大学物理振动教案.pdf

第九章第九章 振动振动 9-1 9-1 简谐运动简谐运动 9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量 9-3 9-3 单摆和复摆单摆和复摆 9-4 9-4 简谐运动的能量简谐运动的能量 本章目录本章目录 9-5 9-5 简谐运动的合成简谐运动的合成 物体或物体的某一部分在一定位置物体或物体的某一部分在一定位置 附近附近来回往复来回往复的运动的运动 实例实例: 心脏的跳动心脏的跳动， 钟摆钟摆，乐器乐器， 地震等地震等 平衡位置平衡位置 机械振动机械振动 如交流电如交流电, 电磁波等电磁波等. 物理上将物理量在某一数值附近作周期性的变化物理上将物理量在某一数值附近作周期性的变化. 简谐运动简谐运动 最简单最简单、最基本的振动最基本的振动 谐振子谐振子 作简谐运动的物体作简谐运动的物体 简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动 合成合成 分解分解 振动振动 m k 2 令令 弹簧振子的运动分析弹簧振子的运动分析 x t x 2 2 2 d d kxma )cos(tAx 简谐运动方程简谐运动方程 简谐运动的微分方程简谐运动的微分方程 x m k t x 2 2 d d m k 2 令令 弹簧振子的运动分析弹簧振子的运动分析 x t x 2 2 2 d d kxma )cos(tAx 简谐运动方程简谐运动方程 简谐运动的微分方程简谐运动的微分方程 5. 一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐 振动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上如 图，试判断下面哪种情况是正确的： (A) 竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作 简谐振动； (B) 竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作 简谐振动； (C) 两种情况都可作简谐振动； (D) 两种情况都不能作简谐振动。 m k 2 令令 弹簧振子的运动分析弹簧振子的运动分析 x t x 2 2 2 d d kxma )cos(tAx 简谐运动方程简谐运动方程 简谐运动的微分方程简谐运动的微分方程 ; ; 0, 2/ 0 求初相位 且速度 在初始时刻的位移 已知作简谐运动的物体 Ax x v o / 18 )cos(tAx )cos(tAx由由 得得)sin( d d tA t x v cos 0 Ax sin 0 Av )arctan( )( 0 0 2 0 2 0 x xA v v 00 0 =时时，v vtxx )cos(tAx st/ P 已知某振动质点的已知某振动质点的x-t 曲线曲线 如图所示如图所示,试求试求: (1) 运动方程运动方程; (2) 点点 P对应的相位对应的相位; (3) 到达点到达点P相应位置所需时间相应位置所需时间. tx 图图 0 . 1 mx/ st/ 2 . 0 o 1 . 0 P / 18 )cos(tAx 0取取 2 T tx 图图 tv图图 ta 图图 T A A 2 A 2 A x v a t t t A A o o o T )cos(tAx 0取取 2 T ) 2 cos(tA )sin(tAv )cos( 2 tA )cos( 2 tAa T )cos(tAx xo cos 0 Ax 0t 0 x 旋转矢量旋转矢量 A o tt t )cos(tAx x A )cos( 2 tAa A m v )sin(tAv 2 n Aa ) 2 cos( tAv )cos( 2 tAa 2 t m v v x y O A t )cos(tAx n a a )cos(tAx )cos( 2 tAa ) 2 cos( tAv A t 简谐简谐振动振动 x y O A t )cos(tAx n a a 角速度角速度 半径半径 t 时刻位矢与时刻位矢与x 轴正向的夹角轴正向的夹角 质点的质点的位矢位矢在在x 轴轴方向的投影方向的投影 质点的质点的速度速度在在x 轴轴方向的投影方向的投影 质点的质点的加速度加速度在在x 轴轴方向的投影方向的投影 旋转矢量旋转矢量 )cos(tAx ) 2 cos( tAv A t 简谐简谐振动振动 2 t m v v x y O A t )cos(tAx n a a 位矢的长度位矢的长度 t 时刻位矢与时刻位矢与x 轴正向的夹角轴正向的夹角 位矢位矢在在x 轴轴方向的投影方向的投影 位矢端点的位矢端点的速度速度在在x 轴轴方向的投影方向的投影 旋转矢量旋转矢量 A x O 用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx ，求初相。、拉到 求初相位 且速度 的位移 的物体在初始时刻 、已知作简谐运动 A2 ; ; 0 , 0 1 0 x x v o A A x T 2 T t o / 18 ; ; 0, 2/ 0 求初相位 且速度 在初始时刻的位移 已知作简谐运动的物体 Ax x v o / 18 已知某振动质点的已知某振动质点的x-t 曲线曲线 如图所示如图所示,试求试求: (1) 运动方程运动方程; (2) 点点 P对应的相位对应的相位; (3) 到达点到达点P相应位置所需时间相应位置所需时间. tx 图图 0 . 1 mx/ st/ 2 . 0 o 1 . 0 P / 18 两个两个同频率同频率振动的振动的相位关系相位关系 )cos( 111 tAx)cos( 222 tAx 12 相位差相位差 两个振动两个振动 21 ()()tt 1. 超前和落后超前和落后 t x x1 x2 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后 ) 1 A 2 A xO O 2. 同相和反相同相和反相 = 2k 两振动步调相同两振动步调相同, 称同相称同相 x t o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T = (2k+1) 两振动步调相反两振动步调相反 ,称反相称反相 x2 T x o A1 -A1 A2 - A2 x1 t 1 A 2 A x O 1 A 2 A x O cos0A )( 2 0sin 0 Av 0sin即 ; ; 0, 0 0 求初相位 且速度在初始时刻的位移已知作简谐运动的物体x 例例 1 x v o A A x T 2 T t o 解解: 设物体的位移随时间的变化为设物体的位移随时间的变化为 )cos(tAx 由初始条件由初始条件t=0 时时x0=0得得 得由)sin(tAv 取取 2 ) 2 cos(tAx 物体的位移与时间的关系为物体的位移与时间的关系为 / 18 附录附录：仅做参考仅做参考 解解: (1) 求运动方程求运动方程 设质点振动的运动方程为设质点振动的运动方程为 ; 0, 0 v即向正向运动由图可见质点初始时刻 )cos(tAx 例例2 已知某振动质点的已知某振动质点的x-t 曲线如图所示曲线如图所示,试求试求: (1) 运动方程运动方程; (2) 点点 P对应的相位对应的相位; (3) 到达点到达点P相应位置所需时间相应位置所需时间. tx 图图 0 . 4 mx/ st / 1 . 0 o 05. 0 P 初始时刻初始时刻(t=0)质点的位移为质点的位移为x=0.05m; 代入运动方程得代入运动方程得, 由图可知由图可知, 质点的振幅为质点的振幅为 A=0.1 m; cos1 . 005. 0 3 5 . 0cos 3 由此得, 0sin)sin(AtA 0 vv得因此由 / 18 1) 324 5 cos() 324 5 cos(1 . 01 . 0 tt ) 3 4cos(1 . 00 代入运动方程得代入运动方程得 tx 图图 0 . 4 mx/ st / 1 . 0 o 05. 0 P 另一方面另一方面,由图可知由图可知, 当当t=4.0时时, 质点的位移质点的位移x=0 代入运动方程得点的位移为, 1 . 0xP 23 40) 3 4cos( 即 由此求得由此求得, 24 5 6 5 4 因此因此, 质点质点振动的运动方程振动的运动方程为为 ) 324 5 cos(1 . 0 t x (2) 求求P点的相位点的相位 )(6 . 1 15 2