (1) 模型准备阶段 首先我们要深入了解实际经济问题以及与问题有关的背景知识,进而对现实经济现象及原始背景进行细致及周密的调查,以获取大量的有效的数据资料,并对数据资料进行加工分析、分组整理; (2) 对所建立的模型进行假设 对所要构建的模型进行假设，使得这个实际问题更简单，找出影响该问题的各个因素，并且用数量和参数把这些可能的原因表示出来，标示出重要的影响原因，不计一般的影响原因，从而把最初需要解决的内容简化成一个理想的模型. (3) 模型的建立阶段 进行假设之后,利用已经了解的经济信息，使用合适的数学工具把变量之间的关系准确的测量出来,这样我们又把理想的自然模型变成了常见的数学研究性的题材经济数学模型3; (4) 利用所建立的模型进行计算 利用已有的数学内容和得到的数据,再根据与之有关联的知识原理，找出适合的方法,进而把模型中的各个参数值求解出来; (5) 对所建立的模型进行分析比较 对模型计算之后,把所得到的结果和实际观测到的结果进行对比分析,例如这个解反应了什么问题，蕴含了哪些含义，能否达到我们预计的效果和影响.从实际问题出发,用最初模型的专业语言确切的表示所得到的结果. (6) 模型检测 把模型的分析结果与实际的经济问题进行比较,考察所得的模型是否符合问题实际,以此来验证模型的准确性、合理性和实用性.假如模型呈现出的内容和实际情况大致相似，我们可以用它来对现实情况进行的分析与预测；如果所建立的模型与实际观测结果不一致，差距比较大，那么我们应该对模型进行改正，首先找出所存在的问题，并根据实际情况对模型进行修改，之后再重复之前的过程，不断地找出问题进行改进，直到这个模型经过检验符合实际情况为止.我们要想建立一个合格的数学模型，必须从实际出发，不断地改进，直到符合实际问题为止.2.2 建立数学经济模型时应当履行的必要规则 (1) 假设性原则 假设这个条件适合某个数学模型,我们运用的任何理论都是有条件的，那么就要求我们从所有可能的因素中找出重要原因，把次要的原因去掉，再做出假设，使得这个假想与现实情况最邻近，再根据我们所作出的假设作出最初的推论，然后我们再把假想的内容也就是令可能性再多些，令因素复杂些，从而简单的经济模型与实际的经济更接近.(2) 最优化原则 我们可以从不同的方向来思考最优化原则:一是使各种经济之间的变化的数量达到一定的平衡的状态,从而使产生的结果达到最好的状态;其次是在无约束条件下，极值存在，达到效率最优、资源配置最佳、消费效用或利润的最大化4(3) 平衡性原则 如果我们在所要表示的内容是在函数关系中，由几个未知量来一起限制变化的值,这不仅仅只是表示未知数的变化趋势,而是代表在整个模型中所有特殊的点,并且使此点在这个运动体系中一致变化.(4) 数字、形、公式三者相结合的原则 数是指数量的大小,形是指数量的总体,公式则体现了变量之间的关系,他们三者是紧密联系在一起的；(5) 抽象思维与概括思维的主要规则 抽象思维是指把连续变化的现象与它的本质紧密的联系在一起;概括是把经济问题的各个方向进行比较并且分析,从而更准确的了解其本质,掌握各个问题之间的密切联系.2.3在构建数学经济模型时应当关注的条件 (1)我们首先应该对我们将要构建的经济事情作出细致的分析,并且应该作出一定的规划.分析其经济问题运行的规律并从中获取相关的信息与数据,明确各经济变量之间的关系.如果提出的前提条件不太合理,为了明确问题，我们需要设定合适的假想，使解答更便捷化；(2) 对确定数学建模的目标也是非常重要的.因为每个建模的目标都是不一样的，那么目标不同，所以所建立的模型5也会有很多不同的地方.我们可以利用数学建模来预测某种经济现象是否会发生，并且可能以怎样的趋势去发展；(3) 在经济问题中，我们能够对可量化的问题进行详细的分析并且建立合适的数学模型，但是对于不可量化的现象，我们是不能构造具体的模型，因此也不能对此进行详细的分析.(4) 数学模型包括不同的种类，在求解过程中所用到的基础知识也不同,因此在组建数学模型时，我们要尽量选择自己比较熟悉的知识.(5) 构建数学模型时，我们需要得到一些数据，为了得到这些数据，我们需要去调查来搜索这些信息，但是这些只能作为一个参考依据，它只能对经济现象作出小小的的描述，所得到的数据也只能起到参考的作用. (6)建立数学模型后，我们要利用此经济数学模型6来解释此模型的经济现象,需要考虑可能在某种条件下，主要因素可能是某个次要因数转变过来的.第三章 捕鱼问题中的数学模型3.1 怎样组建最好的捕鱼方法 (1) 提出将要解决的问题假设我们把这种鱼分成四个年龄不同的组,分别称为1龄鱼、2龄鱼、3龄鱼和4龄鱼,各个年龄组每条鱼重量分别为,并且各个年龄组的自然死亡率都均为,这种鱼的种类为季节性集中产卵繁殖的鱼,一条4龄鱼的平均产卵量为（个）,3龄鱼的平均产卵量为（个）,而1龄鱼和2龄鱼都不产卵,他们产卵期和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼, 假若1龄鱼条数鱼产卵总量,那么成活率为.我国的渔业有以下条约，我们只能在一年的产软孵化的前8个月进行捕鱼工作，其他时间是不可以采取捕捞的，假设每一年撒入的船鱼数、撒网的次数都是定值，那么在一定的时间内，打捞鱼的总数量应该与各个年龄组的鱼的条数同步变化，我们将这个比例系数也就是这个定值成为捕捞强度，对于3和4龄的鱼我们都使用的网进行打捞，这两种鱼此时的强度系数值为，通常把此系数成为国定努力量捕捞. 建成适当的数学模型,不仅达到可持续捕捞，还能创造最高的收入. 公司向外承包规定时间为5年，并且在这5年期间，不能进行大量的捕捞，破坏鱼的生态平衡，此时每个年龄鱼的数量是: 为了捕到更多的鱼，该公司应该怎样进行捕捞呢？ 人类与大自然的联系是非常密切的，由于人类的过度开发，一些物种在不断的减少有的甚至灭绝，这与人类的行为是分不开的，资源的减少也将对人类的生产生活有很大的影响，渔业属于可以再生的能源，因此进行打捞时我们要格外的小心，不仅要获得最大的捕捞量，产生较大的利润，也要考虑其再生能力，因此根据题意，我们采取以下捕捞方式:根据鱼的年龄不同，我们把它分为组,他们的平均体重分别为 ,但是这四组的自然死亡率是相同的都为;每个年龄段鱼的数量是有规律的变动的,在每一年的开始各个龄鱼的数量都是不变的,我们把时间设为这一区间,根据题意我们能够得出鱼的捕鱼期应该为,在每年的年末，之前未成活的鱼苗变成了1龄鱼,同理可得4龄段鱼一般会在年尾时死亡；每个龄鱼的繁殖规律是一样的,他们都集中在每年的9月初产卵,那么龄鱼产卵的个数分别为和,此时成活率是,为卵子的总量确定捕捞方式,我们仅对成熟的3龄鱼和4龄鱼进行捕捞,此时的捕捞强度的系数应该为和（此时把称为优化参数）(2) 剖析所要解决的问题现在我们设某一年龄段的鱼的总个数为,设捕捞强度的系数为,我们设捕捞区间设为,规定. 设自然死去的概率是 表示的是在没有任何捕捞的条件下,在一定的时间内鱼死亡的总数与此时总量的 比值,即 . （1） 其中,为.设, 此方程组的解为,即活着的概率应该为. 假设存在着捕捞设死亡率是,则,上式可以变化成 , （2）从而其解为,并得出.(3)设以下5种前提条件：仅仅是在封闭的水中的鱼的年龄特征的模型；把死亡规定为瞬间并且是接连变化的过程; 每个年龄段的鱼的总量是不间断的，则： . 生产的规律和固定努力量都是和采取之前叙述的方法捕捞；我们设为龄段的鱼在时的数量,同时令初值为;为龄段的鱼在时被捕捞的数量;为龄段的鱼的捕捞强度的系数;为捕捞鱼的总的个数.(4) 组建恰当的数学模型 假设有打捞情况设,则龄段鱼的死亡的槪率应该为,从而由上式得 .得到.由于 . 故.则,上式能够变换成,因此接下来的周期内1龄鱼存活的数量应该为,此时.存在可以持续捕捞由于各个周期都是不变的,并且是连续的,因此有 .所以有,进而由式(3.1.3)得,则.如果能够使得存在并且使达到最大的值,就能够确定每个年龄段的鱼达到最好的状态.(5)对上述模型进行求解 首先得到收获的总量:因为在内第龄鱼打捞的总量应该为,因此我们能够得出每一年打捞的总的数量应该为.打捞的鱼的总数.所以此数学模型的解应该是：3龄鱼的捕捞的强度的结果为打捞的概率应该为.4龄鱼的捕捞的强度的结果为打捞的概率应该为.可以一直打捞的最大的量应该为38.79万吨,因此能够得到每个龄段的鱼的分布应该为：.从生态平衡或资源保护的观点出发,可以设置捕捞强度的上限,或者采取从小到大的不等的年捕捞强度的方式,使最后一年的鱼量接近稳定鱼量.第四章 关于优化模型的使用4.1经济生产问题中的数学模型 某电子厂家计划设计两种产品:两种计算机使用相同的微处理芯片,但一种是使用的显示屏是25英寸的,同样另外一种计算机的显示屏是33英寸,每种计算机都有50000的固定费用相同,每台25英寸显示屏的计算机还额外花费1950美元,每台33英寸的计算机还需要额外花费2250美元.根据成本价，厂家提议25英寸的计算机每台的零售的价钱应该为3490美元,另外一种也就是33英寸的零售价格为每台3990美元.销售预测,在竞争激烈的销售电子产品, 只要多卖出一台计算机,它就下降0.1美元.同时,他们热卖情况也彼此有关系:每卖出一台33英寸显示器,25英寸的零售价可能下降0.03美元; 只要25英寸的卖出一台,另外一种的价格可能下降0.04美元.我们假设制造的所有计算机都可以售出,想要赚取更多的利润，这个电子厂商该怎么生产？这道题的目标是得到更大的利润,那么该如何进行制造呢？.即25英寸显示屏的计算机该生产多少台，33英寸的又该生产多少台.两个条件限制决策: 每多售出一台任意一种类型的计算机,它的价格就下降0.1美元;两类计算机的出售情况彼此影响 假如制造25英寸的显示屏台,则33英寸的显示屏的共制造台; 为出售的价钱,为计算机卖的总的钱数,为计算机的费用,为计算机零售的利润和;所有的计算机都能够卖出; 两种计算机出售的价格彼此影响,当确定他们的台数时，零售价格也因此被确定.(3) 构造模型限制条件: .销售的总钱数:.总费用:.于是,所赚取的钱数应为：.(4)求解由于目标函数是非线性方程,所以我们将该模型输入软件求解.答案为:.即25英寸的电子产品制造了4736台, 33英寸的电子产品制造7063台获得的获利最大.4.2 洗衣机节水问题中的优化模型 我们每个人都在追求生活的质量,那么怎样安排才能使生活既舒适又合理呢? 例 由于淡水资源的短缺及洗衣机的普及,节约洗衣机用水变得十分重要,在放人衣物及洗涤剂后洗衣机的运行程序假设为:加水漂洗脱水,我们应该怎样设计洗衣机的程序,才能使总用水量一定并且洗涤效果最好. 解 我们设没洗之前衣服上的脏的物质为克,洗了轮，脏的东西此时为克,经过任何一轮脱水,留在衣服上的水为,同时第轮使用千克水,在经过一遍放水，克脏的物质均匀分布在的水中,所以,残留的污物量