邢祖礼高级微观经济学课后习题答案及.pdf

高级微观经济学知识点及课后习题 Section 1: 经济模型与基本数学知识 一一、经济模型的性质、经济模型的性质 1、抽象性。从复杂的经济现象中抽象成简单结构，如马歇尔的剪刀模型。 2、逻辑性。分为两类，其一是演绎逻辑，即从前提条件到推论的逻辑链条，纵向展开。一 般而言，理论的逻辑链条越长，这个理论所涉及的问题越体现出深刻性，问题也越具有分析 价值；第二，归纳逻辑，也称历史方法，认为科学的经济学应该主要来源于对历史经验的归 纳总结。在模型的构造过程中，演绎和归纳具有各自不同的地位和作用，在选择模型构造的 过程中， 应该依赖对经验事实和归纳和总结提出关键性假设， 并利用演绎法将材料统一在一 个有机的理论框架中，两者相辅相成，最终形成具有普遍解释力的经济模型。 3、可检验性。经济模型应该具有可检验性。对经济模型的检验一般有两种方法，其一是直 接法，即对假设前提是否成立的检验；第二是间接法，对模型的推论和含义进行减压，也即 对模型的预测能力进行检验。 二、二、基本数学知识基本数学知识 1、最优化 （1）一元函数 =f q 2 2 2 2 0 0 0 0 df qd f q dqdq df qd f q dqdq and 极大值，凹函数 and 极小值，凸函数 （2）二元函数 12 ,uf x x 1） 12 1 12 2 , 0 , 0 f x x x f x x x 最优化一阶条件 2） 11 12 2 112212 0 0 0 f f f ff 凹性，凹函数 3） 22 1121212221 20 fff f fff拟凹性，拟凹函数 2、隐函数： ,/ ,0 ,/ f x yxdy f x y dxf x yy 3、包络定理：,yf x a a为参数，对于不同的a值，会有不同的x的最优选择，也即： ,yf x af x aa 对上式两边求微分可得： ,f x aaf x aax a dy daf xaa 因为 x a是能使得f最大化的x值，因此有： , 0 f x aa f x 从而： , x x a f x aa dy daa 三三、课后习题、课后习题 1.1 经济模型的性质是什么？ 答：经济模型具有三大性质，分别为抽象性、逻辑性和可检验性。 （1）抽象性。从复杂的经济现象中抽象成简单结构，如马歇尔的剪刀模型。 （2）逻辑性。分为两类，其一是演绎逻辑，即从前提条件到推论的逻辑链条，纵向展开。 一般而言，理论的逻辑链条越长，这个理论所涉及的问题越体现出深刻性，问题也越具有分 析价值；第二，归纳逻辑，也称历史方法，认为科学的经济学应该主要来源于对历史经验的 归纳总结。在模型的构造过程中，演绎和归纳具有各自不同的地位和作用，在选择模型构造 的过程中， 应该依赖对经验事实和归纳和总结提出关键性假设， 并利用演绎法将材料统一在 一个有机的理论框架中，两者相辅相成，最终形成具有普遍解释力的经济模型。 （3）可检验性。经济模型应该具有可检验性。对经济模型的检验一般有两种方法，其一是 直接法，即对假设前提是否成立的检验；第二是间接法，对模型的推论和含义进行减压，也 即对模型的预测能力进行检验。 1.2 在写作经济论文的过程中你会如何处理经验事实与理论模型的关系？ 答：要正确认识经验事实与理论模型之间的关系。第一，我们必须认识到，在建立经济模型 的过程中，为了抓住问题的主要方面或者核心特征，必然要忽视大量事实和剔除次要因素， 这是任何抽象过程都会丧失的，不能因为抽象而反对理论；第二，一些理论模型的根本作用 并不在于对现实世界的完美解释， 而在于其对于其他理论模型的发展具有基础性或者起点性 的作用；第三，我们也必须要根据经验事实，来对理论模型进行修正和发展，从而使理论模 型对经验事实的解释力增强。 好的理论能够解释别的理论所能解释的事实， 并能够解释别的 理论所不能解释的更多事实。 1.3 有人认为，案例分析缺乏一般性，写作经济论文时应该避免案例分析。你如何评论此观 点？ 答：这一观点不正确。 首先，特定的经济现象虽然具有一定的个体性、独特性和差异性，但无法否认的是，这 些单独的现实的经济现象也向我们呈现了某种确定形态的现象的类型与关系、 重复出现的规 律性、现象并存和相续的实际规律性，尽管这些都不具有决定的准确性，但确定这些类型、 关系以及规律性，是经济学的任务之所在。而在案例分析的过程中，通过合理的逻辑、科学 的方法将个案中蕴含的普遍的经济规律抽象出来，也能得到一般性的结论。 其次， 好的案例分析可以有助于对现有理论的解释力进行检验， 从而推动已有的理论的 修正的发展。 1.4 已知函数 3 810yaxx，其中a为参数，x为自变量，请求出： (1)一阶条件、二阶条件，并判断此函数有极大值还是极小值 解：一阶条件为： 2 38yax 二阶条件为：6yax 令 2 380yax （隐含条件0a ） ，可得到： 8 3 x a 1 如果 8 3 x a ，则60yax ,该函数有极小值 min 888168 81010 33333 ya aaaa 2 如果 8 3 x a ，则60yax ，该函数有极大值： max 888168 81010 33333 ya aaaa （2）利用隐函数定理，将一阶条件表达为a的函数形式。 解：将原函数表达为隐函数形式为： 3 ,8100F x yyaxx 则一阶条件可表示为： 2 2 ,/38 380 ,/1 F x yxdyax ax dyF x yy 从而得到： 8 3 x a a （3）利用包络定理，求当a变化一个单位时y会变化多少单位？ 解：利用包络定理可得： 3 dy x da 因为： 8 3 x a a 代入得到： 3 2 8 3 dy daa 所以当a变化 1 单位时，y变化 3 2 8 3a 单位。 1.5 我们常见的函数是幂函数yx，其中01： （1）证明函数是凹函数（自然也是拟凹函数） 证明： 1 2 01 0 10 yx yx yx 且 根据该函数的二阶导小于 0 可知，该函数为凹函数。 （2）证明多元幂函数 1212 ,yf x xxx 也是凹函数（也是拟凹函数） ，这里的交叉偏 导数为 0，请解释为什么？ 证明：假设0x ，根据多元幂函数可以得到： 11 1122 1221 2 111 2 222 , 0 10 10 fxfx ff fx fx 所以： 22 222 11221212 10fffxx 成立 且 22222212222 11212122211221 2110f ff f fffxxxx 成立。 故而，该二元幂函数是凹函数（也是拟凹函数） 。 交叉偏导数为 0 的含义是 1 x和 2 x是独立影响y的，二者之间不存在替代效应。 （3） 用这样一个单调变换给 （2） 中的函数附加上“规模效应”， 1212 ,g x xyxx ， 这里为正数，请回答，函数g是否具有凹形？是否具有拟凹性？ 解：因为 12 ,g x xy 所以 11 11 gyx ， 11 22 gyx ， 2211 1212 1gyxx 222212 1111 22 11 11 11 gyxyx yxxy 222212 2222 22 22 11 11 gyxyx yxxy 所以： 2 112212 22 22242222 121221 2 24242222 12 21 222422 12 2 2 2 2 2 12 2 12 224 2 1 1 111111 1 1111 1 ggg yxxx xyxxyy yx x x x x yxxy yxx y yx x 2 2222 12 111xyy 而 22 1121212221 2222222222111 3334223 12 111 1121212 22222222 221 21 2 1121 11 1121y g gg g gg g yxxyyxyxxyx x yx x yxxyyx xxy 33422 12 333422 21 333422 21122112 333422 21 33 12 12 21 2 3422 21 1 2 11 11 11 10 21 1 yxx yxx yxxx xx xx x x x xxy yxyx yxx yx xx x y y （1）当1时 1122 2 22 1122121121212221 0,0 0,20 gg gggg gg g gg g 此时， 12 ,g x x是凹函数，同时也是拟凹函数 （2）当1时， 2 1122112212 0,0,0ggggg不再成立 但 22 1121212221 20g gg g gg g仍然成立 因此 12 ,g x x不是凹函数，但仍然是拟凹函数。 综上，凹函数的单调变化不会改变函数的拟凹性，但变化后的函数可能不再是凹函数。 Section 2: 偏好、效用与消费者选择 一一、偏好偏好的的假设假设 1、完备性：对于任何两个商品组合, x y，消费者能够说出所有的偏好关系，消费者在做选 择时，完全知道备选的情况。 2、自反性：对于两个完全相同的商品组合，消费者不会认为他们之间有差异（布里坦的蠢 驴） 。 3、传递性：消费这的选择具有逻辑一致性。如果,xy yz，则xz。 4、单调性：两个商品组合x和y，如果x中的某一种商品比y中多，而其他商品又不比y 中的少，则x比y好。 5、凸性：如果,xz yz，则对于任意的0,1，有1xz。也即，如 果两个商品篮子都不必第三个差，则这两个商品篮子的任意线性组合也不比第三个差。 6、连续性： 如果个人认为xy，那么在充分接近x和充分接近y的情况之间，个人必定选 择充分接近x的情况。 二二、效用的性质、效用的性质 1、效用是主观的。同样的商品组合对不同的人可能产生不同的效用。 2、基数效用和序数效用。 3、赋值问题。 4、效用函数的存在性定理：在满足一系列偏好性质之后，必定存在一个连续的函数 u ， 使得 xyu xu y。 三三、几种几种典型的效用典型的效用函数函数 1、柯布道格拉斯型： 1 1212 ,u x xx x 。 边际替代率： 1 2 mu MRS mu 性质：边际替代率递减（消费者更喜欢平衡的商品组合，而非不平衡的商品组合） 特征 1：马歇尔需求曲线时零次齐次，也即价格和收入同时加倍时需求不变。 特征 2：其马歇尔需求曲线中，价格与需求量成反比。 特征 3：均衡时消费者对两种商品的支出费用所占比例分别等于其效用权重，1。 特征 4：两种商品的需求量只与自身的价格有关，没有价格交叉效应。 特征 5：增加的收入将按照等于效用权重的比例分配给两种商品。 2、拟线性效用函数： 1212 ,u x xxV x 特征 1：不同商品产生的效用不会出现相互影响，总的效用是两种商品线性效用之和。 特征 2：具有这种偏好的消费者，收入的多少不影响消费 2 x的数量，它只受价格变化的 影响。 3、里昂惕夫效用函数： 1212 ,min,u x xx x。 特征：完全互补。 4、固定弹性的效用函数（CES 效用函数） ： 1212 11 ,u x xxx 特征：位似效用函数，边际替代率不受单调变换的影响，只与 21 /xx有关，也即 2 1 x MRSMRS x 替代弹性： 212121 /ln/ /ln d xxxxdxx dMRS MRSdMRS ，其中 1 2 mu MRS mu 四四、需求曲线与间接效用函数、需求曲线与间接效用函数 1、 消费者实现效用最大化时的选择满足： 其边际替代率MRS等于预算约束线的斜率 （也即 价格之比） 。 11 22 mup MRS mup 补充： 拉格朗日法求解最大化效用问题中的拉格朗日乘子的含义： 边际效用与边际成本之间 的比例，也即一元钱所能购买到的效用。 2、间接效用函数：将马歇尔需求函数代入效用函数可以得到间接效用函数。 * 12112212 ,V p p mu xp p mxp p m 3、罗伊恒等式： 12 12 12 ,/ , ,/ i i V p p mp xp p m V p p mm 五五、支出最小化、支出最小化 1、希克斯需求函数：给定市场价格和效用水平，可以根据求解支出最小化问题得到 12 , i hp p u 性质：,0pph p uh p u ，也即价格和需求量的变化始终相反。 2、支出函数：将希克斯需求函数代入支出方程求得。 121 1122212 ,E p p up hp p up hp p u 性质 1：是简介效用函数的反函数 性质 2：是价格向量的一次齐次函数 性质 3：关于价格单调不减 性质 4：是价格的凹函数。 六六、课后习题、课后习题 2.1 消费者小张消费商品, x y所得的效用函数为 22 ,+u x yxy （1） 如果3 x p 元，4 y p 元， 而他的总收入为 50 元， 求他能够获得的最大效用。 注意， 求 2 u的最大值比求u的最大值方便得多，但这种方法为什么不影响计算结果呢？ 解： 采用求解 2 u的最大值来求u的最大值， 由题知 222 ,+ux yxy。 构建拉格朗日函数： 222 , max , . 34 = =50 x y xy ux yxy stp xp yxy I 构建拉格朗日函数： 22 =+5034L xyxy 一阶条件为： 230 240 50340 L x x L y y L xy 解得： 6 8 1 5 x y 所以，最大化的效用为： 22 max 6810u 本题中之所以可以采用求解 2 u的最大值来求u的最大值，且该方法不会影响结果，其原因 在于，在x与y均大于 0 的情况下， 2 u是u的单调变化，唯一的u对应了唯一的 2 u。 （2）画出小张的无差异曲线，并作出无差异曲线与预算约束线的切点，曲线时如何描述小 张的行为的？你找到真正的最大值了吗？ 解：小张的无差异曲线如下图所示，由于拉格朗日方法求救最大化效用问题其内含的 条件是边际效用递减，也即效用函数的二阶导数要小于 0，而本题中的效用函数的二阶导 数大于 0，故而，最大效用并不在预算约束线与无差异曲线的切点处取得，而是在端点处 取得。也即实际的最大效用点在 25 ,0 2 yx处取得，此时最大效用为 max 12.5u。 x y 1 u 2 u I 25 2 50 3 2.2 顾客 A 喜欢咖啡(g)和牛奶（m）按 2:1 的固定比例混合饮用，因此其效用函数可表 示为：,min, 2 g u g mm 。 （1）画出顾客 A 的无差异曲线。 解：由题知顾客 A 的效用函数为里昂惕夫效用函数，其无差异曲线如下： g m （2）求出顾客 A 对g和m的需求函数和间接效用函数。 解：顾客 A 要在预算约束下实现效用最大化，假设其收入为M，咖啡的价格为 g p，牛奶 的价格为 m p。在不浪费资源的情况下 ，顾客 A 的收入组合必定为 2 g m，从而有： 2 2 2 2 gm gm gm M m g pp m M p gp mM g pp 间接效用函数为：,min, 222 gm gmgmgm MMM uV ppM pppppp （3）试计算顾客 A 的支出函数。 解：已经由（2）解出顾客 A 的间接效用函数为 2 gm M u pp ，所有其支出函数为： ,2 gmgm E ppMppu 2.3 假设一个快餐爱好者的效用取决于三种商品：软饮（x） 、炸鸡（y）和面条（z） 。 根据柯布-道格拉斯效用函数，有： 0.5 0.50.5 , ,1u x y zxyz。同时假定这些商品的价 格为0.25,1,2 xyz ppp，且该消费者的收入2m 。 （1）当0z 时，试求解效用最大化得到的最优选择。同时说明0z （哪怕非常小）时 的任何选择都会使得效用减少。 解：当0z 时，效用最大化时的最优选择满足下列条件： xx yy xy mup mup p xp ym 代入参数求解得到： 4 1 x y 在此时： 4,1,04,1,04,1,0 10.5 yxz xyz muxyzmuxyzmuxyz ppp 也即此时，花费相同的预算购买z所获得的效用只有以相同的预算购买x或y所获得的效 用为 0.5，因此任何0z 的任何选择都会使得效用减少。 （2）你如何解释0z 时达到最优这一事实。 解：由（1）中可以看出，在当前的预算约束中，消费者的效用将随其消费z的数量的增加 而减少，因此该顾客在0z 时取得效用最大化，也即达到最优。 （3）为了购买z，这个人的收入要多高？ 解：顾客基于效用最大化的准则进行消费，因此有： y xz xyz xyz mu mumu ppp mpxpypz 代入参数求得：46mz 因此，为了购买z，消费者的收入应该4m 。 2.4 消费者需要一定量的食品（x）来维持生存，假设这个量为 0 x。一旦购买 0 x，消费者 将从食品与其他商品（y）得到效用为： 0 ,u x yxxy ，其中1 （1）说明：如果 0x Ip x，则为了获得最大化效用，消费者将会在食品上花费 00xx Ip xp x，在商品y上花费 0x Ip x，请解释这个结论。 解：消费者效用最大化时有： 00 0 xx xxx yy yx xy mup p xIp xp x mup p yIp x p xp yI 该结论表明，消费者为了获得最大化效用，在扣除了了维持生存所需的食物支出之后，将 按照/ 的比例在食物x和其他商品y上继续分配剩余预算部分。 （2）在这个问题中，如果收入增加，/ x p x I和/ y p y I之间的比率（也即/ xy p x p y）将 怎样变化。 解：由（2）可知： 00 0 00 / xx x xy xx Ip xp xp x p x p y Ip xIp x 由上式可知： / 0 xy d p x p y dI ，也即如果收入增加，/ xy p x p y变小。 2.5 间接效用函数,v p m满足,lnv pmv p m，则称它对财富m而言是齐次 的，证明这个性质满足：,1,1 / ii xpv pp 证明：根据罗伊恒等式： 12 12 12 ,/ , ,/ i i V p p mp xp p m V p p mm 因为： 2 2 12 12 12 2 12 2 1 , ,ln ,/ , 1 2 Vp p m V p p mm m V p p mm mm V p p m m mm 令1m ，则有： 121212 ,12,11,11 mmm Vp pVp pVp p 所以：,1,1 / ii xpV pp 。 Section 3: 斯卢茨基方程式 一一、价格变化的两、价格变化的两种种效应效应 1、替代效用：当商品价格下降时，该商品的相对价格下降，消费者将购买更多的该产 品，促使该产品的购买量增加。 2、收入效应：当商品价格下降时，消费者的购买能力增强，从而能够购买更多的产品。 1 x 2 x ABC 上图中 1 x的价格上升，替代效应为BA，收入效应CB。 3、正常商品：当收入增加引起对商品的需求增加或者不变时商品，即 12 , 0 i xp p m m 。 4、劣等商品：当收入增加引起需求量减少的商品，也即 12 , 0 i xp p m m 。 5、吉芬商品：需求量与价格成成正向关系的商品，商品价格越高，对该类商品的需求量 越大。 6、马歇尔需求曲线与希克斯需求曲线的比较： （1）马歇尔需求曲线描述了名义收入不变 时需求与价格之间的关系，希克斯需求曲线描述了效用水平不变的情况下需求和价格之间 的关系； （2）给定名义收入和价格时，效用最大化模型求解出的简介效用恰好是支出最小 化模型中不变的效用水平；给定效用水平和价格，支出最小化模型中求解得出的支出等于 效用最大化模型中的名义收入； （3）马歇尔曲线描述的价格变化的总效应，而希克斯曲线 则描述的是价格变化的替代效应。对于正常品而言，因为其收入效应为正，因此马歇尔曲 线比希克斯曲线更平缓；而对于劣等品而言，由于收入效应为负，因此希克斯曲线比马歇 尔曲线更平缓。 二二、斯卢茨基方程、斯卢茨基方程 总效应=替代效应+收入效应 121212 , i ii x p p mh p p ux p p m x ppm 作用：区分正常商品、劣等品和吉芬商品 正常品：总效应（-）=替代效应（-）+收入效应（-） 劣等品：总效应（？）=替代效应（-）+收入效应（+） 吉芬商品：总效应（+）=替代效应（+）+收入效应（+） 三三、斯卢茨基分解和希克斯、斯卢茨基分解和希克斯分解分解 1、斯卢茨基分解：价格变化的收入效应是指，当价格变化后，消费原来的商品组合后剩余 的收入产生的效应，以 0 x为标准加以区分。 2、希克斯分解：价格变化的收入效应是指，当价格变化后，保持原来的效用水平不变消耗 的货币支出后所剩余的收入产生的效应。 斯卢茨基形成的收入效应比希克斯分解形成的收入效应更小。 四四、需求弹性、需求弹性之间之间的关系的关系 1、需求函数的零次齐次性： 12 , 0 x px px m 2、恩格尔加和： , 1 xx myy m ss 其中 x x p x s m ， y y p y s m 3、古诺加和：当某种商品价格变化对所有商品的需求量变化之间存在的某种关系。 , xx xx pyy px sss 含义：价格变化对自身商品的影响要大于对其他商品的影响。 五五、消费者剩余、消费者剩余 1、补偿变化：在新的价格水平下达到原来的效用水平的支出变化。 0 , xy CVE pp um 2、等价变化：在原价格水平下消费新的商品组合的支出变化。 1 , xy EVmE pp u 3、消费者剩余：马歇尔需求曲线, xy x pp m对 x p积分，可以度量价格变化引起的消费 者福利的变化。 六六、现实性偏好弱、现实性偏好弱公理公理 七七、课后习题、课后习题 3.1 如果任意一条从原点出发的直线通过所有无差异曲线斜率相等的点，即MRS只取决于 /y x，那么这一无差异曲线图是同质的。 （1）证明，在这种效用函数下，xm是常数，m是收入。 证明：由题设, x y py MRSf x y xp 则 11 xx yy ppy fyxf xpp 因为 xy p xp ym 代入得： 1 x xy y p p xxfpm p 等式两边同时对m求偏导可得： 1 1 1 1 x xy y x xy y pxx pfp pmm p pfp p 上式结果为常数，原命题得证。 或者采用如下方法也可证明： 假设题中所述无差异曲线斜率相同的点斜率为n，n为常数， 由于MRS只取决于/y x， 同时假设/MRSy x，则由题可知 /MRSy xn（无差异曲线的斜率解释边际替代率） 。 将上述等式左右两端同时对x求导可得： 2 0 dy xy dyy dx MRSn xdxx ，故而ynx，n为常数 又因为 1 xyxyxy xy x p xp ymp xp nxmpp n xm mpp n 上式最终结果为常数，原命题得证。 （2）证明，如果一个消费者的偏好可用同质的无差异曲线图来表示，那么价格与他的需求 数量将成反向变化。 证明： 所谓“吉芬之谜”是指一种商品的的价格上升时，对该商品的需求量反而上升，即商品的 需求量与价格呈同方向变化。 由（1）已知 1 x xy y p p xxfpm p 也即： 2 x pm xx 因此价格与需求呈反向变化，也即不会出现“吉芬之谜”。 或者采用如下方法也可证明： 2 0 xyxyy x xx m p xp ymp xp nxmxp n p xm pp 3.2 假设一个人对面包（y）和可乐（x）的偏好可以用下列函数来表达：,u x yxy， 在初始状态下，1/2 x p ，2 y p ，而收入40m，现在假定可乐的价格 x p由 1/2 上升 到 1，请对此变化进行希克斯分解和斯卢茨基分解，并回答哪种分解的收入效应更大，为什 么？ 解： 1）由题知在初始状态 0 1 ,2 2 p ， 0 40m 的情况下，利用效用最大化模型： max , 40 1 10 . 240 2 u x yxy x y stxy 所以初始状态下对两种产品的需求量为 0 40,10x ，初始效用为 0 40 10400u 2） x p上升后， 1 1,2p ， 0 40mm，利用效用最大化模型： max ,20 10. 240 u x yxyx ystxy 此时对两种产品的需求量为 1 20,10x ，效用为 1 20 10200u 3）希克斯分解 利用支出最小化模型， 在 1 1,2p 的状态下保持原有的效用水平 0 400u 不变时， 求解均 衡时的需求量和支出： min 220 2 . 400 10 2 xyex stxy y 此时两种产品的需求量为 20 2,10 2h ，支出为：1 20 22 10 240 2e 得到希克斯分解下的： （A）替代效应： 0 20 2,10 240,1020 240,10 210hx （B）收入效应： 1 20,1020 2,10 22020 2,10 10 2xh （C）总效应： 10 20,1040,1020,0xx 4）斯卢茨基分解 用 1 1,2p 购买初始商品组合 0 40,10x 所需的支出为： 1 402 1060m 利用效用最大化模型，求解在60m的情况下的商品需求量组合： max ,30 15. 260 u x yxyx ystxy 所以此时的商品需求量组合为30,15x。 得到斯卢茨基分解下的： （A）替代效应： 0 30,1540,1010,5xx （B）收入效应： 1 20,1030,1510, 5x x （C）总效应： 10 20,0xx 5） 由以上分析可知， 斯卢茨基分解得到的收入效应为10， 希克斯分解得到的2020 2， 因此斯卢茨基分解法求得的收入效应小于希克斯分解求得的收入效应。 3.3 假设一个人认为火腿和奶酪是完全互补的，他总是用一片火腿和一块奶酪来做三明治， 假设他只购买火腿和奶酪，而面包是免费的。证明： （1）如果火腿和奶酪的价格相等，火腿的需求自身价格弹性为-0.5，火腿对奶酪的交叉弹 性也为-0.5。 证明：假设消费者的收入为m，对火腿的需求量为x，价格为 x p，对奶酪的需求量为y， 价格为 y p。由题知，消费者的效用函数为min, x y，因此消费者效用最大化时满足如下条 件： xy xy xy m x xpp ympp 火腿的需求自身价格弹性为： ,2 x xxx x p xxy xy xy pppdxm m dpxpp pp pp 因为 xy pp，所以 , 0.5 x x p 同理 ,2 0.5 x xxx y p xxy xy xy pppdym m dpypp pp pp 如果题干中“火腿的需求自身价格弹性为-0.5”为已知条件， 要求证明“火腿对奶酪的交叉弹性 也为-0.5”，则可以采用古诺加和公式求解： , xy xx pyx px sss 由题干可以推知 1 2 xy ss，进而解得 , 0.5 y x p 。 （2）解释为什么（1）中地结论只反映了收入效应，而没有反映替代效应。 解：因为由题知，火腿和奶酪对于消费者而言是完全互补的，其无差异曲线如下图所示。从 图中可以看出，消费者增加x的消费并不能以减少y的消费来实现效用水平保持不变的目 的，从而不存在替代效应。 x y （3）如果一个火腿的价格是奶酪价格的两倍， （1）的结论将如何变化。 解：如果一个火腿的价格变成奶酪的两倍，即2 xy pp，则： , 2 3 x x x p xy p pp , 2 3 x x y p xy p pp 综上，如果一个火腿的价格是奶酪价格的两倍，火腿的需求自身价格弹性是-2/3，火腿对奶 酪的交叉弹性也为-2/3。 3.4 这里有两种商品， 他们的预算约束集为 00 ,pm B和 11 ,p m B， 分别形成于 0 1,1p ， 0 8m 和 11 1,2 ,26pm， 同时被观察在 00 ,p m的选择 0 4,4x ，我们在 11 ,p m的选择 满足 1 11 p xm。 （1）如果 0 x和 1 x满足显示性偏好弱公理， 1 x的取值范围是多少？ 解：两个预算约束集的图形如下所示： 1 x 2 x A B C 若 0 x和 1 x满足显示性偏好弱公理，且在 00 ,pm B时消费者的选择位于4,4A，而在 11 ,p m B的选择为 1 x，则必有 1 x的选择束位于 00 ,pm B预算约束集之外，在 11 ,p m B的预算约束集 之内。 对于B点有： 121 122 82 4266 xxx xxx 因而 1 x的取值范围应为BC段，也即 1 x的取值范围为 12 2,26 ,0,6xx （2）如果 0 x和 1 x满足显示性偏好弱公理且对第一种商品的偏好是拟线性的， 1 x的取值范 围是多少？ 解：如果消费者对 1 x的偏好是拟线性的，根据拟线性效用函数的性质可知，收入的变化不 会影响 2 x的需求量，因此在 11 ,p m B的预算约束集之下， 2 x消费的临界点为 4， 1 x的选择范围 如下图的DC段。 1 x 2 x A B C D 在D点有 11 1 4 42610xx 因此 1 x的取值范围为 12 10,26 ,0,4xx （3）如果 0 x和 1 x满足显示性偏好弱公理且对第二种商品的偏好是拟线性的， 1 x的取值范 围是多少？ 解：如果消费者对 2 x的偏好是拟线性的，根据拟线性效用函数的性质可知，收入的变化不 会影响 1 x的需求量，因此在 11 ,p m B的预算约束集之下， 1 x消费的临界点为 4， 1 x的选择范围 如下图的EC段。 1 x 2 x A B C D E 在E点有： 22 1 44265.5xx 因此 1 x的取值范围为 12 4,26 ,0,5.5xx （4）如果 0 x和 1 x满足显示性偏好弱公理且偏好是位似偏好， 1 x的取值范围是多少？ 解：如果消费者的偏好是位似偏好，则其收入提供曲线为通过原点的一条直线，也即在商 品价格保持不变的情况下，随收入变动而引起的最优选择点在一条直线上。 由题知在 00 ,pm B时消费者的选择 0 4,4x ，所以该直线的斜率为1k ，因此在 11 ,p m B的 预算约束集之下， 1 x的选择范围如下图的FC段。 1 x 2 x A B C D EF 在F点有： 121 122 :1:15.2 4265.2 xxx xxx 所以 1 x的取值范围为 12 5.2,26 ,0,5.2xx Section 4:不确定条件下的选择 一一、抽彩抽彩 （1）抽彩空间的表示 （2）最好的抽彩 1LU L （3）最差的抽彩 0LU L 任何一个具体的抽彩L都处于L和L之间，L可以与L和L的线性组合无差异，也即 :1,01LLL 1U LU LU L 圣彼得堡悖论：出现的原因在于人们不关注期望收入，而是关注期望效用。 二二、抽彩抽彩的性质的性质 （1）连续性：可能的微小变化不会影响两个抽彩之间的排序。若满足连续性，抽彩空间中 的哦任意抽彩都可以用L和L的线性组合来表示。 （2）单调性：在满足连续性的前提下，如果:1:1LLLLLL，则 。 也即， 如果参与者认为一个抽彩好于另一个抽彩， 则必然意味着前者得到的以最好结果表示 的概率比后者得到的以最好结果表示的概率更高。 （3）独立性：11LLLL，则L L ，也即一个抽彩好于另一个抽 彩，那么加入一个新的抽彩形成的复合抽彩也不改变偏好次序。 三三、冯诺伊曼冯诺伊曼摩根斯坦摩根斯坦效用函数（效用函数（V V- -MM 形式）形式） 1 n ii i U Lpu 性质 1：预期效用函数是线性的 性质 2：存在性定理。如果建立在抽彩空间上的偏好满足连续性、单调性和独立性，则存在 一个预期效用函数（V-M 形式）使得： 当且仅当 11 nn nnnn ii p up u 时，有L L . 性质 3：线性变换并不改变偏好次序。 若L L .则意味着 11 nn nnnn ii U Lp uU Lp u ，那么: 1 1 n nn i n nn i V LaU Lbap ub V LaU Lbap ub 0a ,必有： V LV L 四四、风险的类型、风险的类型 1、詹森不等式：对于风险规避者而言对于任意一个抽彩 F x，他的期望财富产生的效用 不低于其预期效用，也即： u x dF xuxdF x 期望效用 期望财富的效用 2、确定性等值：与风险财富所产生的预期效用 U L等价的贝努力效用 u C所代表的财 富值，也即 u CU L。 假设结果的概率分布为 F x，密度函数为 f x，则预期效用为： U Lu x dF xu x f x dx 确定性等值表示为： u CU LEu wu wc 上式中C表示确定性等值，w表示初始财富，表示每项结果的损益，c表示风险溢价（保 险费） 。 3、参与抽彩的条件：参与抽彩带来的预期效用值不小于不参与抽彩时初始财富值带来的效 用。 五五、风险的测度、风险的测度 1、绝对风险系数： A ux rx ux ，其中x表示财富值 几种特殊形式的效用函数： （1）对数型 lnu xx，绝对风险规避系数与财富呈反方向变动。 （2）二次型 2 u xabxcx，风险规避系数与财富呈正向关系。 （3）指数型 x u xe ，风险规避系数为常数 2、相对风险规避系数： B ux rxx ux ，表明面临风险财富状态的人愿意支付的保险费 用与其财富成正比。 注意： 对于风险规避者而言， 其财富的效用函数是凹函数， 也即 0ux， 0ux。 六六、一阶一阶随机占优和二阶随机占优随机占优和二阶随机占优 1、 一阶占优： 对于初始财富状态x， 存在两个不同的分布 G 和 F ， 如果效用函数 u 是非递减的，且 F xG x对于所有x成立，则 F x一阶占优 G x，同时也意味着： u x dF xu x dG x 上式可以通过构造函数 H xF xG x加以证明。 一阶占优意味着均值更大，但均值更大并不必然占优。 2、二阶随机占优：对于初始财富状态x，存在两个不同的分布 G 和 F ，如果效用函 数 u 是非递减的， 如果两个分布的期望相同， 但 F x比 G x的风险更小， 我们说 F x 二阶占优于 G x。 七七、保险、保险（见习题见习题 4.44.4- -（3 3） ） 八八、课后习题、课后习题 4.1 已知（1）抽彩L：得 200 元的可能性为 0.3；-100 元的可能性为 0.7； （2）抽彩 L ： 得 1000 元的可能性为 0.2；得-300 元的可能性为 0.6，得 0 元的可能性为 0.2. （1）请写出抽彩空间S，它是几维的？ 解：由题知抽彩面临的收益共有 1000，200，0，-100 和-300 共计五种可能性，故而其抽彩 空间表示为： 5 1000,200,0, 100, 300SR 该抽彩空间是五维的。 （2）请写出抽彩L和 L ，以及L和L 解：: 0,0.3,0,0.7,0;0,200,0, 100,0: 0.3,0.7;200, 100LL :(0.2,0,0.2,0,0.6;1000,0,0,0, 300): 0.2,0.2,0.6;1000,0, 300LL : 1,0;1000,0L : 0,1;0, 300L （3）请问：你相信抽彩L和 L 可以由L和L来表达吗？如果相信，抽彩应该满足什