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复变函数与积分变换 课程综合测试3一、填空题（每题3分，共15分）1复数的三角形式是 ；2积分= 0 ；3级数的收敛半径R= ；4设的傅里叶变换是，根据傅里叶变换的性质(1) 的傅里叶变换是其中t0R.； (2) 的傅里叶变换是； 5是函数sin的孤立奇点，它属于 本性奇点 类型，Ressin,2= 1 。二、选择题（每题3分，共15分）1复数所对应的点在（ D ）（A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限2设，则（ A ） （A）（B） （C）（D）3设C为正向圆周|z|=1，则积分等于（ A ） （A）0（B） （C）（D）4复积分的值是 ( B )（A）（B）（C）（D）5若为解析函数，则（ C ）（A）（B）（C）（C）三、计算题1解方程。解：。的四个方根分别是 ，。即，。2讨论函数的可导性，并在可导点处求其导数。解：，。由，。，在全平面上处处连续，根据柯西黎曼条件，有得。则只在处可导，且导数为。3设C为正向圆周，计算积分I=。解：令在内部及曲线上解析，根据柯西积分定理，知道该积分为零。4用留数计算积分C为正向圆周。解：被积函数在圆周内部只有一个二级极点。根据留数定理，。5求函数的全部孤立奇点. 若为极点，则指出其阶数。解：为二级极点，是分母的一级极点，故（其中为整数）为一级极点。6将函数展开为泰勒级数。解：，而，。所以，。7将函数在圆环域内展开为罗朗级数。解：，从而，。8求函数的傅里叶变换。解：的傅里叶变换是，的傅里叶变换是。因为，所以的傅里叶变换为。9利用拉氏变换解常微分方程的初值问题。解：两边取拉氏变换可得：。而，所以有。10（6分）给定积分。试就下列不同情形，写出此积分的值：(1) C为正向圆周， (2) C为正向圆周|, (3) C为正向圆周。解：在整个复平面上只有两个奇点：和。（1）C为正向圆周，只有奇点在圆周的内部，根据柯西积分公式或应用留数定理得。(2) C为正向圆周，只有奇点在圆周的内部，根据柯西高阶
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